2.4一元二次方程根与系数的关系期中专题复习（含解析）

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2.4一元二次方程根与系数的关系期中专题复习浙教版2024—2025学年八年级下册
一、选择题
1．关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4
4．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
6．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（　　）
A．m＝﹣2 B．m＝3 C．m＝3或m＝﹣2 D．m＝﹣3或m＝2
二、填空题
7．已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为　　．
8．设a、b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　 　．
9．若m是方程2x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则4m2﹣6m+2016的值为　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2m﹣4＝0有一个根为x＝﹣1，则m＝　 　．
11．若a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式2a2﹣4a+2023的值为　 　．
三、解答题
12．已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1+x2+x1x2＝m2+3，求m的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长；
（3）若x1，x2是原方程的两根，且（x1﹣x2）2+2m+3＝0，求m的值．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+﹣x1x2＝9，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2．
（1）填空：x1+x2＝ 　　，x1x2＝ 　　；
（2）求+，x1+；
（3）已知+＝2p+1，求p的值．
17．已知关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．
（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为5，求k的值．
18．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
20．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若两实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2，求m的值．
21．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
则 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　．
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：
由根的判别式得，△＝b2﹣4ac＝k2+8＞0
故有两个不相等的实数根
故选：A．
2．【解答】解：一元二次方程中，a＝1，b＝﹣2，c＝2，
∵，
∴一元二次方程有有两个相等的实数根，
故选：B．
3．【解答】解：由条件可知：（﹣1）2+4m＞0，
∴m＞﹣．
故选：B．
4．【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
5．【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
6．【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴△＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2+m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2；
∴m＝﹣2；
故选：A．
二、解答题
7．【解答】解：设方程的另一个根为c，
∵（+）c＝3，
∴c＝﹣．
故答案为：﹣．
8．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2027＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2027，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2027+1+1＝﹣2025．
故答案为：﹣2025．
9．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣2＝0，
∴2m2﹣3m＝2，
∴原式＝2（2m2﹣3m）+2016＝2019．
故答案为：2025．
10．【解答】解：将x＝﹣1代入x2+mx+2m﹣4＝0，
∴1﹣m+2m﹣4＝0，
∴m＝3，
故答案为：3
11．【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个解，
∴a2﹣2a＝1，
则2a2﹣4a+2023＝2（a2﹣2a）+2019＝2×1+2023＝2025；
故答案为：2025．
三、解答题
12．【解答】（1）证明：∵Δ＝（2﹣m）2﹣4×1×（1﹣m）＝m2≥0，
∴该方程总有两个实数根：
（2）解：由条件可知[x+（1﹣m）]（x+1）＝0，
∴x+（1﹣m）＝0或x+1＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝﹣1，
∵m＞0，
∴x1＝m﹣1＞﹣1，
∴（m﹣1）﹣（﹣1）＝2，
解得m＝2．
13．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+2）≥0，
∴m≥﹣1；
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+2＝0的实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+2，
∵，
∴4﹣2m+2＝m2+3，即m2+2m﹣3＝0，
∴m＝﹣3或1．
∵m≥﹣1；
∴m＝1．
14．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m+2）
＝（m﹣1）2，
∵无论m取何值，（m﹣1）2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，
∴等腰三角形另一腰长也为5，
∵两边长度为该方程的两根，
∴x＝5是原方程的解，
由x2+（m﹣3）x﹣m+2＝0得：52+（m﹣3）×5﹣m+2＝0，
解得：m＝﹣3，
原方程为x2﹣6x+5＝0，
设x1，x2是原方程的两根，因此x1+x2＝6，
则等腰三角形的周长为6+5＝11；
（3）解：∵（x1﹣x2）2+2m+3＝0，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+2m+3＝0，
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣（m﹣3），x1x2＝﹣m+2，
∴[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m+2）+2m+3＝0，
m2＝﹣4，
故方程无解．
15．【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1，
Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1）
＝m2+4m+4﹣4m+4
＝m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1．
∵+﹣x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9，
∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9．
整理，得m2+m﹣2＝0．
∴（m+2）（m﹣1）＝0．
解得m1＝﹣2，m2＝1．
∴m的值为﹣2或1．
16．【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为：p，1；
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴+＝＝＝p；
∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2，
∴，
∴，即；
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵，
∴，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p1＝3，p2＝﹣1，
当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
17．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣1）
＝4＞0，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x＝＝k±1，
解得x1＝k+1，x2＝k﹣1，
当k+1＝5时，k＝4；
当k﹣1＝5时，k＝6，
综上所述，k的值为4或6．
18．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0，
解得k＞1．
（2）∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
19．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
20．【解答】解：（1）∵Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+2）
＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8
＝8m﹣4≥0，
∴m≥；
（2）∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2，
∴由x1+x2＝x1x2得2（m+1）＝m2+2，
解得：m1＝0，m2＝2，
∵m≥，
∴m＝2．
21．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案为：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
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