5.2.2 等差数列的前n项和 课件（共36张PPT） 2024-2025学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.2.2
等差数列的前n项和
第五章 数列
5.2.2 课时1
等差数列的前n项和
第五章 数列
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.
2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题.
3.理解Sn与an的关系，并能运用这个关系解决相关问题.
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？
高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 101×50=5050.
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
?
高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，????，…???前100项的和问题.
?
对首项为????1，公差为????，的等差数列????????，设????????是等差数列的前????项和，则
????????= ????1+????2+????3?+…+?????????2+?????????1+????????，
????????=????????+?????????2+?????????1+…+????3+????2+????1，
2????????=( ????1+????????)+????2+?????????1+…+(????????+????1).
因为????1+????????=????2+?????????1=…=????????+????1，
所以2???????? =( ????1+????????)+ ( ????1+????????)+…+(????1+????????)=????( ????1+????????)，
即????????=????(????1+????????)2.
?
将an=a1+(n-1)d代入上式，得????????=????[????1+????1+(?????1)????]2=????????1+????(?????1)2????.
?
等差数列的前n项和公式
归纳总结
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
公式


特别地，当a1=1，d=1时，n个连续正整数的和
例1 在等差数列{an}中:
(1)已知a5+a10=58，a4+a9=50，求S10;
(2)已知S7=42，Sn=510，an-3=45，求n.
(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体代换思想的运用.
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
归纳总结
问题：(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？

(2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？
(3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？
不是.
an＝Sn－Sn－1(n≥2).
能.
数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
S1
Sn－Sn－1
，n＝1，
，n≥2.
归纳总结
注意：
(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
例2 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：当n=1时，a1=S1=-1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，
经检验，当n=1时，a1=-1满足上式，
故an=4n-5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4，
所以数列{an}是等差数列.
变式：若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：∵Sn=2n2-3n-1， ①
当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2；
当n≥2时，Sn-1=2?????12-3?????1-1， ②
①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2?????12-3?????1-1]=4n-5，
经检验，当n=1时，a1=-2不符合上式，
故an=?2,????=1,?????????4?????5,????≥2.
∵a2-a1=5≠a3-a2=4，
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
?
由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；
否则an=????1,????=1,??????????????????????????????????1,????≥2,数列{an}不是等差数列.
?
归纳总结
等差数列前n项和公式
1.在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)
A.230 B.420
C.450 D.540
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 018，S6-2S3=18，则S2 020=(　　)
A.-2 018 B.2 018
C.2 019 D.2 020
B
D
3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则(　　)
A．an＝2n＋1 B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1 D．an＝2n－1
4.(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N+)，当首项a1和公差d变化时，若a1+a8+a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　)
A.a7 B.a8
C.S15 D.S16
B
BC
5.2.2 课时2
等差数列的前n项和的性质与应用
第五章 数列
1.能解决等差数列中前n项和的最值问题.
2.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题.
3.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
问题:已知等差数列{an}的公差d，前n项和为Sn.从函数的观点分析????????关于????的函数具有什么特点？
?
????????=????????1+?????????12????=????2????2+????1?????2????=????????2+???????? ，
其中 ????=????2 ， ????=????1?????2 ，
故 ???????? 关于 ???? 的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式．
?
注意：当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1.
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
例1 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
7
解析：解法一：函数法
由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝－213a1.
从而Sn＝d2n2＋a1?d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1，
因为a1>0，所以－a113<0. 故当n＝7时，Sn最大．
n＝7时，Sn最大．
?
解法二：通项公式法
由解法一可知，d＝－213a1.
要使Sn最大，则有an≥0an+1≤0，即????1+(?????1)(?213????1)≥0????1+????(?213????1)≤0，
解得6.5≤n≤7.5，因为n∈N＋，故当n＝7时，Sn最大．
?
例1 在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．
7
归纳总结
等差数列前n项和的最值问题
1．二次函数法
等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋nn?12d＝d2n2＋a1?d2n，所以若a1>0，
d<0，则Sn必有最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
2．通项公式法
若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组an≥0an+1≤0 来确定；
若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组an≤0an+1≥0来确定．
3．图象法
利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取最值．
?
讨论:等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n
＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)
＝2Sn＋n2d，
同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列
Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，
它是一个公差为n2d的等差数列.
等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…(k∈N+)是等差数列，其公差等于k2d.
归纳总结
注意：
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列????????????也是等差数列，且公差为????2.
(2)在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n).
?
例2 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.
解：方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10=100，S100=10，∴10????1+10×(10?1)2????=100,??????100????1+100×(100?1)2????=10,
解得????1=1?099100,????=?1150.???
∴S110=110a1+110(110?1)2d=110×1?099100+110×1092×?1150=-110.
?
例2 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.
方法二 ∵S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100+10×92d=S100=10，
解得d=-22，
∴前11项和S110=11×100+11×102×(-22)=-110.
?
例2 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.
方法三 由????????????也是等差数列，设公差为d，
构造新的等差数列b1=????1010 =10，b10=????100100=110，
则d=19(b10-b1)=19?9910=-1110，
所以b11=????110110=b10+d=110+?1110=-1，
所以S110=-110.
方法四 直接利用性质Sn=m，Sm=n，Sm+n=-(m+n)，可知S110=-110.
?
例3 7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.
(1)问7月的哪一天该款服装销售最多?最多售出几件?
(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.该款服装在社会上流行几天?
解：(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N+，1≤n≤31)，最多售出ak件.
∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，
∵S13=273>200，
∴当1≤n≤13时，由Sn>200，得12≤n≤13，
当14≤n≤31时，日销售量连续下降，由an<20，得23≤n≤31，
∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).
总结归纳
应用等差数列解决实际问题的一般思路:
1. 等差数列的前 n 项和公式与二次函数有什么关系？
2. 求解等差数列前n项和Sn 最值的方法有哪些？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于(　　)
A.63 B.45 C.36 D.27
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
B
-110
3.据科学计算，运载“嫦娥”号探月飞船的“长征”二号系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是(　　)
A.10分钟 B.13分钟 C.15分钟 D.20分钟
4.在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且an＝26－2n，当Sn取得最大值时，n的值为________．?
C
12或13