2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市海拉尔一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市海拉尔一中高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知是以为公比的等比数列，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列，均为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
6.若双曲线：的焦距是其实轴长的倍，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. 数列为等差数列
B.
C.
D. 当且仅当或时，取得最大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.设等差数列的前项和为，公差为已知，，，则( )
A. 数列的最小项为第项 B.
C. 时，的最大值为 D.
11.设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且为数列的唯一最大项，则
D. 若，且，则使得成立的的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值______．
13.设，为双曲线：的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的部分交于点，若为等腰三角形，则的离心率为______．
14.已知数列的前项和为，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和，数列满足，且．
求数列和的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已过抛物线：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为．
求该抛物线的方程；
在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短；
过点的直线与抛物线交于，两点，且为的中点，求直线的方程．
17.本小题分
已知为正项数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的下焦点为，其离心率为．
求椭圆的标准方程；
过的直线与椭圆交于，两点直线与坐标轴不垂直，过，作轴的垂线，垂足分别为，，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值．
19.本小题分
已知数列，若为等比数列，则称具有性质．
若数列具有性质，且，，求的值；
若，求证：数列具有性质；
设，数列具有性质，其中，，，若，求正整数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：当时，；
当时，，
，；
，
，，
是首项为，公比为的等比数列，
，，
，；
由可得，
，
，
得：，
．
16.解：因为抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
则抛物线的方程为；
设与平行的直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
所以切线的方程为，
此时切线到直线的距离最短，
联立，
解得，
即；
设，，
此时，
因为，两点均在抛物线上，
所以，
两式相减得，
若，
此时、关于轴对称，为中点，不符合题意；
若，
此时，
所以直线的方程为．
即．

17.解：已知，
则，
两式相减，可得，，
又数列为正项数列，
则，
即，
可得，
又，
当时，，
即，
解得或舍去，
所以，
从而，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以数列的通项公式为；
由，
可得，
所以．
18.解：因为椭圆的下焦点为，其离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为．
证明：设直线的方程为，，，
此时，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，
易知直线与的斜率均存在，
则直线的方程为，直线的方程为，
可得
．
故点的纵坐标为定值．
19.解：由题意可知，，成等比数列．
则，
即，
则，
解得．
证明：，，
则，
又，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故数列具有性质．
解：设数列的前项和为，
则，
当时，，
当时，，
经检验，．
由，
解得，
则，，
由数列具有性质，
则为等比数列，
又，
故数列为以为首项以为公比的等比数列，
则，
于是，
即，
由，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
则，
又，
化简可得，
若为偶数，则，
即；
若为奇数，
则，
即；
综上可得，的取值范围是且
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