2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值( )
A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 不存在
2.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
3.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则( )
A. B. C. D.
4.设向量，满足，，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知，是球的球面上的两点，，点为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.若，则等于( )
A. B. C. D.
7.设，，，是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若，则是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
8.如图所示，四边形中，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 复数虚部的最大值为
B. 复数实部的取值范围是
C. 的最小值为
D. 复数在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
10.下列四个选项中，计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是( )
A. 若平面，则，
B. 存在平面，使得，，
C. 有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D. 至多有一对互相垂直的平面和，其中，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是 ．
13.已知、是单位向量，若向量满足，则的最大值是 ．
14.已知，则
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．
求函数的解析式
设，则，求的值．
16.本小题分
如图所示，在四面体中，，，点，分别是，的中点．
求证：直线平面
平面平面
17.本小题分
在中，，，A.
求的值
求的值．
18.本小题分
半径为的圆内接，且
求数量积，，
求的面积．
19.本小题分
如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示．
求证：
求四棱锥的体积
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：函数的最大值为，所以：，
由于函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
得到函数的周期为：，进一步求得：，
所以：；
由得：，
由于： ，
所以：，
，解得：．
16.证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
．
平面，平面，
直线平面．
，，
．
，是的中点，
．
又，且，平面，
平面．
平面，
平面平面．
17.解：在 中， ， ， ，
因为 ，
所以 ；
由余弦定理可得 ，
得： ，
所以 ，
，
所以 ．
18.解：．
，
即．
可得．
又，
，
．
同理可得：，
等式两边平方可得：
，
，
同理可求得：
．
又，
．
由知
，得．
，
，同理，
．
19.解：证明：在图中，连接，易求．
四边形为菱形连接交于点，则．
在图中，，．
又于平面．
又平面，
由可知，平面平面，所以，所以平面，
由勾股定理可得，．
梯形的面积，
所以
解：在图中延长，，设，连接．
平面，平面．
又平面，平面．
是平面与平面的交线，
平面平面，，平面平面，
平面，
又平面，，作，垂足为，连接，
又，平面，
又平面，．
即为平面与平面所成锐二面角的平面角．
由知，，为等边三角形，，∽，
，解得．
在中，，
．
平面与平面所成锐二面角的余弦值．
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