2024-2025学年云南省玉溪市峨山一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年云南省玉溪市峨山一中高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，若，为上一点，且满足，则( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，在正三角形中，，，分别是，，的中点，则与向量相等的向量是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
3.若复数是的根，则( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不共线的单位向量，向量“，且”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，若，，则等于( )
A. B. C. D.
6.若是内一点，，则是的( )
A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心
7.若，且是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，向量，，且，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.化简以下各式，结果为的有( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平行四边形中，，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( )
A.
B.
C.
D.
11.设非零向量，满足，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，，都是边长为的等边三角形，，，三点共线，则 ______．
13.已知的三边长分别为，，，则的值为______．
14.已知、、为圆上的三点，若，则与夹角的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求角；
若点满足，且，求的面积的最大值．
16.本小题分
求实数的值或取值范围，使得复数分别满足：
是实数；
是纯虚数；
在复平面中对应的点位于第三象限．
17.本小题分
若定义一种运算：已知为复数，且．
求复数；
设，为实数，若为纯虚数，求的最大值．
18.本小题分
已知幂函数在定义域上不单调．
试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：
当时，，，
解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用
证明：当时，；
设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

16.解：因为复数是实数，所以，所以；
因为复数是纯虚数，所以，
所以；
复数在复平面中对应的点为，
因为该点位于第三象限，所以，所以．
17.
18.解：由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数；
由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或
19.证明：由已知当时，，
得，
所以当时，．
假设存在，则由知，
若，，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在和谐区间，
同理，，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为，故，
此时的定义域为，值域为，符合题意．
若，当时，同理可得，，舍去，
当时，在上单调递减，
所以，于是，
若即，则，故，，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的和谐区间．
第1页，共1页