5.2.1等差数列 课件（2课时，37张PPT）
文档属性
| 名称 | 5.2.1等差数列 课件（2课时，37张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 769.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-17 08:43:27 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
5.2.1
等差数列
人教B版(2019)选择性必修第三册
5.2.1 课时1
等差数列的定义
人教B版(2019)选择性必修第三册
1. 理解等差数列的定义，掌握并会推导等差数列的通项公式；
2. 能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题；
3. 理解等差数列通项公式与一次函数的关系.
试一试：同学们，请用尺子在日历上画一条直线（可以是横线、竖线或者斜线），再把线上的数字依次列出！
这些数列有共同规律吗？如果有，是什么规律？
1.等差数列的定义
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
思考：如果说“一个数列从第二项起，相邻两项的差是同一个常数”，那么这个数列是等差数列吗？
这个数列不一定是等差数列，等差数列中的“差”是有顺序的，必须是“从第二项起，每一项与前一项的差”，而“相邻两项的差”，这里的“相邻”可能是后一项减去前一项，也可能是前一项减去后一项，如数列
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C.数列{2n＋1}是等差数列
D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
解析:A中数列是公差为－2的等差数列；
B中a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；
C中an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；
D中a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.
BC
方法归纳
定义法是判定（或证明）数列
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；
当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
问题：根据等差数列的定义推导出它的通项公式.
设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义有
a2－a1＝d
a3－a2＝d
a4－a3＝d
…
an－an－1＝d
n-1个式子相加
an－a1＝(n－1)d
即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)
累加法
问题：根据等差数列的定义推导出它的通项公式.
方法二：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
即an＝an－1＋d，
故有a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝a1＋3d，
…
所以有an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
迭代法
2.等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
例2 (1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝____.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
解析：(1)由题意得，解得，
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
2n
(2)由得，
解得，
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
－
还有其他解法吗？
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，
得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
－
方法归纳
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量．
(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由
am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
问题：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
一次函数.
从函数角度研究等差数列
对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.
其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当 时，{an}为 ，如图甲所示.
当 时，{an}为 ，如图乙所示.
当 时，{an}为 ，如图丙所示.
d>0
d=0
递增数列
d<0
递减数列
常数列
注意：通项法判定等差数列：an为n的一次函数 {an}为等差数列.
例3 (多选)下列判断正确的是( )
A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
解析:A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；
因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，
所以B，C，D均正确.
BCD
1.若数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为
2.已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A.－2 B.－ C. D.2
A
B
3.等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A.50 B.49
C.48 D.47
4.下列哪个数不是等差数列0，－3，－7，…的项( )
A.－20 B.－21
C.－ D.－
A
A
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何判断数列是否为等差数列？
2.如何求等差数列的通项公式？
5.2.1 课时2
等差数列的性质
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解等差中项的概念，会求已知两数的等差中项.
2.掌握等差数列的性质，并能运用其解决问题.
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2， ，4；
（2）-8， ，0；
（3）a， ，b.
3
-4
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.
如果A是a与b的等差中项，那么A-a= b-A，所以A=.
下面三个等差数列：
(1)1，3，5，7，9，11，13，…
(2)5，2，－1，－4，－7，－10，…
(3)2，2，2，2，2，2，…
各个数列中，a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？如果换为a1＋a4 与a2＋a3呢？你能给出一般性的结论吗？
a1＋a5＝a2＋a4
a1＋a4＝a2＋a3
m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，
所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，
因为p＋q＝m＋n，
所以ap＋aq＝am＋an.
等差数列的性质:如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at．
例1 在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
例2 已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求此数列的通项公式.
解:∵a1+a7=2a4，a1+a4+a7=3a4=15，∴a4=5.
又a2a4a6=45，∴a2a6=9，
∴(a4-2d)(a4+2d)=9，即(5-2d)(5+2d)=9，
解得d=±2.
若d=2，an=a4+(n-4)d=2n-3，n∈N+;
若d=-2，an=a4+(n-4)d=13-2n，n∈N+.
在例1中，不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6，那么，在等差数列{an}中，若m+n+p=q+r+s，m，n，p，q，r，s∈N+，是否有am+an+ap=aq+ar+as
解:设数列{an}的公差为d，则am=a1+(m-1)d，
an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，
aq=a1+(q-1)d，ar=a1+(r-1)d，
as=a1+(s-1)d，
∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d，aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d，
∵m+n+p=q+r+s，∴am+an+ap=aq+ar+as.
方法总结
解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为关于等差数列的首项与公差的式子求解，这是通用方法；三是前面两种兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第1年起，第n年的利润为an，
则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.
从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
方法总结
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
1.已知等差数列{an}，a7+a19=19，a5=1，则a21的值为( )
A.20 B.18 C.15 D.17
2.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.8 B.6 C.4.5 D.3
B
D
3.在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝( )
A．3 B．5 C．－3 D．－5
4.已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝ ．
A
234
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是等差中项，怎样求等差中项？
2.等差数列的性质有哪些？
5.2.1
等差数列
人教B版(2019)选择性必修第三册
5.2.1 课时1
等差数列的定义
人教B版(2019)选择性必修第三册
1. 理解等差数列的定义，掌握并会推导等差数列的通项公式；
2. 能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题；
3. 理解等差数列通项公式与一次函数的关系.
试一试：同学们，请用尺子在日历上画一条直线（可以是横线、竖线或者斜线），再把线上的数字依次列出！
这些数列有共同规律吗？如果有，是什么规律？
1.等差数列的定义
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.
思考：如果说“一个数列从第二项起，相邻两项的差是同一个常数”，那么这个数列是等差数列吗？
这个数列不一定是等差数列，等差数列中的“差”是有顺序的，必须是“从第二项起，每一项与前一项的差”，而“相邻两项的差”，这里的“相邻”可能是后一项减去前一项，也可能是前一项减去后一项，如数列
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C.数列{2n＋1}是等差数列
D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
解析:A中数列是公差为－2的等差数列；
B中a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；
C中an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；
D中a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.
BC
方法归纳
定义法是判定（或证明）数列
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；
当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
问题：根据等差数列的定义推导出它的通项公式.
设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义有
a2－a1＝d
a3－a2＝d
a4－a3＝d
…
an－an－1＝d
n-1个式子相加
an－a1＝(n－1)d
即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)
累加法
问题：根据等差数列的定义推导出它的通项公式.
方法二：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
即an＝an－1＋d，
故有a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝a1＋3d，
…
所以有an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
迭代法
2.等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
例2 (1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝____.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
解析：(1)由题意得，解得，
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
2n
(2)由得，
解得，
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
－
还有其他解法吗？
法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－＝＋4d，
得d＝－，
∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－.
(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，则a15＝________.
－
方法归纳
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量．
(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由
am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．
(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
问题：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
一次函数.
从函数角度研究等差数列
对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.
其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当 时，{an}为 ，如图甲所示.
当 时，{an}为 ，如图乙所示.
当 时，{an}为 ，如图丙所示.
d>0
d=0
递增数列
d<0
递减数列
常数列
注意：通项法判定等差数列：an为n的一次函数 {an}为等差数列.
例3 (多选)下列判断正确的是( )
A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
解析:A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；
因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，
所以B，C，D均正确.
BCD
1.若数列
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为
2.已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于( )
A.－2 B.－ C. D.2
A
B
3.等差数列{an}中，a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于( )
A.50 B.49
C.48 D.47
4.下列哪个数不是等差数列0，－3，－7，…的项( )
A.－20 B.－21
C.－ D.－
A
A
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何判断数列是否为等差数列？
2.如何求等差数列的通项公式？
5.2.1 课时2
等差数列的性质
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解等差中项的概念，会求已知两数的等差中项.
2.掌握等差数列的性质，并能运用其解决问题.
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：
（1）2， ，4；
（2）-8， ，0；
（3）a， ，b.
3
-4
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项.
如果A是a与b的等差中项，那么A-a= b-A，所以A=.
下面三个等差数列：
(1)1，3，5，7，9，11，13，…
(2)5，2，－1，－4，－7，－10，…
(3)2，2，2，2，2，2，…
各个数列中，a1＋a5与a2＋a4的值有怎样的数量关系？这种关系是巧合吗？如果换为a1＋a4 与a2＋a3呢？你能给出一般性的结论吗？
a1＋a5＝a2＋a4
a1＋a4＝a2＋a3
m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，
所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，
因为p＋q＝m＋n，
所以ap＋aq＝am＋an.
等差数列的性质:如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at．
例1 在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
例2 已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=15，a2a4a6=45，求此数列的通项公式.
解:∵a1+a7=2a4，a1+a4+a7=3a4=15，∴a4=5.
又a2a4a6=45，∴a2a6=9，
∴(a4-2d)(a4+2d)=9，即(5-2d)(5+2d)=9，
解得d=±2.
若d=2，an=a4+(n-4)d=2n-3，n∈N+;
若d=-2，an=a4+(n-4)d=13-2n，n∈N+.
在例1中，不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6，那么，在等差数列{an}中，若m+n+p=q+r+s，m，n，p，q，r，s∈N+，是否有am+an+ap=aq+ar+as
解:设数列{an}的公差为d，则am=a1+(m-1)d，
an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，
aq=a1+(q-1)d，ar=a1+(r-1)d，
as=a1+(s-1)d，
∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d，aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d，
∵m+n+p=q+r+s，∴am+an+ap=aq+ar+as.
方法总结
解决等差数列运算问题的一般方法:一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为关于等差数列的首项与公差的式子求解，这是通用方法；三是前面两种兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
例3 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第1年起，第n年的利润为an，
则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．
所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.
从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
方法总结
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．
合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
1.已知等差数列{an}，a7+a19=19，a5=1，则a21的值为( )
A.20 B.18 C.15 D.17
2.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )
A.8 B.6 C.4.5 D.3
B
D
3.在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝( )
A．3 B．5 C．－3 D．－5
4.已知数列{an}是等差数列，且a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝ ．
A
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根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是等差中项，怎样求等差中项？
2.等差数列的性质有哪些？