第一章 三角形的证明 章节期中复习（含答案）北师大版2024—2025学年八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
第一章三角形的证明章节期中复习北师大版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝90° B．a：b：c＝5：12：13
C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．如图，在△ABC中，已知∠A＝30°，∠ABC＝70°，D为AC边上一点，且AD＝BD．则∠DBC＝（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　）
A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5
5．如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，连接FH．给出下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB＝60°；③BF＝AH；④△CFH是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ．
7．如图，CE和CF分别是△ABC的内、外角平分线，且EF∥BC交AC于点 P，若AP＝2，AC＝5，则CE2+CF2的值是 　 　 ．
8．已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连接DE，则BE＝　 　 ．
9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面积为45，△ADC的面积为20，则△ABD的面积等于　 　 ．
三、解答题
10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
11．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
12．如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
求证：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
13．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B．
（1）求证：AE⊥AC；
（2）求DE的长．
14．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
15．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长部为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）已知△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，求△ABC的面积．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵a：b：c＝5：12：13，
∴设a＝5x，b＝12x，c＝13x，
∴a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝（13x）2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
3x+4x+5x＝180°，
解得：x＝15°，
5x＝75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝40°，
故选：D．
3．【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
4．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴．
故选：B．
5．【解答】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），故①正确；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF＝∠CAH．
∵∠BFC＝∠AFG，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，故②正确；
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF＝CH，BF＝AH；故③正确；
∵CF＝CH，∠ACH＝60°，
∴△CFH是等边三角形；故④正确．
故选：D．
二、填空题
6．【解答】解：如图，连接BP，
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，
∴BD＝DC，
∴BP＝PC，
∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，
∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，
∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，
令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，
∵BQ'⊥AC，
∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，
即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，
解得a，
∴BQ'，
∴PC+PQ的最小值为，
故答案为：．
7．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE∠ACB，∠ACF＝∠DCF∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠DCF＝∠F，
∴∠ACE＝∠FEC，∠ACF＝∠F，
∴EP＝CP，CP＝FP，
∴EP＝CP＝FP，
∵AP＝2，AC＝5，
∴EP＝FP＝CP＝AC﹣AP＝3，
∴EF＝EP+FP＝6，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+CF2＝EF2＝62＝36，
故答案为：36．
8．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，
∴点D为AC的中点，AC＝BC，
∵CE＝CD＝1，
∴AC＝2CD＝2，
∴BC＝2，
∴BE＝BC+CE＝2+1＝3，
故答案为：3．
9．【解答】解：延长AD交BC于E，如图，
由条件可知∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴S△ABD＝S△EBD，S△CDE＝S△ACD＝20，
∴S△ABD＝S△EBD＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
三、解答题
10．【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（2）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
11．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
12．【解答】证明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
13．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C，
∴∠C+∠AED＝90°，
∴∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC；
（2）解：∵∠EAC＝90°，
∴AE2+AC2＝CE2，
∵CE＝CD+DE＝DE+8，
∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC，
∴AD6，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2，
∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2，
解得：DE＝4.5．
14．【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15，
解得，EG＝EH，
∴EF＝EH，
∴△ABE的面积AB×EF7．
15．【解答】（1）证明：梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，
∴，
即a2+b2＝c2；
（2）解：设AC＝AB＝x千米，
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米，
∵CA2＝CH2+AH2，
∴x2＝0.82+（x﹣0.4）2，
∴x＝1，
即CA＝1千米，
∴CA﹣CH＝1﹣0.8＝0.2（千米），
答：新路CH比原路CA少0.2千米；
（3）解：作CH⊥AB，垂足为H，
设AH＝y，
∴BH＝AB﹣AH＝21﹣y，
∵CH⊥AB，AB＝21，AC＝10，BC＝17，
∵CH2＝CA2﹣AH2，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，
∴y＝6，
∴AH＝6，
∴．
∴．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)