2025年九年级数学中考二轮专题复习：圆中相似三角形综合练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年九年级数学中考二轮专题复习：圆中相似三角形综合练习
1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．
（1）求证：AG∥CD；
（2）求证：PA2＝PG PB；
（3）若sin∠APD，PG＝6．求tan∠AGB的值．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F．
（1）求的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
3．如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD⊥AB，垂足为E，直径BF交CD于点G，连接AF，AD．若AB＝AC＝5，．
（1）证明：四边形ADGF为平行四边形；
（2）求的值；
（3）求sin∠CAD的值．
4．如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CDCG，BE＝3CE＝3．
①求DE的长；
②求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E．
（1）求证：△ACE∽△ABC；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若AD＝2CE，OA，求阴影部分的面积．
6．如图1，AB为⊙O的直径，AB＝12，C是⊙O上异于A，B的任一点，连接AC，BC，过点A作射线AD⊥AC，D为射线AD上一点，连接CD．
【特例感知】
（1）若BC＝6，则AC＝　 　 ；
（2）若点C，D在直线AB同侧，且∠ADC＝∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；
【深入探究】
若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC，连接OD．
（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；
（4）求OD长度的取值范围．
7．如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F．（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MN⊥OC交于点N．当CM：FM＝1：4时，求CN的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM GN的值．
9．如图，在菱形ABCD中，DH⊥AB于H，以DH为直径的⊙O分别交AD，BD于点E，F，连接EF．
（1）求证：①CD是⊙O的切线；
②△DEF∽△DBA；
（2）若AB＝5，DB＝6，求sin∠DFE．
10．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM．
（1）求证：DM是⊙O的切线；
（2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ．
①当tan∠BAP时，求BP的长；
②求的最大值．
11．如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB CN；
（3）当AB＝6，sin∠DCA时，求AM的长．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，tan∠BAC，求AD的长；
（3）在（2）的条件下，点P是⊙O上一动点，求PA+PB的最大值．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF AC＝AE AH；
（3）若sin∠DEA，求的值．
15．如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC PC＝BC2；
（3）已知BC2＝3FP DC，求的值．
参考答案
1．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，
∴AB⊥CD，
∵AB为⊙O的直径，AG是切线，
∴AG⊥AB，
∴AG∥CD；
（2）证明：∵AG是切线，
∴AG⊥AB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝∠GAD，
∵由折叠可得∠ABD＝∠ABC，
∴∠CBD＝2∠ABD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠PAD＝180°﹣∠CAD＝∠DBC＝2∠ABD，
∴∠PAG＝∠PAD﹣∠GAD＝2∠ABD﹣∠ABD＝∠ABD，
又∵∠APG＝∠BPA，
∴△APG∽△BPA，
∵，即PA2＝PG PB；
（3）解：∵sin∠，
设AD＝a，则AP＝3a，
∴，
∴，
∵由折叠可得AC＝AD＝a，
∴PC＝PA+AC＝3a+a＝4a，
∵在Rt△PCB中，，
∴BD＝CBPCa，
∵AD⊥BD，GA⊥AB，
∴∠AGB＝90°﹣∠GAD＝∠DAB，
∴．
2．【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
在Rt△AOC 中，，
∵AE⊥OC，
在Rt△AOE 中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，
∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．
∵AO＝BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE＝BM，OE＝OM，
∵，
∴BM＝2OE＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，
∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，
∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABM＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△AEB∽△BEC；
（3）连接DE，DF．如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO＝∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED＝∠AEO＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°．
∵∠DFB＝∠DAB＝45°，
∴∠DFB＝∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
3．【解答】（1）证明：∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥AF，
∴DG∥AF，
∴∠AFB＝∠BGD，
∵，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵，
∴∠ACB＝∠AFB，
∴∠ADC＝∠BGD，
∴AD∥GF，
∴四边形ADGF为平行四边形；
（2）解：设BE＝x，
∵AB＝AC＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣x，
∵AB⊥CD，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣AE2＝CE2，
∵BC＝2，
∴（2）2﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝2，AE＝3，
∴，
由（1）知，∠ADC＝∠BGD，
∵∠AED＝∠BEG，
∴△ADE∽△BGE，
∴，
∴；
（3）解：过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△BCE中，CE4，
∵，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠AED＝∠CEB，
∴△AED∽△CEB，
∴，
∴，
∴AD，DE，
∴CD＝CE+DE＝4，
∵S△ACDAC DH，
∴3＝5DH，
∴DH，
在Rt△ADH中，sin，
∴sin∠CAD．
4．【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，
∴2∠ADF＝∠AOD，
设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①连接BD，
∵BE＝3CE＝3，
∴CE＝1，
∵BE是切线，
∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC，
∴∠CBE＝∠BDC，
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△DBE，
∴，
∴，
∴DE＝9；
②∵DE＝9，
∵CD＝DE﹣CE＝8，
∵CDCG，
∴CG＝3，DG＝5，
∴GE＝CG+CE＝4，
在Rt△BGE中，BG，
∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA，
∴△ADG∽△CBG，
∴，
∴，
∴AG，
∴AB＝AG+BG，
∴⊙O的半径．
5．【解答】（1）证明：∵C是的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ACE∽△ABC；
（2）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
由（1）知：∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴OC⊥CE．
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：连接OD，过点O作OF⊥AD于点F，如图，
则AF＝FDAD，
∵AD＝2CE，
∴AF＝CE．
∵OF⊥AD，CE⊥AE，OC⊥CE，
∴四边形EFOC为矩形，
∴OF＝CE，
∴OF＝AF，
则△AFO为等腰直角三角形，
∴∠FAO＝45°，AF＝FOOA＝1．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠FAO＝45°，
∴∠AOD＝90°．
∴OA OD1，
，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAD﹣S△OAD1．
6．【解答】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC6，
故答案为：6；
（2）证明：∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝∠BCA＝90°，
∴AD∥BC，
∵∠ADC＝∠B，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）解：在Rt△ACD中，
∵tan∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°，
如图2，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
又∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝∠ACD＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝AB sin30°＝6，
在Rt△ACD中，CD4，
∴在Rt△COD中，OD2；
（4）解：如图3，过点A作射线AF⊥AB，作射线OF满足∠AOF＝60°，射线AF与OF交于点F，连接OC、CF，
在Rt△AOF中，AF＝OA tan60°OA，
∵tan∠ADC，
∴，
∵AF，
∴，
∵∠DAC＝∠OAF＝90°，
∴∠DAC+∠CAO＝∠OAF+∠CAO，即∠DAO＝∠CAF，
∴△CAF∽△DAO，
∴，即FC，
在Rt△AOF中，
∵，
∴12，
又∵|OF﹣OC|≤CF≤OF+OC，
∴6≤CF≤18，
∴2OD．
7．【解答】（1）证明：如图，
连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴OE＝OG，
∵OE 为⊙O的半径，
∴OG为⊙O的半径，
∵OG⊥AB，
∴AB与⊙O相切；
（2）解：如图，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴∠AEO＝90°，
∴由（1）可知 AE＝OE，
设AE＝OE＝OC＝OF＝R，
在Rt△AEO中，
∵AE2+EO2＝AO2，
∴AO2＝R2+R2，
∵R＞0，
∴，
又∵正方形ABCD的边长为1，
在Rt△ADC中，
∴，
∵OA+OC＝AC，
∴，
∴，
∴⊙O的半径为 ；
（3）解：如图，
连接FN，ON，
设CM＝k，
∵CM：FM＝1：4，
∴CF＝5k，
∴OC＝ON＝2.5k，
∴OM＝OC﹣CM＝1.5k，
在Rt△OMN中，由勾股定理得：MN＝2k，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴．
8．【解答】.（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接MD，AN，
在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，
∴ODOF，∠BOD＝60°，
∴OF＝4，
∴DF2，
∴AF＝2+4＝6，
在Rt△AEF中，∠F＝30°，
∴AEAF＝3，
∵∠F＝30°，OD⊥EF，
∴∠DOF＝60°＝∠2+∠3，
∵OA＝OD，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴AD＝DF＝2，
∵OD∥AE，
∴△DGO∽△AGE，
∴，
∴DGAD，AGAD，
∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，
∴，
∴GM GN＝GD GAAD ADAD2（2）2．
9．【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∵DH⊥AB，
∴∠CDH＝∠DHA＝90°，
∴CD⊥OD，
∵D为⊙O的半径的外端点，
∴CD是⊙O的切线；
②连接HF，
∴∠DEF＝∠DHF，
∵DH为⊙O直径，
∴∠DFH＝90°，
∴∠DHF＝90°﹣∠BDH，
∵∠DHB＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠BDH，
∴∠DHF＝∠DBA＝∠DEF，
∵∠EDF＝∠BDA，
∴△DEF∽△DBA；
（2）解：连接AC交BD于G．
∵菱形ABCD，BD＝6，
∴AC⊥BD，AG＝GC，DG＝GB＝3，
在Rt△AGB中，AG4，
∴AC＝2AG＝8，
∵S菱形ABCDAC BD＝AB DH，
∴DH，
由△DEF∽△DBA知：∠DFE＝∠DAH，
∴sin∠DFE＝sin∠DAH．
10．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点M为边BC的中点，
∴MC＝MD，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°，
∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴DM⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DM是⊙O的切线；
（2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T，
在Rt△ABC中，AB10，
设PT＝x，
∵tan∠BAP，
∴，
∴AT＝3PT＝3x，
∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x，
∵tan∠ABC，
∴，
解得：x，
∴PT，
∵sin∠ABC，即，
∴BP；
当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K，
∵tan∠BAP，
∴，
设BK＝a，则AK＝3a，
在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2，
即（3a）2+a2＝102，
解得：a1，a2（舍去），
∴AK＝3，BK，
∵S△ABPAP BKBP AC，
∴，
设BP＝m，则APm，
在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，
即82+（m+6）2＝（m）2，
解得：m1，m2（舍去），
∴BP；
综上所述，BP的长为或；
②设CP＝n，则AP，
如图，∵AC是⊙O的直径，
∴CQ⊥AP，
∵CQ AP＝AC CP，
∴CQ，
∴，
∵n＞0，
∴（n﹣8）2≥0，
∴64+n2≥16n，
∴，
∴的最大值为．
11．【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：△ABM是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AC，∠F＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAD＝∠DAF＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠EAF＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBD＝60°，
∴△ABM是等边三角形；
（3）解：∵△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∴∠MDE＝30°，
∵ME＝1，
∴MD＝2ME＝2，
∴AB＝MB＝4，
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴，
∵∠CAD＝30°，cos∠CAD，
即cos30°，
∴．
12．【解答】（1）证明：连接OD交AC于点H，如图，
∵AD＝CD，
∴，
∴半径OD⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠MDO＝∠AHO＝90°，
∴半径OD⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN，
∴∠ACD＝∠CDN，∠DNC＝∠ACB＝90°＝∠ADB，
∵，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABD＝∠CDN，
∴△CDN∽△ABD，
∴，
∵AD＝CD，
∴，
∴AD2＝AB CN；
（3）解：连接OD交AC于点H，连接BD，如图，
由（1）（2）得：∠ABD＝∠CDN＝∠ACD，∠ADB＝∠BNM＝∠AHO＝∠MDO＝90°，
∴sin∠ABD＝sin∠CDN＝sin∠ACD，
∵AB＝6，
∴AD＝AB sin∠ABD＝62，
∵AD＝CD，
∴CD＝2，
∴CN＝CD sin∠CDN＝22，
∴DN2，
∵∠CND＝∠CHD＝∠NDH＝90°，
∴四边形CNDH是矩形，
∴CH＝DN＝2，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2CH＝4，
在Rt△ABC中，BC2，
∵AC∥MN，
∴，即，
∴AM＝6．
13．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵点E为BC的中点，
∴DE＝BEBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD．
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠ODB+∠EDB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）知，∠BDC＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DEBC＝2．
∴BC＝4，
∵tan∠BAC，
∴AB＝8．AD＝2BD，
又∵在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即（2BD）2+BD2＝82，
∴BD（负值已舍去），
∴AD：
（3）解：设Rt△ABD中AB边上的高为h，
由（2）可知AB＝8，
又∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴PA2+PB2＝82＝64，
∴（PA+PB）2＝64+2PA PB，
.当PA+PB取最大值时，2PA PB也取最大值，
又∵S△ABPPA PBAB h，
当PA+PB取最大值时，S△ABP取最大值，
此时AB边高为取最大值为4，
∴S△ABPAB h＝2×8×4＝16．
∴PA PB＝2S△ABP＝32，
∴（PA+PB）2＝64+2×32＝128，
∴PA+PB＝8．
综上所述：PA+PB的最大值为8．
14．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵∠OCA＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥AD，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
又∵CD⊥AD，FG⊥AB，
∴∠AGF＝∠D＝90°，
∴∠AFG+∠DAG＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠AFG＝∠DEA，
∴△AHF∽△ACE，
∴，
即AF AC＝AE AH；
（3）过H作HM⊥AD，如图：
由（2）知∠AFG＝∠DEA，
∴sin∠DEAsin∠AFG，
设AG＝4x，AF＝5x，则FG＝3x，
∵AC平分∠DAB，
∴MH＝GH，AG＝AM＝4x，
∴MF＝x，
设GH＝MH＝a，
∴tan∠AFG，
∴，
∴ax，
∴FH＝3xxx，
AH，
∴．
15．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴DA∥OC，
∵CD⊥DA，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠PBC，
∴∠BAC＝∠PBC，
又∵∠ACB＝∠BCP，
∴△ACB∽△BCP，
∴，
∴AC PC＝BC2；
（3）解：如图2，过P作PE⊥AB于点E，
由（2）可知，AC PC＝BC2，
∵BC2＝3FP DC，
∴AC PC＝3FP DC，
∵CD⊥DA，
∴∠ADC＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCP＝90°，
∴∠ADC＝∠BCP，
∵∠DAC＝∠CBP，
∴△ACD∽△BPC，
∴，
∴AC PC＝BP DC，
∴BP DC＝3FP DC，
∴BP＝3FP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴PF⊥AD，
∵AC平分∠DAB，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
∵，
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)