2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：一元二次方程根与系数的关系专题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一元二次方程根与系数的关系专题训练
一．选择题
1．设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．﹣1
2．若关于x的方程x2﹣bx+6＝0的一根是x＝2，则另一根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝3
3．若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
4．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
5．已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．﹣
6．已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是﹣2，则它的另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5
7．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则它的两根之积为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
8．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
9．若x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
10．已知方程x2+2025x﹣3＝0的两根分别为α和β，则代数式α2+αβ+2025α的值为（　　）
A．1 B．0 C．2025 D．﹣2025
11．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（　　）
A．4 B．2 C．4 D．3
12．已知α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，则（1+2025α+α2）（1+2025β+β2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．设a、b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（　　）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
14．已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，则x12﹣4x1+x1x2＝（　　）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
二．填空题
15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
16．关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为　 　．
17．一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根之和为　 　．
18．设m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣n＝　 　．
19．已知方程x2﹣3x﹣1＝0的两根是x1、x2，则x1﹣x1x2+x2＝　 　．
20．已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+m﹣7＝0，若有一个根为0，则m＝　 　；若两根之和为0，则m＝　 　．
21．已知a、b是方程2x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则2a2+a+3b的值是　 　．
三．解答题
22．设x1，x2，是方程x2﹣2（k﹣1）x﹣k2﹣1＝0两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）如果方程的两实数根满足x12+x22＝4，求k的值．
23．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根x1，x2，
（1）求m的取值范围；
（2）若x12+x22＝56，求m的值．
24．已知关于x的方程kx2﹣2（k+2）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝4，求k的值．
25．若m、n是方程x2+2x﹣2019＝0的两根．
求：（1）+的值；
（2）m2+m﹣n的值．
26．已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：
（1）x1x22+x12x2
（2）（x1﹣x2）2
27．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x12+x22＝x1x2+3时，求实数m的值．
28．已知关于x的一元二次方程3x2﹣5x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若原方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣．
故选：A．
2．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣bx+6＝0得：4﹣2b+6＝0，
解得：b＝5，
即方程为x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或3，
即方程的另一个根是x＝3，
故选：D．
3．【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3；
故选：B．
4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故选：D．
5．【解答】解：设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1 x1＝﹣，
解得x1＝．
故选：C．
6．【解答】解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，
由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，
解得x2＝5．
故选：D．
7．【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m＝，
解得，m＝﹣1，
∴两根之积为2，
故选：B．
8．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝2、x1x2＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣3）＝5．
故选：B．
9．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝2．
故选：B．
10．【解答】解：依题意得：αβ＝﹣3，α+β＝﹣2025，α2+2025α﹣3＝0，
所以α2+αβ+2025α＝α（α+β）+2025α＝﹣2025α+2025α＝0．
故选：B．
11．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，
x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝2．
故选：B．
12．【解答】解：∵α，β是方程x2+2023x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，α2+2023α＝﹣1，β2+2023β＝﹣1，
∴（1+2025α+α2）（1+2025β+β2）＝（1+2α﹣1）（1+2β﹣1）＝4αβ＝4．
故选：D．
13．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2026，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2026﹣1＝2025．
故选：B．
14．【解答】解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两根x1、x2，
∴x1x2＝3、x12﹣4x1+3＝0即x12﹣4x1＝﹣3，
则原式＝﹣3+3＝0，
故选：A．
二．填空题
15．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣5，
则原式＝﹣2﹣（﹣5）＝﹣2+5＝3，
故答案为：3．
16．【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，
∴﹣＝﹣1，＝﹣2，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴nm＝（﹣4）×2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
17．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根之和为4，
故答案为：4．
18．【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，m2﹣2m＝2026，
则原式＝m2﹣2m﹣m﹣n
＝m2﹣2m﹣（m+n）
＝2026﹣2
＝2024，
故答案为：2024．
19．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴x1﹣x1x2+x2＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
20．【解答】解：当有一个根为0，
把x＝0代入x2﹣（m+3）x+m﹣7＝0得m﹣7＝0，解得m＝7，
当两根之和为0，x1+x2＝﹣，
根据题意得m+3＝0，解得m＝﹣3．
故答案为：7；﹣3．
21．【解答】解：由题意知a+b＝1，ab＝﹣，2a2﹣2a﹣1＝0，即2a2＝2a+1，
∴2a2+a+3b＝2a+1+a+3b＝3（a+b）+1＝3×1+1＝4．
故答案为：4．
三．解答题
22．【解答】解：（1）由△＝4（k﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝8k2﹣8k+8≥0，
∴k2﹣k+1≥0，
∴（k﹣）2+≥0，
∴k取全体实数；
（2）由于x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝﹣k2﹣1，
∵x12+x22＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，
∴4（k﹣1）2﹣2（﹣k2﹣1）＝4，
∴3k2﹣4k+1＝0，
解得：k＝或k＝1
23．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，
∴△≥0，即[2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
24．【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k﹣2＝0，
∴△＝[﹣2（k+2）]2﹣4k（k﹣2）＝24k+16且k≠0，
∵24k+16＞0且k≠0恒成立，
∴k＞﹣且k≠0．
∴k的取值范围是k＞﹣且k≠0．
（2）∵x1、x2是方程的两个根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝[]2﹣3×＝4，
即3k2﹣22k﹣16＝0．
解得k1＝﹣（舍去），k2＝8，
经检验，k2＝8是原方程的解．
故k的值是8．
25．【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣2019＝0，根据根与系数的关系得：m+n＝﹣2，mn＝﹣2019；
（1）+＝＝＝＝﹣；
（2）m2+m﹣n＝m2+2m﹣（m+n）＝2019﹣（﹣2）＝2021．
26．【解答】解：x1+x2＝，x1x2＝，
（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝×＝；
（2）原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝．
27．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2+1＝0有两个不相等实数根x1，x2，
∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2+1）＝﹣4m﹣3＞0，
∴m＜﹣．
（2）∵x1+x2＝2m﹣1，x1 x2＝m2+1，
∴x12+x22＝x1x2+3，
（x1+x2）2＝3x1x2+3，
（2m﹣1）2＝3（m2+1）+3，
m2﹣4m﹣5＝0，
解得：m＝5或m＝﹣1，
∵m＜﹣，
∴m＝﹣1．
故实数m的值是﹣1．
28．【解答】解：（1）根据题意得：
△＝（﹣5）2﹣12k
＝25﹣12k≥0，
解得：k≤，
即k的取值范围为：k；
（2）由题意得：
x，
∵原方程的一个根是2，
∴方程的另一个根是，
由，
∴．
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