2024-2025学年江苏省兴化市文正高级中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省兴化市文正高级中学高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体中，等于( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若三向量共面，则实数等于( )
A. B. C. D.
3.已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
4.，，，是空间不共面的四点，且满足，，，为的中点，则是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定
5.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，，面，面，，与面成角，则、间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点不共线
B. ，，，四点共面，但不共线
C. ，，，四点不共面
D. ，，，四点中任意三点不共线
10.如图，已知是棱长为的正方体的棱的中点，是棱的中点，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，则( )
A. 平面
B.
C.
D.
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，，若点的坐标为，且点，，，四点共面，则实数的值为______．
13.已知平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ．
14.底面是正方形，四条侧棱都相等的四棱锥称为正四棱锥由平行于底面的平面截正四棱锥，得到的台体是正四棱台已知正四棱台中，上底面的边长为，下底面的边长为，侧棱与底面所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且和、的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长．
16.本小题分
已知空间三点，，．
求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积；
若向量分别与向量，垂直，且，求向量的坐标．
17.本小题分
如图，已知点在正方体的对角线上，．
求与所成角的大小；
求与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点．
证明：
若点为棱上一点，且，求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：是的中点，设，，，
底面是边长为的正方形，
．
在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
侧棱的长为，且和、的夹角都是，
，，，
，，
，
，即的长为．
16.解：空间三点，，
，，．
为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积
设，由已知中向量分别与向量垂直，且，
解得
或
17.解：方法一：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，连接，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，
由
可得解得，所以．
因为，
所以即与所成的角为．
平面的一个法向量是．
因为，所以．
可得与平面所成的角为．
方法二：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标
系则，，．
设则，
，则，由已知，，
，解得，
因为，
所以即与所成的角为．
平面的一个法向量是．
因为，所以．
可得与平面所成的角为．
18.解：证明：底面，．
可构建如图以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系．
由题意得：，，，，，
，
，即
，，由点在棱上，
设，
，
，
，
解得：，
．
设平面的法向量为，
则，不妨令，
可得为平面的一个法向量，
取平面的一个法向量，
则，
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为．
19.解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，，
，，
取，，
，，则点到直线的距离为；
，，
而平面，平面，平面，
则点到平面的距离等于直线到平面的距离．
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
又，
直线到平面的距离为．
第1页，共1页