2025年九年级数学中考三轮冲刺练习（二）（含答案）

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2025年九年级数学中考三轮冲刺练习（二）
一、选择题
1.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F，G分别是AE，CE的中点，则线段FG＝（　　）
A． B．3 C． D．
3.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣3，6），B（6，3），直线y＝kx﹣3与线段AB有交点，则k的值不可能是（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
4.如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是上一点，连接PB、PC．若AD＝2AB，则sin∠BPC的值为（　　）
A． B． C． D．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（　　）
A．≤m≤ B．﹣﹣5≤m≤+5
C．﹣2≤m≤+2 D．﹣﹣2≤m≤+2
二、填空题
6.若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为　 　．
7.若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为　 　．
8.已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为　 　．
三、解答题
9.已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求﹣÷的值．
103月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向M、N两地之间修建一条道路．已知：如图C点周围180m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上．
（1）NM是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工作需要多少天？
11.如图1，在⊙O中，AB为直径，BC为切线，弦BE⊥OC，连CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）如图2，CF⊥BC交AE的延长线于F，BC＝AB，求的值．
12.已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．
（1）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（2）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．
13.如图，已知抛物线（k为常数，k>0）与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形是ΔCED。
(1)求证：四边形OCED是菱形。
(2)连接AE，若AB=6cm，BC=cm。
①求sin∠EAD的值。
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动。当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间。
参考答案
一、选择题
1.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2＝0的两根，下列结论一定正确的是（　A　）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F，G分别是AE，CE的中点，则线段FG＝（　A　）
A． B．3 C． D．
3.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣3，6），B（6，3），直线y＝kx﹣3与线段AB有交点，则k的值不可能是（　A　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
4.如图，矩形ABCD内接于⊙O，点P是上一点，连接PB、PC．若AD＝2AB，则sin∠BPC的值为（　B　）
A． B． C． D．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（　D　）
A．≤m≤ B．﹣﹣5≤m≤+5
C．﹣2≤m≤+2 D．﹣﹣2≤m≤+2
二、填空题
6.若三角形的三条边长分别为5，12，13，则这个三角形外接圆的半径为　 6.5 　．
7.若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为　 5 　．
8.已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的值为
　 k＝﹣1或k＞3　 　．
三、解答题
9.已知实数a满足a2+2a﹣15＝0，求﹣÷的值．
解：﹣÷＝﹣ ＝﹣＝，
∵a2+2a﹣15＝0，
∴（a+1）2＝16，
∴原式＝＝．
10.3月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．在“创卫”过程中，要在东西方向M、N两地之间修建一条道路．已知：如图C点周围180m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上．
（1）NM是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工作需要多少天？
解：（1）由示意图可得：∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝500m，
设C到AB的距离为h，则可得：
tan30°＝，
∴AD＝h，
h+h＝500，
解得：h＝250（﹣1）≈183m，
∵h＞180m，
∴NM不穿过文物保护区．
（2）设原计划完成这项工作需要x天，则
×（1+25%）＝，解得：x＝25
经检验，x＝25是原方程的解．
答：原计划完成这项工作需要25天．
11.如图1，在⊙O中，AB为直径，BC为切线，弦BE⊥OC，连CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）如图2，CF⊥BC交AE的延长线于F，BC＝AB，求的值．
（1）证明：连接OE，如图1所示：
则OB＝OE，设OC与BE交于点H，
∵OC⊥BE，∴H为BE的中点，∴OC垂直平分BE，
∴BC＝EC，在△OEC和△OBC中，，∴△OEC≌△OBC（SSS），
∴∠OEC＝∠OBC，∵BC为切线，AB为直径，
∴∠OBC＝90°，∴∠OEC＝90°，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°＝∠OHB，
∴OC∥AF，
∵AB⊥BC，CF⊥BC，
∴AB∥CF，
∴四边形AOCF为平行四边形，
∴AF＝OC，
∵BE⊥OC，
∴BH＝HE，
∴OH是△BAE的中位线，
设OH＝x，则AE＝2OH＝2x，
∠AEB＝∠BHC＝90°，
∠BCH＝∠ABE＝90°﹣∠CBH，
在△ABE和△BCH中，，
∴△ABE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝2x，
∴OB＝＝＝x，
∴BC＝AB＝2OB＝2x，
∴OC＝＝＝5x，
∴AF＝OC＝5x，
EF＝AF﹣AE＝5x﹣2x＝3x，
∴＝＝．
12.已知抛物线G：y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k，其中k为常数．
（1）若抛物线G的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（2）对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的对等值．若函数y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k有两相异的对等值x1，x2，且x1＜2＜x2，求k的最大整数值．
解：（1）∵y＝x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
又a＝1＞0，△＝（k﹣5）2﹣4（1﹣k）＝（k﹣3）2+12，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1+x2＝5﹣k＞0，x1x2＝1﹣k≥0，
解得k≤1，
∴k的取值范围为k≤1；
（2）依题意，得：x2+（k﹣5）x+1﹣k＝x，
∴x2+（k﹣6）x+1﹣k＝0，
∵△＝（k﹣4）2+16＞0，
∴k为任意实数，
又x1+x2＝6﹣k，x1x2＝1﹣k，
∵（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，
∴1﹣k﹣2（6﹣k）+4＜0，
∴k＜7，
∴综上，k的最大整数值为6．
13.如图，已知抛物线（k为常数，k>0）与x轴从左至右依次交于点A、B，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D．
（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k，
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），
∴﹣×4+b＝0，解得b＝，
∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．
当x＝﹣5时，y＝3，
∴D（﹣5，3）．
∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，
∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，
∴k＝．
∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．
即y＝x2﹣x﹣；
（2）如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，
∴tan∠DBA＝＝＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，
∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，
∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，
∴F（﹣2，2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形是ΔCED。
(1)求证：四边形OCED是菱形。
(2)连接AE，若AB=6cm，BC=cm。
①求sin∠EAD的值。
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动。当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间。
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴OD＝OB＝OC＝OA，
∵△EDC和△ODC关于CD对称，
∴DE＝DO，CE＝CO，
∴DE＝EC＝CO＝OD，
∴四边形CODE是菱形．
（2）①设AE交CD于K．
∵四边形CODE是菱形，
∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，
∴＝＝
∵AB＝CD＝6，
∴DK＝2，CK＝4，
在Rt△ADK中，AK＝＝＝3，
∴sin∠DAE＝＝，
②作PF⊥AD于F．易知PF＝AP sin∠DAE＝AP，
∵点Q的运动时间t＝+＝OP+AP＝OP+PF，
∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
∴OF＝CD＝3．AF＝AD＝，PF＝DK＝1，
∴AP＝＝，
∴当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s．
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