2024-2025学年山东省菏泽一中（八一路校区）高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽一中（八一路校区）高二（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
2.甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为( )
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：导函数的图象如图所示；唯一的零点是则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数，则( )
A. B. C. D.
7.在上的导函数为，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
8.已知对恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
10.设函数，则( )
A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点
C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极大值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处有极值，则实数 ______．
13.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．
14.对于函数，，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
名男生和名女生站成一排．
甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
16.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
证明：当时，．
17.本小题分
已知函数，其中．
若的图象在处的切线经过点，求的值；
讨论的单调性．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求证：函数的图象在轴上方．
19.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若在区间内有最小值，求的取值范围；
若关于的方程有两个不同的解，，求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：分两步，
先排甲有种，
其余有种，
则共有种排法；
分三步，
捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起；种，
将女生甲和女生乙看成整体，与其他人除去男生甲和男生乙排列，有种，
插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空共有个空位置，有种，
综上所述，种；
人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
16.解：当时，，则，
得，又，
所以切点为，
所以切线方程为，
即．
证明：因为，所以，
所以，
令，
所以，
令，
所以，
因为，时，，
所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，
即．
17.解：，
因为，，
所以的图象在处的切线方程为，
将代入得，解得；
，
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
18.解：由题意得：
令则
当时，，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
记函数，易知单调递增
又，，在上存在一个，
使得：，
即：，且
当，有，单调递减；
当，有，单调递增．
，
，
函数的图象在轴上方
19.解：由函数，
可得的定义域为，，
当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意．
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值．
当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意．
综上，的取值范围为．
证明：不妨设，
由题意得消去得，
设，代入上式得，
，
下证，
即证．
设，则，
令，则，
所以在区间内单调递增，即，
所以在区间内单调递增，即，
所以，所以，
因为，，，所以．
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