北师大版2024—2025学年八年级下册数学期中考试全真模拟试卷（含答案）

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北师大版2024—2025学年八年级下册数学期中考试全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．B． C．D．
2．若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．3a＞3b B．a﹣1＞b﹣2 C．a2＞b2 D．1﹣3a＜1﹣3b
3．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
4．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．12
C．9或12 D．以上都不是
5．如图，一次函数y1＝﹣2x+m与y2＝ax+6的图象相交于点P（﹣2，3），则关于x的不等式m﹣2x＜ax+6的解集为（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＜3 D．x＞3
6．已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，E为AC上一点，连接BE，CD平分∠ACB交BE于点D，且BE⊥CD，∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为（　　）
A．1.2 B．1.5 C．2 D．3
8．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1
9．如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA＝2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，则△APQ的面积等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDES△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．关于x的不等式3x＜6与x＜a的解集相同，则a＝　 　 ．
12．如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AD＝2，BC＝8，则△BCD的面积为 　 　 ．
13．如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，6），则关于x的不等式kx+b≤﹣2x的解集为 　 　 ．
14．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝b﹣a+ab﹣2，例如，2※5＝5﹣2+2×5﹣2＝11，请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜5，则不等式的所有正整数解的和是 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC将绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，连接BB′、BC′，若AC′＝BC′，则∠B′BC′的度数为 　 　 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝6，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D为AC上一点，且AD＝2，点E为边AB上一动点，连接CE，将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，连接DF，则CE+DF的最小值为 　 　 ．
第II卷
北师大版2024—2025学年八年级下册数学期中考试全真模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．（1）解不等式：5x＞3（x﹣2）+2，并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面积．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，PA+PC最小，此时P的坐标为 　 　 ．
20．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲水果80千克，乙水果120千克．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
21．如图，BE是△ABC的角平分线，CD∥AB交BE延长线于点D．
（1）求证：CD＝CB．
（2）过A作AF⊥AB交BD于F．若AE＝AF，AC＝4，BC＝5，求AB的长．
22．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+3＞0，方程的解为x＝2，使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+3＞0的“梦想解”．
（1）已知①；②2（x+3）＜4；③，则方程2x+5＝7的解是它与①②③中的不等式 　 　 的“梦想解”；
（2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解．
23．如图，一次函数y1＝2x+1图象与x轴交于点A，一次函数y2＝kx+b图象与x轴交于点B（4，0），两函数图象交于点C（1，m）．
（1）求一次函数y2＝kx+b的表达式；
（2）下列说法正确的有 　 　 （填序号）；
①关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4；
②当0＜x＜4时，一次函数值y2的取值范围是0＜y＜3；
③关于x的方程kx+b＝2x+1的解是x＝1；
④关于x的不等式kx+b≥2x+1的解集是x≤1．
（3）观察图象，请直接写出不等式（2x+1）（kx+b）＜0的解集．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，点E在AB边上，且∠ADE＝∠ADC．
（1）若DE垂直平分AB，求∠B的度数；
（2）若∠BDE＝∠BAD，求证：DE＝2CD；
（3）若BD＝2CD＝4，当△BDE是以ED，EB为腰的等腰三角形时，求AC的长．
25．已知△AOB和△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO．
（1）如图1，连接AC，BD，请直接写出线段AC与BD的数量关系和位置关系；
（2）若将△COD绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点D恰好在AB边上时，求证：BD2+AD2＝2OD2；
②当点A，D，C三点在同一条直线上时，若OB＝2，OD＝4，请直接写出线段BD的长．
参考答案
一、选择题
1．选：C．
2．选：C．
3．选：B．
4．选：B．
5．选：A．
6．选：D．
7．选：C．
8．【解答】解：解得，
，
∵无解，
∴a≥1．
故选：A．
9．【解答】解：∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC，
∴PA＝PC＝2，∠CAB＝∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴△APQ的面积22，
故选：C．
10．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣（∠BAD+∠ABE）＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，
∴∠PAH＝∠BAP＝∠PFD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH＝PD，
∴AD＝AP+PD＝PF+PH．故②正确．
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD，
∵∠HPD＝90°，
∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH＝S△EPD，
∴S△APH＝S△AED，故⑤正确，
∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
＝S△ABP+S△APH+S△PBD
＝S△ABP+S△FPD+S△PBD
＝S△ABP+S△FBP
＝2S△ABP，故④不正确．
若DH平分∠CDE，则∠CDH＝∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH＝∠CBE＝∠ABE，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴DE∥AB，
这个显然与已知条件不符，故③错误，
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
二、填空题
11．【解答】解：∵3x＜6，
∴x＜2，
∵关于x的不等式3x＜6与x＜a的解集相同，
∴a＝2，
故答案为：2．
12．【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，∠A＝90，AD＝2，
∴DE＝AD＝2，
∵BC＝8，
∴S△BCDBC DE8×2＝8，
故答案为：8．
13．【解答】解：将点A（m，6）代入y＝﹣2x知：﹣2m＝6．
解得m＝﹣3．
故A（﹣3，6）．
当x≤﹣3时，一次函数y＝kx+b的图象不在y＝﹣2x的上方，
所以关于x的不等式kx+b≤﹣2x的解集是x≤﹣3．
故答案为：x≤﹣3．
14．【解答】解：∵不等式3※x＜5，
∴x﹣3+3x﹣2＜5，
x+3x＜5+3+2，
4x＜10，
x＜2.5，
∴该不等式的所有正整数解为：1，2，
∴不等式的所有正整数解的和是3，
故答案为：3．
15．【解答】解：根据题意，将△ABC将绕点A逆时针旋转75°得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝75°，∠B′AC′＝∠BAC，
∴，
∵∠BAC＝55°，
∴∠B′AC′＝∠BAC＝55°，
∴∠C′AB＝∠BAB′﹣∠B′AC′＝75°﹣55°＝20°，
∵AC′＝BC′，
∴∠C′BA＝∠C′AB＝20°，
∴∠B′BC′＝∠ABB′﹣∠C′BA＝52.5°﹣20°＝32.5°．
故答案为：32.5°．
16．【解答】解：作EH⊥AC，设AF的长为x，
∵将点E绕点A顺时针旋转60°得到点F，
∴AF＝AE＝x，∠EAF＝60°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠FAD＝90°，，，
∵AC＝6，AD＝2，
CH＝6x，
∴CE+DF，
将它们表示在平面直角坐标系上，如图2，
利用“两点之间，线段最短”可知，CE+DF的最小值即为MN的长，
∴MN2，
故答案为：2．
三、解答题
17．【解答】解：（1）∵5x＞3（x﹣2）+2，
∴5x＞3x﹣6+2，
5x﹣3x＞﹣6+2，
2x＞﹣4，
则x＞﹣2，
解集表示在数轴上如下：
（2）由3x﹣4＞2（x﹣2）得：x＞0，
由1得：x≤4，
所以不等式组的解集为0＜x≤4，其整数解为1、2、3、4．
18．【解答】解：连接AC．
在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝252，
在△ADC中，
CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC15×207×24＝234（平方米），
∴四边形ABCD的面积为234平方米．
19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）取点C关于x轴的对称点C'，连接AC'，交x轴于点P，连接CP，
此时PA+PC＝PA+PC'＝AC'，为最小值，
则点P即为所求．
设直线AC'的解析式为y＝kx+b，
将A（1，1），C'（3，﹣4）代入，
得，
解得，
∴直线AC'的解析式为y．
令y＝0，得x，
∴此时点P的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
20．【解答】解：（1）设甲种水果的进价是x元/千克，乙种水果的进价是y元/千克，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种水果的进价是12元/千克，乙种水果的进价是20元/千克；
（2）根据题意得：（17﹣12）×（80﹣m）+（30﹣20）×（120﹣3m）≥800，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为22．
答：正整数m的最大值为22．
21．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠D，
∴∠D＝∠CBF，
∴CD＝CB；
（2）解：∵AF⊥AB，
∴∠FAB＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵AF＝AE，
∴∠AFB＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠AFB＝∠CEB，
∵∠ABF＝∠CBF，
∴∠CEB+∠CBF＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣（∠CEB+∠CBF）＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝5，
∴AB，
∴AB的长为．
22．【解答】解：（1）解方程2x+5＝7得：x＝1，
解①得：x＞2，故方程2x+5＝7解不是①的“梦想解”；
解②得：x＜﹣1，故方程2x+5＝7解不是②“梦想解”；
解③得：x＜7，故方程2x+5＝7解是③的“梦想解”；
即方程2x+5＝7的解是不等式③的“梦想解”．
故答案为：③．
（2）解方程组，
得，
∴x+y＝2m﹣31，
∵方程组的解是不等式组的“梦想解”，
∴﹣1＜2m﹣31＜5，
∴15＜m＜18．
∴m的整数解为16、17．
23．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝2x+1图象与x轴交于点A，一次函数y2＝kx+b图象与x轴交于点B（4，0），两函数图象交于点C（1，m），
∴一次函数y1＝2x+1图象经过点C（1，m），
∴m＝2×1+1＝3，
∴C（1，3），
∵一次函数y2＝kx+b图象经过点C（1，3）和B（4，0），
∴，
解得，
∴一次函数y2＝﹣x+4；
（2）由图象可得：
①关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜4，说法正确；
②令x＝0，则y2＝4，
∴当0＜x＜4时，一次函数值y2的取值范围是0＜y＜4，原说法错误；
③关于x的方程kx+b＝2x+1的解是x＝1，说法正确；
④关于x的不等式kx+b≥2x+1的解集是x≤1，说法正确．
综上，正确的说法是①③④；
故答案为：①③④；
（3）∵（2x+1）（kx+b）＜0，
∴或，
观察图象，的解集为x＞4，
的解集为，
综上，（2x+1）（kx+b）＜0的解集为或x＞4．
24．【解答】（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ADE＝∠ADC．DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
即△ABD是等腰三角形，
∴DE是角平分线，
∴∠ADE＝∠BDE，
∴，
∴∠B＝30°；
（2）证明：∵∠BDE＝∠BAD，∠B＝∠B，
∴∠BED＝∠ADB，
∴∠AED＝∠ADC，
∵∠ADE＝∠ADC，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE，
如图1，过点A作AM⊥DE于点M，
∴△ADE是等腰三角形，AM是中线，
∴DM＝EM，
在△ADC和△ADM中，
，
∴△ADC≌△ADM（AAS），
∴CD＝DM，
∴DE＝2CD；
（3）解：当ED＝EB时，得图中角之间的关系如图2，过点A作AF∥DE交BC的延长线于点F，
∵BD＝2CD＝4，
∴CD＝2，CF＝6，AF＝8，
由勾股定理得：．
25．【解答】解：（1）AC＝BD，AC⊥BD；
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠DOB＝∠COA，
在△DOB和△COA中，
，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴BD＝AC，∠OAC＝∠OBD，
又∵∠AME＝∠BMO，
∴∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD；
（2）①证明：如图，连接AC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB﹣∠AOD＝∠COD﹣∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD与△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC，∠B＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠B+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△COD中，
∵∠COD＝90°，CO＝DO，
∴CD2＝CO2+OD2＝2OD2，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝90°，
∴AC2+AD2＝CD2，
又∵BD＝AC，CD2＝2OD2，
∴BD2+AD2＝2OD2；
②（Ⅰ）如图，设OA交BD于点J，过O作OH⊥CD于点H，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
∵∠AJD＝∠BJO，
∴∠ADJ＝∠JOB＝90°，
∵OC＝OD＝4，∠COD＝90°，OH⊥CD，
∴CD＝4，CH＝HD＝OH＝2，
∴AH4，
∴BD＝AC＝CH+AH＝246，
（Ⅱ）如图，
同法可得：BD＝AC＝422，
综上所述，BD的长为6或2．
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