2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过 天后进步的是落后的倍
A. B. C. D.
6.要得到的图象，只需将的图象( )
A. 所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位
B. 所有点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位
C. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
D. 所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位
7.在平行四边形中，，，直线与直线所成的夹角为，则平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.中，角所对的边分别为，，若分别为的外心和重心，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则( )
A.
B.
C.
D. 对恒成立，则的取值范围为
11.声音也包含着正弦函数我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称
C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为奇函数，则实数的值为______．
13.已知向量满足：，，则在上的投影向量的坐标为______．
14.已知在等腰中，，在直线上，且，，令，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和
求函数的解析式；
已知，角的终边与单位圆交于点，求的值．
16.本小题分
记的内角的对边分别为，已知
求角；
若，，求的面积．
17.本小题分
如图所示，在中，是边的中点，在边上，，与交于点．
以为基底表示；
若，求的值．
18.本小题分
已知函数，满足，
求参数的值；
若曲线关于点对称，则满足，证明：曲线是中心对称图形；
若对于，不等式恒成立，求参数的取值范围．
19.本小题分
形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍．
试将写成三角形式辐角取主值；
复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的倍后，所得向量对应的复数为，求；
类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数，若存在实部不为，且虚部大于的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为，为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值．
参考答案
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14.
15.解：，
故，又
故
，即
因为，所以，故，解得
角的终边与单位圆交于点，故，
所以
16.解：，
，
又，，
；
，
由正弦定理：，
又，
，，
，
，
由正弦定理：，

17.解：，
设，，
，
，
，解得，
．
由
所以
即
所以
18.解：由
；
证明：因为，则，
，
令，上式，
即有对恒成立，
故曲线关于中心对称
不等式可化为，
由知，
故有对恒成立，
易知在上单调递减，
则有对恒成立，
又，
当时，，
故，解得，
所以参数的取值范围为．
19.解：由于，
故，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以；
，
所以
设，
则
，
因为存在实数，使得成立，
所以为实数，
所以，
因为，，
所以，
当时，，符合题意，
点的轨迹为单位圆的一部分，
设，，
所表示的复数为，
则，
记所表示的复数为，
则，
所以
，
故，
所以
，
当，即时，．
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