5.1.2 数列中的递推 课件（18页）

5.1.2 数列中的递推
第五章 数列
1.了解递推公式是给出数列的一种方法.
2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前n项.
3.掌握由数列的前n项和求数列的通项公式的方法.
问题：如图，某会议室有若干排座位，每一排的座位数构成的数列设为{an}.从第二排起，后一排都比前一排多2个座位.
(1)第n排与第n-1排座位有什么关系？
(2)若第一排有7个座位，数列{an}是怎样的一列数？
(1)an=an-1+2(n∈N+且n≥2)
(2)7，9，11，13，15，…
一、数列的递推关系
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
思考：数列递推公式与通项公式有什么区别和联系?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 类别
区别
联系
通项公式
an是序号n的函数式an=f (n)
都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项
递推公式
已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式
例1 数列12, 14, 18, 116，…的递推关系可以是( )
?
A. ????????=12????+1（?????∈????+?） B. ????????=12????（?????∈????+?）
C. ????????+1=12????????（?????∈????+?） D. ????????+1=2????????（?????∈????+?）
?
解析：观察数列，发现 ????2????1=????3????2=????4????3=12，
即从数列第二项起，后一项除以前一项的值都为12，
所以递推关系为????????+1=12????????（?????∈????+?）
?
C
例2 已知数列{????????}的第1项????1=1，以后的各项由公式????????+1=2????????????????+2给出，试写出这个数列的前5项.
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解：因为????1=1，????????+1=2????????????????+2，所以 ????2=2????1????1+2=23， ????3=2????2????2+2=2×2323+2=12，
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????4=2????3????3+2=2×1212+2=25， ????5=2????4????4+2=2×2525+2=13.
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故该数列的前5项为1，23，12，25，13.
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应用数列的递推关系求数列的项的方法
①如果项的序号较小，一般直接代入递推关系，利用顺推或倒推递进行求解；
②如果项的序号较大，一般先根据递推关系写出数列的前几项，进而发现数列的周期或其他规律，然后利用周期性或其他规律求项.
归纳总结
讨论：已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列
220，530，950，1360，1820，2350.
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230.
二、数列的前n项和
一般地，给定数列{an}，称
Sn=a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和.
例如，对于探究中的数列来说，
S1=a1=220，
S2=a1+a2=220+530=750，
S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+1360=2110，等等.
问题：已知数列{an}的前????项和为Sn=2?????+1，你能写出a1，a2，a3吗？
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∵????1=2×1+1=3，又∵????1=????1，∴????1=3.
∵ ????2=2×2+1=5，又∵????2=????1+????2， ∴????2=S2?????1=5?3=2.
∵ ????3=2×3+1=7，又∵????3=????1+????2+????3=????2+????3， ∴????3=????3?S2=7-5=2.
?
追问：你发现规律了吗？如何来求????????呢？
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三、 an与Sn的关系
一般的如果数列{an}的前????项和为Sn，那么当????≥2有，
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1
Sn=a1+a2+a3+…+an
所以Sn=Sn-1+an
因此
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例3 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n.求a1及an.
解：因为Sn=2n2-30n，所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
验证当n=1时上式成立，
所以an=4n-32，n∈N+.
变式：设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n+1，求an.
解：因为Sn=2n2-30n+1，所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
当n=1时，a1=-27不符合上式.
所以an=?27,n=1,??????????4n?32,n≥2.
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已知前????项和????????求通项公式????????的步骤
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(1)当????=1时，????1=????1；
(2)当????≥2时，根据????????写出?????????1，化简????????=??????????????????1；
(3)如果????1满足通项公式????????=??????????????????1，那么数列{????????}的通项公式为????????=??????????????????1；如果????1不满足通项公式????????=??????????????????1，那么数列{????????}的通项公式要分段表示为????????=????1，????=1,&??????????????????1，????≥2.
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方法归纳
1. 数列的递推公式是什么？它与通项公式有什么区别联系？
2. 怎样求数列的前 n 项和公式？如何利用该公式求数列的通项公式？
结合本节课所学，回答下列问题？
1.已知数列{an}满足a1=12，anan-1=an+an-1，则这个数列的第5项是( )
A.1 B.12
C.34 D.58
2.观察下列各式:
a+b=1，????2+????2=3 ，????3+????3=4 ，????4+????4=7 ，????5+????5=11 ，…，
则????10+????10=_________.
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B
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3.数列{an}的构成法则如下：a1=1，如果an-2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an+1=an-2，否则用递推公式an+1=3an，则a6=　　.?
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