5.1.2 数列中的递推 课件（19张PPT）

第五章 数列
5.1.2 数列中的递推
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项.
2.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法.
3.理解数列的前n项和,会根据数列的前n项和Sn求通项an.
问题：观察1，3，?6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.
1
3
6
10
15
+2
+3
+4
+5
+6
?
21
+7+8
36
用数列怎么描述这种规律？
根据观察可知
????3?????2=6?3=3
?
????2?????1=3?1=2
?
????4?????3=10?6=4
?
????5?????4=15?10=5
?
????6=????5+6=15+6=21
?
????7=????6+7=21+7=28
?
????8=????7+8=28+8=36
?
问题：观察1，3，?6，10，15，…中数字出现的规律，写出第8个数.
追问1：你能得出数列{????????}的第????项与第????+1项之间的关系式吗？
?
????????+1?????????=????+1
?
追问2：前面数列{????????}的每一项可以由关系式an+1?an=n+1确定吗？
?
若已知????1=1,????????+1?????????=????+1，则该数列可确定.
?
数列的递推关系
如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式），数列的递推关系是表示数列的另一种方法.
例如，数列1，3，?6，10，15，…中的每一项都可以由递推公式
a1=1，an+1?an=n+1
通过递推而得到.
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例1 分别写出下列数列{an}的一个递推关系，并求出各个数列的第7项.
(1)4，5，7，10，14，…；
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，….
解：(1)∵????2?????1=5?4 =1，????3?????2=7?5=2，
????4?????3=10?7=3，????5?????4=14?10=4，
∴an+1=an+n.
∴a6=a5+5=14+5=19，a7=a6+6=19+6=25.
?
(2)7，9，11，13，15，…；
(3)2，6，18，54，162，….
(2)∵????2?????1=9?7 =2，????3?????2=11?9=2，
????4?????3=13?11=2，????5?????4=15?13=2，
∴an+1=an+2.
∴a6=a5+2=15+2=17，a7=a6+2=17+2=19.
?
(3)∵????2????1=62 =3，????3????2=186=3，????4????3=5418=3，????5????4=162546=3，
∴an+1=3an.
∴a6=3a5=3×162=486，a7=3a6=3×486=1458.
?
由数列的前几项写递推关系的思路是寻找相邻两项或几项之间的关系，可以从后一项与前一项的差或和，后一项是前一项的倍数等角度去考虑，然后用剩余的项去验证猜想即可；由递推公式写出数列的项的方法是根据递推公式，依次求出各项即可.
归纳总结
想一想：已知某电子书，今年上半年每个月的销售量构成数列，
220，530，950，1360，1820，2350
假设你是该电子书的销售人员，关于上述数列，除了每一个数字的大小和增长趋势外，你还会关心什么？
作为销售人员，一般来说还会关心上半年电子书的总销售量，即
220+530+950+1360+1820+2350=7230
数列的前????项和
一般地，给定数列{????????}，称
????????=????1+????2+????3+…+????????
为数列{????????}的前????项和.
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练习：已知数列{????????}中，若????1＝1，????2＝3，????????+2＝2????????+????????+1，则该数列的前5项之和????5=（ ）
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A. 21 B. 4 C. 41 D. 40
解析：根据递推公式逐个计算，????1＝1，????2＝3，
????3＝2????1+????2＝2×1+3=5，
????4＝2????2+????3＝2×3+5=11，
????5＝2????3+????4＝2×5+11=21.
根据数列前n项和的定义， ????5=????1+????2+????3+????4+ ????5=40.
?
D
试一试：已知数列{????????}，的前????项和为????????=2?????+1.你能写出a1，a2，a3吗？
?
∵????1=2×1+1=3，又∵ ????1=????1，∴????1=3.
∵ ????2=2×2+1=5，又∵ ????2=????1+????2， ∴ ????2=S2?????1=5?3=2.
∵ ????3=2×3+1=7，又∵ ????3=????1+????2+????3=????2+????3， ∴ ????3= ????3 ? S2=7-5=2.
?
思考：你发现规律了吗，请试着写出????????.
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通项????????与前????项和????????的关系
?
一般地，如果数列{????????}的前????项和为????????，那么当????≥2时，有
?????????1=????1+????2+????3+…+?????????1
????????=????1+????2+????3+…+?????????1+????????
?
????????=?????????1+????????
?
????????=????1，????=1,&??????????????????1，????≥2.
?
例2 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n+1，求通项公式an.
解：因为Sn=n2-9n+1，所以n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10，
a1=S1=-7，不适合上式,
所以an=?7,n=1,??????????2?????10,n≥2..
?
由Sn求an的方法
若a1适合an(n≥2)，则用一个公式表示an，若a1不适合an(n≥2)，则要用分段函数的形式表示an.此时不可不求a1而直接求an.
归纳总结
1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+n，则a3的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N+)，则此数列的通项公式an等于( )
A.n2+1 B.n+1
C.1-n D.3-n
C
D
3.已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则数列{an}的通项公式为( )
A.an=2n B.an=2n
C.an=3,????=1,???2????,????≥2 D.an=3,????=1,???2????,????≥2
?
C