5.1.1 数列的概念 课件（23张PPT）

第五章 数列
5.1.1 数列的概念
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解数列的概念，了解数列的几种分类.
2.了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列的通项公式.
3.了解数列与函数的关系.
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，若他们将石子摆成三角形形状(如图①所示)，则将其所对应的石子个数称为三角形数；若石子摆成正方形形状(如图②所示)，则将其所对应的石子个数称为正方形数.你能分别写出三角形数和正方形数所对应的一列数吗?
①
②
三角形数是:1，3，6，10，…；
正方形数是:1，4，9，16，….
问题1：观察导入中涉及的每一列数，说一说这些数呈现什么特点.
三角形数是:1，3，6，10，…；
正方形数是:1，4，9，16，….
每一列数中的数字都是按照一定的次序排列的.
问题2：这一列数1 990，1 992，1 993，…，2 022与上述问题中的每一列数在个数上有什么不同?
这一列数的个数有限，上述问题中的每一列数的个数都是无限的.
1.定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
2.项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示；第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.
3.表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
4.数列的分类：一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.
思考：(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?
(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?
(1)从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.
(2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
练习：(1)下列说法正确的是( )
A.数列2，3，4与数列4，3，2是同一数列
B.数列1，2，3与数列1，2，3，…是同一数列
C.1，4，2，13，5不是数列
D.2，1，2，1是数列
?
D
(2)给出下列数列：
①2017~2024年某市高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，119，129，130，132，135；
②无穷多个3构成数列3，3，3，3，…；
③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…构成数列-2，4，-8，16，….
其中有穷数列是　　，无穷数列是　　　.(填序号)
?
①
②③
问题3：对于数列1，-1，1，-1，…，回答下列问题.
(1)数列中的项an与其序号n是否有一定的规律?
(2)试写出an与n的一个关系式.
(3)an与n的关系式唯一吗?
是
an=(-1)n+1或an=(-1)n+1
否
数列是一种特殊的函数
5.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
注意：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N+(或其子集)
{1，2，…，n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的.
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)-1，7，-13，19； (2)12，14，-58，1316；
(3)9，99，999，9 999； (4)2，0，2，0.
?
解：(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示，
其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，
故通项公式为an=(-1)n(6n-5).
(2)12，14，-58，1316； (3)9，99，999，9 999； (4)2，0，2，0.
?
(2)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子都比分母小3.
因此把第1项变为-2?32，至此原数列前4项化为-21?321，22?322， -23?323，24?324，
∴an=(-1)n2n?32n.
?
(3)9，99，999，9 999； (4)2，0，2，0.
(3)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an=10n-1，n∈N+.
(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为an=(-1)n+1+1，n∈N+.
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的规律.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)n或(-1)n+1处理符号.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和或差的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
归纳总结
例2 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)问-49是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
解：(1)根据an=3n2-28n，得a4=3×42-28×4=-64，a6=3×62-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49，即3n2-28n+49=0，
∴n=7或n=73(舍).
∴-49是该数列的第7项，即a7=-49.
?
探究:(1)已知函数????????=?12????+52，你能根据这个函数构造出一个数列吗？
(2)尝试总结出一般数列与函数的关系吗？
?
分析：令????=1,2,3,4，…，n…，
可得到数列2,83,1，…，?12????+52，….，
即这个数列的通项公式是????????=????????=?12????+52.
?
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
另一方面，对于函数y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)
有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，… 构成了一个数列{f(n)}．
例3 已知函数fx=x?1x，设数列{an}的通项公式为an=fn，其中n∈N*.判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
?
解：因为????????+1?????????= （1?1????+1 ）?（1?1????）=1????????+1，
又因为????+1?> ????≥1?，所以1????(????+1)>0，
从而????????+1?????????>0，即????????+1>????????，
因此{an=1?1????}是递增数列.
?
还有其他解法吗？
（作商法）因为????????+1????????=(????+1)?1????+1?????1????=????2????2?1（???? ≥2?），????1=0，
又因为????2>????2?1>0?，所以????2????2?1>1，
从而????????+1????????>1，即????????+1>????????，
因此{an}是递增数列.
?
例3 已知函数fx=x?1x，设数列{an}的通项公式为an=fn，其中n∈N*.判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
?
数列增减性的判定方法
(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an+1-an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an+1-an=0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}类别
????????+1????????>1
0????????+1????????=1
an>0
递增数列
递减数列
常数列
an<0
递减数列
递增数列
常数列
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}类别
an>0
递增数列
递减数列
常数列
an<0
递减数列
递增数列
常数列
归纳总结
1.已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15，则3(　　)
A.不是数列{an}中的项
B.只是数列{an}中的第2项
C.只是数列{an}中的第6项
D.是数列{an}中的第2项和第6项
2.已知an+1-an-3=0，则数列{an}是(　　)
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
D
B
3.数列3,6,11,20,…的一个通项公式为(　　)　 　　　　　　
A.an=3n B.an=n(n+2)
C.an=n+2n D.an=2n+1
4.(多选)已知数列{an}中，an=n2-kn(n∈N+)，且{an}是递增数列，则k的值可取(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
AB
1. 什么是数列？{????????}和????????分别表示什么意义？
?
回顾：结合本节课所学，回答下列问题.
2. 如何根据通项公式求任意项，如何根据数列的几项求数列的通项公式？
3. 如何理解数列是一种特殊的函数？请说出数列的函数性质；
4. 如何判断数列是递增数列还是递减数列？