重庆市杨家坪中学2015-2016学年高二下学期第二次月考（期中）数学理试题

2015-2016学年度杨家坪中学校高二（下）第二次月考
数学（理科）试卷
一、选择题（每题5分，共60分）
1．复数z=的虚部为（ ）
A．2 B．﹣2 C．-3 D．3
2．若一个三位数的十位数数字比个位数字和 ( http: / / www.21cnjy.com )百位数字都大，则称这个数为“凸数”，现从1，2，3，4，5，这五个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸数”有（ ）
A．120个 B．80个 C．40个 D．20个
3．若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )
A． B．
C． D．
4．从5位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人，要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有（ ）
A．210种 B．270种 C．180种 D．90种
5．已知随机变量X的取值为0，1，2，若，，则=（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=π所围成的阴影部分的面积为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．2 D．
7．已知随机变量，若～，则分别是（ ）
A．1和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
8．设随机变量ξ服从正态分布N(4,7)，若，则a=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），，则第59个数对是（ ）
A．（3，8） B．（4，7） C．（4，8） D．（5，7）
10．若对任意实数，有成立，则=（ ）
A． B．14 C．28 D．
11．5颗骰子同时掷出，共掷100次则至少一次出现全为6点的概率为（ ）
A. B. C. D.
12．设函数-a ,若不等式≤0有解．则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．的二项展开式中，含项的系数是___________.
14.将一个大正方形平均分成9个小正方形， ( http: / / www.21cnjy.com )向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝__________
15．5名实习老师到3个班级参加教育实习活动，则每个班级至少有一名实习老师的方案共有_________种．
16.已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为___________．
三、解答题（17题10分，18—22题每题12分，共70分，要求写出必要的解答过程）
17．（本小题满分10分）已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）若在区间上的最小值为20，求它在该区间上的最大值．
18．（本小题满分12分）
已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为、（如图1），则.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。
19．（本小题满分12分）在某市组织的一次 ( http: / / www.21cnjy.com )数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
注：参考数值：,
20．（本小题满分12分）盒中装有7个零件，其中4个是没有使用过的，3个是使用过的.
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次(不使用)，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；
（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.
21．（本小题满分12分）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球。
（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种
（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？
22．（本小题满分12分）已知函数（），其导函数为．
（1）求函数的极值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
．
参考答案
一、选择题
1．D2．D3．C4．B5．C6．B
7．A
试题分析：∵～，∴，，∵，∴，，故选A．
8．D
试题分析：∵随机变量ξ服从正态分布，∵，∴与关于4对称，∴a+2+a-2=8∴2a=8，∴4，故选D．
9．C
试题分析：：（1，1），两 ( http: / / www.21cnjy.com )数的和为2，共1个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个 … ∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴第59个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（4，8）．10．B
11．D
【解析】5颗骰子同时掷出，没有全部出现6点的概率是，共掷100次至少一次出现全为6点的概率是.
12．A
试题分析：化简≤0可得从而令 ，求导以确定函数的单调性，从而解得．
≤0可化为 ， 令，则
故当，即时，有最小值，
故当时，时，；故有最小值 ,故实数的最小值为，故选A
二、填空题
13．-84 14．
试题分析：将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，有9个不同的基本结果，由于是随机投掷的，且小正方形面积大小相等，所以每个结果出现的可能性是相等的，而事件包含4个基本结果，事件包含1个基本结果.
所以，,所以， ( http: / / www.21cnjy.com ).
故答案填：
15.150
16.
试题分析：设根据题意可得函数在R上单调递减，然后根据可得，最后根据单调性可求出x的取值范围．
设，，
即函数F（x）在R上单调递减，，
而函数F（x）在R上单调递减，，即，
故答案为：
三、解答题
17．（1）（－∞，－3），（1，＋∞）；（2）47
试题解析：（1）f’（x）＝3x2＋6x-9．令f ‘（x）>0，解得x<－3或x>1，
所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－3），（1，＋∞）．
（2）因为f（－2）=22＋a，f（2）＝20＋a，
所以f（-2）>f（2）．因为在（－3 ( http: / / www.21cnjy.com )，3）上f ‘（x）>0，所以f（x）在[－1, 2]上单调递增，又由于f（x）在[－2，－1]上单调递减，因此f（2）和f（－1）分别是f（x）在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f（x）=－x3＋3x2＋9x－2，因此f（－1）＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为－7．
18．命题：长方体中，对角线与棱、、所成的角分别为，则。
证明见解析。
有如下命题：长方体中，对角线与棱、、所成的角分别为，则 …………………………4分
证明：∵，K^S*5U.C#O，
……10分
∴ ………13分
19．(1) 10000人 (2) 80分
解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，
∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.
∴P(X≥90)＝[1－P(30＜X＜90)]＝(1－0.9974)＝0.0013.
又P(X≥90)＝，∴＝0.0013.∴n＝10000.
故此次参加竞赛的学生总数共有10000人．
(2)设受奖的学生的分数线为x0.则P(X≥x0)＝＝0.0228.
∵0.0228＜0.5，∴x0＞60.∴P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.9544，
∴x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
试题解析：解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A.1分
则. 3分
所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率.5分
（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，
由已知X＝3，4，5, 6 7分
；；
. 10分
随机变量X的分布列为：
X 3 4 5 6
P
11分
E(X)=. 12分
21．（1）215;（2）381;（3）10800。
22．（1）有极大值，无极小值；（2）
试题解析：（1）由题知，，则，，当时，，为增函数；当时，，为减函数．
所以当时，有极大值，无极小值．
（2）由题意，，
（I）当时，在时恒成立，则在上单调递增，所以在上恒成立，与已知矛盾，故不符合题意．
（II）当时，令，则，且．
①当，即时，，于是在上单调递减，
所以，即在上恒成立．
则在上单调递减，所以在上成立，符合题意．
②当，即时，，，
若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
又，所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上单调递增，则在上恒成立，
所以不符合题意．
综上所述，的取值范围为．