2025年九年级中考数学二轮专题复习：一元二次方程根与系数的关系专题训练（含答案）

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2025年九年级中考数学二轮专题复习一元二次方程根与系数的关系专题训练
一．选择题
1．已知﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是（　　）
A．2 B．4 C．﹣6 D．﹣4
2．已知x1，x2是方程x2﹣7x+3＝0的两个实数根，则+的值为（　　）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（　　）
A．x2﹣4x+4＝0 B．x2+2x﹣4＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2+4x+10＝0
4．若x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，则此方程的另一个根x2＝（　　）
A．﹣5 B． C．5 D．﹣
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根为0，则另一根是（　　）
A．1或﹣1 B．﹣1 C． D．1
6．已知关于x方程x2﹣3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
7．一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个根为x1，x2，则x12+x22+x1x2的值为（　　）
A．2 B．6 C．8 D．14
8．若x1，x2是一元二次方程x2+6＝5x的两个根，则x1+x2+x1x2的值是（　　）
A．1 B．11 C．﹣11 D．﹣1
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0，若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，则k的值是（　　）
A．4 B．﹣1 C．4或﹣1 D．2
解答题
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+4＝0有一根为4．
（1）求a的值；
（2）求该方程的另一根．
11．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求代数式（x1﹣x2）2的值．
12．已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　，＝　 　，＝　 　；
（2）求x1﹣x2的值．
13．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若（x1+1）（x2+1）＝2，试求k的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，求x12+x22的最小值．
15．已知关于x的方程x2+mx+2m﹣7＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求m的值和该方程的另一个根．
（2）求证：不论m取何值时，该方程都有两个不同实数根．
16．设x1，x2，是方程x2﹣2（k﹣1）x﹣k2﹣1＝0两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）如果方程的两实数根满足x12+x22＝4，求k的值．
17．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的两实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求m的值和△ABC的周长．
19．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：设方程的另一根为a，
∵﹣2是一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣2+a＝，解得a＝4．
故选：B．
2．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣7x+3＝0两个实数根，
∴x1+x2＝7，x1x2＝3，
∴+＝＝，
故选：C．
3．【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本选项错误；
B、∵x1+x2＝1；故本选项错误；
C、∵△＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本选项正确；
D、∵△＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程无根；故本选项错误．
故选：C．
4．【解答】解：∵x1＝﹣1是关于x的方程x2+mx﹣5＝0的一个根，设另一个为x2，
∴﹣1 x2＝﹣5，
解得：x2＝5，
则方程的另一根是x2＝5．
故选：C．
5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣1，
∴一元二次方程为﹣2x2+x＝0，
设另一根为b，则0+b＝﹣，
∴b＝．
故选：C．
6．【解答】解：设该方程的两根为x1，x2，
则x1+x2＝3，
∵该方程的一个根为1，
则另一个根为：3﹣1＝2，
故选：A．
7．【解答】解：根据题意得：
x1+x2＝4，x1x2＝2，
x12+x22+x1x2
＝x12+x22+2x1x2﹣x1x2
＝﹣x1x2
＝42﹣2
＝16﹣2
＝14，
故选：D．
8．【解答】解：由原方程，得x2﹣5x+6＝0，
∴x1+x2＝5，x1 x2＝6，
∴x1+x2+x1x2＝5+6＝11；
故选：B．
9．【解答】解：△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+k﹣1）≥0，
解得k≤；
x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∵x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝11
∴（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝11，
整理得k2﹣3k﹣4＝0，解得k1＝4，k2＝﹣1
而k≤；
∴k的值为﹣1．
故选：B．
二．解答题
10．【解答】解：（1）设方程的另一个根为t，
则4+t＝a，4t＝4，
解得t＝1，a＝5，
即a的值为5；
（2）该方程的另一根为1．
11．【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣，
（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×（﹣）＝．
12．【解答】解：（1）x1+x2＝4，x1 x2＝2，
＝＝＝2；
＝x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案为4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±＝＝±＝±2．
13．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，
∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，
∴k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两根为x1和x2，
∴x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2．
∵（x1+1）（x2+1）＝2，即x1x2+（x1+x2）+1＝2，
∴k2+2（k﹣1）+1＝2，
解得：k1＝﹣3，k2＝1．
∵k≤，
∴k＝﹣3．
14．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2≥0，
解得k≥﹣；
（2）∵x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝[﹣（2k+1）]2﹣2k2
＝2k2+4k+1
＝2（k+1）2﹣1，
∵k≥﹣，
∴当k＝﹣时，x12+x22取得最小值，最小值为﹣．
15．【解答】（1）解：把x＝1代入方程x2+mx+2m﹣7＝0得：
1+m+2m﹣7＝0，
解得：m＝2，
即原方程为：x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
即m的值为2，方程的另一个根是﹣3，
（2）证明：△＝m2﹣4（2m﹣7）
＝m2﹣8m+28
＝（m﹣4）2+12
＞0，
即不论m取何值时，该方程都有两个不同实数根．
16．【解答】解：（1）由△＝4（k﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）
＝8k2﹣8k+8≥0，
∴k2﹣k+1≥0，
∴（k﹣）2+≥0，
∴k取全体实数；
（2）由于x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝﹣k2﹣1，
∵x12+x22＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，
∴4（k﹣1）2﹣2（﹣k2﹣1）＝4，
∴3k2﹣4k+1＝0，
解得：k＝或k＝1
17．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1，
∴k的取值范围为k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∵k2﹣4＝2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝，
经检验，k1＝﹣，k2＝均为原方程的解，k2＝不符合题意，舍去，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．
18．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0，
解得；
（2）当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+10＝0，
整理得m2﹣14m+45＝0，
解得m1＝9，m2＝5，
当m＝9时，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得x2＝13，
则三角形周长为13+7+7＝27；
当m＝5时，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得x2＝5，
则三角形周长为5+7+7＝19；
当7为等腰三角形的底边时，则x1＝x2，所以，方程化为4x2﹣44x+121＝0，
解得，三边长为，
其周长为，
综上所述，m的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18．
19．【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
故答案为：x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；
（2）∵a2≠b2，
令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝．
（3）令＝a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴≠﹣n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
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