5.2.1 等差数列 课件（共35张PPT） 2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

(共35张PPT)
5.2.1 等差数列
第五章 数列
5.2.1 课时1
等差数列的定义
第五章 数列
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及运用.
3.会判断一个数列是否为等差数列.
观察下图，从第一排算起，依次有什么规律呢？你能发现什么？
4
5
6
7
8
9
10
每层依次增加一个
观察上述几组数列，你能发现什么共同特点:
（1）1，2，3，4，5...
（2）3000，3500，4000，4500...
（3）250，245，240，235，230...
d=1
d=500
d=-5
共同特点:从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数.
对于一个数列，如果从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数 ，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
等差数列{an}中，a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…= d ，d∈R.
概念讲解
练习：判断下列数列是否是等差数列，如果是，写出它的公差.
（1）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111；
（2）-1，-3，-5，-7；
（3）1，2，4，6，8，10；
（4）7，7，7，7，7；
（5）
不是，公差不是同一个常数
不是，数列从第2项起差不是同一常数
是，公差
是，公差
分析：要确定一个数列是不是等差数列，可根据定义 进行判断，或其变形式，进行判断.
是，公差
归纳总结
一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．
数列｛an｝是等差数列 an - an -1= d (n≥2，且n ∈ N*)
讨论：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求得它的通项公式
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，
故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
若一个等差数列{an}，首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
概念讲解
可以看成是an关于n的一次函数
等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d和n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.
注意：
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d= ，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
例1 若数列{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求an.
解:设等差数列{an}的公差为d，
例2 在等差数列{an}中，
(1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2=11，a8=5，求a10.
∴an=7+2(n-1)=2n+5.
令2n+5=91，得n=43.
∵43为正整数，∴91是此数列中的项.
(2)若a2=11，a8=5，求a10.
∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n，
∴a10=13-10=3.
方法总结
1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差.
2.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，可把an看作自变量为n的一次函数.
等差数列通项公式的求法与应用技巧
从函数角度研究等差数列{an}
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.就通项公式而言，确定一个数列的每一项的要素是首项a1和公差d，因此，二者可以视为常数，项数n是自变量，项an是函数值.
对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f(n)，它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线y=dx+（a1-d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
1
2
3
4
O
n
an
1
2
3
4
O
n
an
a1-d
1
2
3
4
O
n
an
a1
d>0
d<0
d=0
数列{an}为递增数列
数列{an}为递减数列
数列{an}为常数列
例3 设{an}是等差数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由题意可得公差d=a2-a1=a3-a2>0，
所以数列{an}是递增数列，即充分性成立；
若数列{an}是递增数列，则必有a1C
1.(多选)下列数列是等差数列的是( )
A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16
C. D.－3，－2，－1，1，2
2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的第n项为( )
A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1
ABC
B
3.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A.－9 B.－8 C.－7 D.－4
4.等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
B
11
5.2.1 课时2
等差数列的性质
第五章 数列
1.掌握等差中项的概念，会求等差中项.
2.掌握等差数列的有关性质，并能灵活运用性质简化运算，解决简单的数列问题.
观察发现：某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为 ，满盘时直径为 ，已知卫生纸的厚度为 ，将绕在盘上的卫生纸近似地看作是一组同心圆，则从最内层到最外层卫生纸所在圆的半径分别为 ， ， ， ， ，…， .
上面这个数列，其任意连续三项之间有什么样的关系？
前一项与后一项的和是中间项的2倍．
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.A=.
概念讲解
例1 若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
解：由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10.
两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6.
所以m和n的等差中项为=3.
思考:对于等差数列{an}，首项为a1，公差为d，回答下列问题:
(1)a10+a20与a14+a16是什么关系
(2)a6，a10，a14成等差数列吗
(3)2am=am-1+am+1(m∈N+，m>1)是否恒成立
(1)相等.
(2)成等差数列.
(3)是.
等差数列的项与序号的性质
①两项关系
通项公式的推广:an=am+(n-m)d (m，n∈N+).
②多项关系
项的运算性质:若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am+an=ap+aq.
特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N+)，则am+an=2ap .
归纳总结
例2 在等差数列{an}中，已知a2=5，a8=17，求数列的公差及通项公式.
解：设等差数列{an}的公差为d.
因为a8=a2+(8-2)d，所以17=5+6d，解得d=2.
又因为an=a2+(n-2)d，所以an=5+(n-2)×2=2n+1，n∈N+.
灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担.
例3 在公差为d的等差数列{an}中，
(1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求d.
解：(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48及a2+a24=a3+a23=2a13，
得4a13=48，
∴a13=12.
(2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求d.
(2)由a2+a3+a4+a5=34及a3+a4=a2+a5得2(a2+a5)=34，
即a2+a5=17.
例4 一个木制梯架的上、下两底边分别为33 cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
解：记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列.
依题意，有a1=33cm，a7=75cm，
现要求a2，a3，a4，a5，a6，即中间5级的宽度.由等差数列的定义，有
所以a2=33+7=40（cm），a3=40+7=47（cm），a4=47+7=54（cm），a5=54+7=61（cm），a6=61+7=68（cm）.
因此梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm.
例4 一个木制梯架的上、下两底边分别为33 cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级.试计算梯形架间各级的宽度.
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是等差中项，怎样求等差中项？
2.等差数列的性质有哪些？
3.如何利用等差数列解决实际问题？
1.已知{an}为等差数列，a4+a7+a10=30，则a3-2a5的值为(　　)
A.10 B.-10 C.15 D.-15
2.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　)
A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项
3.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝________.
4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)
A.1升 B.升 C.升 D.升
D
B
B
16