5.1.1 数列的概念 课件（22页）

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5.1.1 数列的概念
第五章 数列
1.理解数列的概念，了解数列的几种分类.
2.理解数列通项公式的概念及意义.
3.了解数列与函数的关系.
4.能够利用通项公式求数列的项，能够根据数列的已知项，求数列的通项公式.
情境1：一尺之锤，日取其半，万世不竭.
《庄子·天下篇》
情境2：大自然是懂数学的.
树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列......都遵循了某种数学规律.
斐波那契数
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......
这些数有什么共同特点？
1.数列的概念
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，…，
简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项.
2.数列的分类
根据数列的项数可以将数列分为两类：
(1)有穷数列——项数有限的数列.
(2)无穷数列——项数无限的数列.
注意：(1)数列概念中“按一定次序排列”是关键，数字相同，排列顺序不同的两列数不是同一数列.
(2)有穷数列与无穷数列的分类标准是数列项数的有限还是无限.
思考1：“1，2，3，1，5，2”可以组成一个数列吗？
思考2：{an}与an相同吗
1.定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
2.{an}与an是不同的概念:{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…;而an表示数列{an}中的第n项.
问题1：写出由正整数1，2，3，…的倒数排成的数列吗
当n分别等于1，2，3，…时，写出(-1)n的值排成的数列.
问题2：若an表示数列的第n(n∈N+)项，你能写出上述两个数列中an与其相对应的序号n的关系吗
1，，，…
-1，1，-1，…
1，，，… an=
-1，1，-1，… an=(-1)n
3.数列的通项公式
一般地，如果数列的第项与之间的关系可以用=来表示，其中是关于的不含其它未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
例如数列{}的第项可以用函数=表示，则 =.
例1 根据下面数列的通项公式，分别写出各数列的前5项.
（1） （2）
解：（1）在通项公式中依次取 n = 1，2，3，4，5 ，得到数列{an}的前 5 项为
（2）在通项公式中依次取 n = 1，2，3，4，5 ，得到数列{an}的前 5 项为
例2 写出以下各数列{an}的一个通项公式:
解:(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察:
∴它的一个通项公式是an=.
(2)数列各项的绝对值分别为1，3，5，7，9，…是连续的正奇数，其通项公式为an=2n-1；
(-1)n+1具有转换符号的作用，因此数列的一个通项公式为an=(-1)n+1·(2n-1).
(3)各项加1后，分别变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)由(2)可知分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n-1；
∴原数列的一个通项公式为an=；
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，
因此它的一个通项公式是an=(-1)n.
归纳通项公式应从以下方面着手：
(1)统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系.
(3)对于正、负号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n处理符号.
(4)对于周期出现的数列，考虑拆成几个简单数列和的形式，或利用周期函数的知识解答.
归纳总结
问题3：已知函数f(x)=x，g(x)=，在这两个函数中，分别令x=1，2，3，…，n，…，可得到哪两个数列 它们的通项公式分别是什么
这两个数列的项随着项数的变化分别有什么变化规律
增大而增大
增大而减小
4.数列与函数的关系
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示.
数列的单调性：
递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫递增数列；
递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列递减数列；
常数数列：各项都相等的数列称为常数数列（常数列）
例3 已知函数f(x)=(x≥1)，构造数列an=f(n)(n∈N+).
(1)求证：an>-2；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
解：(1)由已知得an=(n∈N+).
∴an=-=-2+.
∵n≥1，n∈N+，∴>0，∴an>-2.
(2)由an=-2+，得an+1=-2+，
∴an+1-an=-=.
∵n≥1，且n∈N+，
∴<0，
即an+1数列单调性判断方法：
(1)定义法；
(2)作差比较法：比较-与0的大小；
(3)作商比较法：比较与1的大小；
(4)图象法：数列的图象可以直观地体现数列各项之间的变化趋势.
归纳总结
1.下列叙述正确的是(　　)
A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C.数列0，1，0，1，…是常数列
D.数列{2n}是递增数列
2.以下四个数中，哪个数是数列{n(n+1)}中的一项( 　 )
A.380 B.39 C.32 D.23
D
A
3.已知 ，给出四个表达式：
① ② ;③ ;④.
其中能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
A