第十七章勾股定理章节期中练习（含解析）

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第十七章勾股定理章节期中练习人教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．5，6，11
C．2，， D．4，5，6
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．b2＝a2﹣c2 D．a：b：c＝2：3：4
3．如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　）
A． B． C． D．2.5
4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积是（　　）
A．120 B．160 C．216 D．96
5．丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（　　）
A．4米 B．8米 C．10米 D．12米
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S2＝16．则S3＝（　　）
A．20 B．12 C．2 D．2
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，则点C到斜边AB的距离是（　　）
A． B．2 C． D．
8．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题
9．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 　 　．
10．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 　 　．
11．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AB边上，将纸片沿CE折叠，点B落在点F处，EF，CF分别交AD于点G，H，且EG＝GH，则AE的长为 　　．
12．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 　 　cm．（π取3）
13．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（a+b）2的值是 　 　．
三、解答题
14．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′交AB于点F，求重叠部分△AFC的面积．
15．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图．有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）求∠ACB度数；
（2）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（3）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
16．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标．
17．如图，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO＝20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，AO⊥BO，设OB的长度为x米．
（1）求OB的长度；
（2）若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米．
18．已知：在四边形ABCD中，连接AC，BC＝AB，CD2+AD2＝2AB2，AD⊥CD．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
19．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：
（1）DE的长；
（2）求阴影部分△GED的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，BE＝4，CF＝2．
（1）判断△AEF的形状；
（2）求△AEF中AF边上的高的长度．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵0.32+0.42＝0.52，
∴能构成直角三角形；符合题意；
B、∵52+62＝61≠112，
∴不能构成直角三角形；不符合题意；
C、∵22+（）2＝9≠（）2，
∴不能构成直角三角形；不符合题意；
D、∵42+52＝41≠62，
∴不能构成直角三角形．不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：A、∠A＝∠B﹣∠C，△ABC是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：1：2，△ABC是直角三角形；
C、b2＝a2﹣c2得b2+c2＝a2，△ABC是直角三角形；
D：a：b：c＝2：3：4，a＝2x，那么b＝3x，c＝4x，a2+b2＝13x2，c2＝16x2，可证△ABC 不是直角三角形；
故选：D．
3．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
∴OB＝＝＝，
∴这个点表示的示数是，
故选：C．
4．【解答】解：∵122+162＝202，即AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且AC是直角边，
∴△ABC的面积是×12×16＝96．
故选：D．
5．【解答】解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+2）m．
根据题意得：
x2+62＝（x+2）2，
解得x＝8．
故旗杆的高为8米．
故选：B．
6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即4+16＝20＝AB2，
∴S3＝20，
故选：A．
7．【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，
则由勾股定理，得AB＝＝2，
由AC BC＝AB h得到：h＝＝＝．
故选：D．
8．【解答】解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的，
∴DN＝NE．
∵E是BC的中点且BC＝8cm，
∴EC＝4cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°．
设CN的长度为x cm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，
由勾股定理NC2+EC2＝NE2，得x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故选：A．
二、填空题
9．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2﹣BC2＝172﹣152＝64，
∵四边形ABFD为正方形，
∴DF＝AB，
∴阴影部分的面积＝DE2+EF2＝DF2＝64，
故答案为：64．
10．【解答】解：当4和5为直角边时，
第三边长为＝；
当5为斜边，4为直角边时，
第三边长为＝3．
故答案为：3或．
11．【解答】解：由题意可知，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∵将△CBE沿CE翻折至△CFE，
∴∠F＝∠B＝∠A＝90°，BE＝EF，
又∵EG＝GH，∠AGE＝∠FGH，
∴△AGE≌△FGH（AAS），
∴FH＝AE，GF＝AG，
∴AH＝BE＝EF，
设AE＝FH＝x，则AH＝BE＝EF＝4﹣x，
∴DH＝AD﹣AH＝x+2，CH＝CF﹣FH＝6﹣x，
∵CD2+DH2＝CH2，
∴42+（2+x）2＝（6﹣x）2，
解得：x＝1，
∴AE＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：圆柱展开图为长方形，
则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，
由勾股定理得AB＝＝＝＝15cm．
故蚂蚁经过的最短距离为15cm．
13．【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2，c2＝25，
∴a2+b2＝25，
∵小正方形的面积是1，
∴（a﹣b）2＝1，
∴a2﹣2ab+b2＝1，
∴ab＝12，
∴（a+b）2
＝a2+2ab+b2
＝（a2+b2）+2ab
＝25+2×12
＝25+24
＝49，
故答案为：49．
三、解答题
14．【解答】解：由折叠和矩形的性质可知，∠D'＝∠D＝∠B＝90°，AD'＝CB＝4，
又∵∠AFD'＝∠CFB，
∴△AD'F≌△CBF（AAS），
∴AF＝CF，
设BF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，
在Rt△CBF中，由勾股定理，得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴；
故重叠部分△AFC的面积为10．
15．【解答】解：（1）∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝（m），
∴EF＝100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
16．【解答】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，BE＝＝＝6，
∴CE＝4，
∴E（4，8）．
在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，
又∵DE＝OD，
∴（8﹣OD）2+42＝OD2，
∴OD＝5，
∴D（0，5），
综上D点坐标为（0，5）、E点坐标为（4，8）．
17．【解答】解：（1）由题意知，AB＝（x+10）米，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即x2+202＝（x+10）2，
解得x＝15，
∴OB的长度为15米；
（2）由题意知，OC＝AO﹣AC＝20﹣5＝15（米），CD＝AB＝25米，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
OC2+OD2＝CD2，
即152+OD2＝252，
解得OD＝20米（负值舍去），
∴BD＝20﹣15＝5（米），
∴云梯的底部B往外移动了5米．
18．【解答】解：（1）AB⊥BC，理由如下：
∵AD⊥CD，
∴AD2+CD2＝AC2，
∵CD2+AD2＝2AB2，
∴AC2＝2AB2，
∵BC＝AB，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）由（1）可知，∠ABC＝90°，AD⊥CD，
∴CD2+AD2＝AB2+BC2，
∵，AD＝17，
∴CD2+172＝（3CD）2+（3CD）2，
解得：，
∴，
∴四边形ABCD的周长＝．
19．【解答】解：（1）设DE＝EG＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AEG中，AG2+EG2＝AE2，
∴16+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴DE＝3．
（2）过G点作GM⊥AD于M，
则 AG×GE＝ AE×GM，AG＝AB＝4，AE＝CF＝5，GE＝DE＝3，
∴GM＝，
∴S△GED＝GM×DE＝．
20．【解答】解：（1）△AEF是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BE＝4，CF＝2．
∴EC＝4，DF＝6，
根据勾股定理可得：AE＝＝4，
同理可得：EF＝2，AF＝10，
∴EF2+AE2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形；
（2）如图，过点E作EH⊥AF交AF于点H，
∵△AEF是直角三角形，
∴S△AEF＝＝，
∴EH＝＝＝4，
∴△AEF中AF边上的高的长度为4．
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