湖北省第十届高三（4 月）联考数学参考答案及评分细则
一、选择题
1.C 2.A 3.C 4.D 5. D 6.B 7.B 8.D
二、多选题
9. BCD 10.ABD 11.BCD
(注：第 9,10,11题有错选得 0分，仅部分选对的选对一个各得 2分)
三、填空题
1 1 39
12. 13. (0, ) 14.
3 e 28
8.解析：圆 O1运动到 O3,两圆相切于M 点，点 P从 A运动到 P1,
易知 AM P 1M ，所以 2 AO2M 1 P1O3M 2 P1O2M ，
所以 AO2M P1O2M ,所以 P的轨迹为圆O2 中过 A，O2的直
径，长度为 4 .
10.解析：依题意有 cos A cos B cosC , 所以
cos(C B) cosBcosC ,所以 sin BsinC 2cosBcosC ,所以 tan B tanC 2 ,A正确；
tan A tan(B C) (tan B tanC) tan B tanC
1 tan B tanC ，所以 B正确；
因为 tan B tanC 2 0，所以 tan B 0， tanC 0，
所以 tan A tan B tanC 2 tan B tanC 2 2 3，所以 A ，C错；
3
cos A cosBcosC易知 A,B,C为锐角，且
cos A cosB,cos A cosC, A B, A C, a b,a c.D正确，选 ABD..
p
11.解析： M1F y1 y1 1，所以 p 2，所以 A错，武汉乐学教育2
y x x n
2
，所以在点M n处切线斜率为 ，所以 kM n Mn 1
x ，B正确；p p n
2
y y 2 (x x ) 2 x x
2 2
联立 n x n 及 x 4y得
n (x xn )，所以
n 4 4 xn
x x 8 8n x ，所以
xn 1 xx n，所以 C正确；n n
y 1 1 8 x 2 2
1 2 16 16
n 1 4 n 1
( xn ) x n 4 y 4 y 44 x 4 2 n 2 n ，n xn xn
所以 yn 1 yn 4，累加得 yn 4(n 1) y1 4n 3 (n 2)，又 y1 1，所以
yn 4n 3，所以 M nF yn 1 4n 2，D正确，选 BCD.
C1C1 C1 C 2 9
14解析：易知 X 1,2,3，P(X 1) 3 4 3 3 ，
C 28 14
A3 C13 9 1 1 39
所以 P(X 2) 3 ， P(X 3) 2 ,所以 E(X ) C 28 28 C
.
8 28 28
法二：列举.三个班名额分配：1,1,7共 3种；1,2,6共 6种；1,3,5共 6种；1,4,4共 3种；2,2,5
共 3种；2,3,4共 6种；3,3,3共 1种，总计 28种，其中名额最少是 1的有 18种，名额最少
18 9 1 39
是 2的有 9种，名额都是 3的有 1种.依次求的概率分别为 ， ， ，期望为 .
28 28 28 28
15.解析：武汉乐学教育
（1）由题意bn 3
n
，所以 an bn 4 3
n 1
，
所以 log3 (an bn ) log3 4 n 1， ……………2分
S n log 4 (n 1)n (n 1)n所以 n 3 2n log3 2 . ……………6分2 2
（2）b 2n 12n 1 3 ，所以 cn 2n 1，所以 ……………7分
1 1 1 1 1
( ) ……………9分
cncn 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以 (1 )
c1c2 c2c3 cncn 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 (1 1 ) n ……………13分
2 2n 1 2n 1
16. 2解析：（1） f (x) x(x b) ，
f (x) (x b)2 2x(x b) (x b)(3x b) ……………2分
当b 0时， f (x) 3x 2 0， f (x)在 R 上单增， ……………3分
当b 0时，令 f (x) (x b)(3x b) 0 b ， x b或 x ， ……………4分
3
x b ( ， )时， f (x) 0， f (x)单调递增，
3
x (b ，b)时， f (x) 0， f (x)单调递减，
3
x (b， )时， f (x) 0， f (x)单调递增， ……………7分
（2） f (x) (x b)(3x 2a b)，令 f (x) 0，所以 x b或 x 2a b
3
令 f (x) 0， x a 2a b或 x b，又 a，b， 2，1， 1 a b 2a b，且 ， ， 互不相等，
3 3
所以 a b 2a b 2，所以5a 4b 6 武汉乐学教育 ……………9分
3
5a 4b 6 5a 4b 6 5a 4b 6
所以 或 a 2a b
0或 b 2a b ……………11分 a b 0 0 3 3
经检验 a 2，b 1符合，所以 f (x) (x 2)(x 1)2， ……………12分
f (x) (x 1)(3x 3)，令 f (x) 0， x 1或 x 1， ……………13分
当 x ( , 1)， f (x) 0， x ( 1，1)， f (x) 0， x (1， )， f (x) 0，
所以 x 1时，f(x)取得极小值 f (1) 4 . ……………15分
2b2
17.解析：（1）依题意有 b=1，当 AB⊥x轴时， | AB | ,
a
S 1 2b
2 3
∴ △ABT (a c) 1 ,a
2 1 c2 .解得 a=2, c= 3 . ……………4分
2 a 2
（2）设直线 l：y 1 x m，设G(x1，y1)，H (x2，y2 )，联立 武汉乐学教育2
y 1 x m
2 得 2x 2 4mx 4m 2 4 0
x
2 4y2 4
16m2 32 0
所以 x1 x2 2m ，所以 2 m 2 ……………6分
2
x1x2 2m 2
y1 y2 m
1
，所以G，H 的中点为D( m， m)，
2
GH 1 1 (x1 x )
2
2 4x1x
5
2 8 4m
2 （5 2 m2） ，……………8分
4 2
1 5
又 N 的轨迹是以D( m， m)为圆心，半径 r 2 m2 的圆，
2 2
5
所以 ON OD r 5 m 5 2 m2 (m 2 m 2 )……………10分
2 2 2
令 m 2 cos (0 ， ， ]，
2
f ( ) 5 ( 2 cos 2 sin 10 记 ) 2 sin( ) 5 sin( )，
2 2 4 4
( 3 ] ， ，所以 ，|m | 1时， ON ……15分
4 4 4 4 max
5
注：若利用导数或其它方法求得最大值，结论正确，照样给满分。
18.解析：（1）在△ SBC中，SB 3，BC 1， SCB 60 ，由余弦定理得 SC 2，
SB 2 2 2所以 BC SC ，所以 SB BC，又矩形 ABCD中， BC AB，
AB SB B，所以 BC 平面 SAB ……………5分
（2）由（1）知， BC 平面 SAB， AD // BC，所以 AD 平面 SAB，
SA 平面 SAB,所以 AD SA，又在三角形 SCD中可求得 SD 2，
在直角三角形 SAD中可求得 SA 3 SB，
1V 1又 2 VS ABCD V
1
S ABC VC SAB，又 V2 V2 2 2 1
VN SAB
所以VC SAB VN SAB ，又NS // BC，所以 NS BC 1 , ……………7分
(I)取 AB 中点O，建立如图所示空间直角坐标系O xyz， A( 1，0，0）， B(1，0，0)，
C(1，1，0)，D( 1，1，0)， S(0，0，2)， N (0, 1, 2)，
所以 SN (0,－1，0)， SC (1，1,－ 2)，设平面 SNC的法向量 n (x，y，z)
n SC 0 x y 2z 0
则 ， 所 以 ， 取
n SN 0 y 0
n ( 2，0，1)，
又 AS (1，0，,2)，所以 A到平面 SNC 的距离
AS n
d 2 6 . ……………11分
| n | 3
注：过点 A作等腰三角形 SAB 腰上的高 AE，证明 AE为点 A到平面 SNC的距离，然
2 6
后等积法 2 2 3 AE, AE ,求得结果照样给满分.
3
（II） AB (2，0，0)， AN (1,－1，2)，设平面 ABN 的法向量m (a，b，c)，
m AB 0 2a 0
所以 ，所以 ，取m (0，2，1) ……………14分
m AN 0 a b 2c 0
m n
所以 cos m 1 ，n ， 武汉乐学教育
m n 3
所以平面 SNC 2 2与平面 ABN 所成夹角的正弦值为 ……………17分
3
19.解析：(1)设事件 A1表示第一次取出时为可充电池，事件 A2表示第一次取出时为一次性
电池，事件 B表示第二次取出时为一次性电池，则
P(B) P(A 3 3 3 2 91 )P(B | A1 ) P(A2 )P(B | A2 ) ………2分6 6 6 5 20
P(A1B)
3 3 1
， ………3分
6 6 4
1
P(A1B) 4 5
所以 P(A1 | B) ……………5分P(B) 9 9
20
(2)由题意， X 的可能取值为 1，2，3
P(X 1|Y 1) 3 3 9 ，……………7分
5 5 25
P(X 2 |Y 1) 3 2 2 3 27 ，……………9分
5 5 5 4 50
P(X 3 |Y 1) 2 1 1 ， ……………10分
5 4 10
所以 E(X |Y 1) 1 9 2 27 3 1 87 . ……………11分
25 50 10 50
(3)由题意，现有 3块可充电池和 2块一次性电池可使用，经分析可得，
a 2 1 ,a 3 2 1 2 3 12 3 , ……………12分5 4 5 5 4 5 4 4
n 2时，
a (2 (3 3 2 )n 2 (3)n 3 3 ( )n 2 2n )
1
……………15分
5 4 5 5 4 5 5 4
2 1 3 4 4 4
( )n 2 (1 ( )2 ( )n 2 )
5 4 4 5 5 5
1 4 ( )n 11 (3)n 2 5 1 (3)n 2 (1 (4 )n 14 ) 写到此处可得满分，不扣分10 4 1 2 4 5
5
2
((3)n 1 3 ( )n 1) ……………17分
3 4 5
命题人：黄梅一中 王 进 黄州区一中 童云霞
审题人：夷陵中学 王 方 宜昌市一中 孙红波
枝江一中 周晓知
