5.3.1 等比数列 课件 (2课时，共37张PPT)

(共37张PPT)
5.3.1 等比数列
人教B版(2019)选择性必修第三册
5.3.1 课时1
等比数列的定义
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法.
2.掌握等比数列的通项公式.
3.能解决与等比数列的通项公式有关的运算.
问题1：现有一张厚度为0.1毫米的普通A4纸．如果对折1次，2次，3次，4次，5次，请你观察并写出纸的厚度是怎样变化的.
问题2：我们古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”写出“出门望九堤”问题构成的数列.
0.2毫米，0.4毫米，0.8毫米，1.6毫米，3.2毫米
9，92，93，…，98
从前面问题中可得到下面两个数列：
（1）0.2，0.4，0.8，1.6，3.2；
（2）9，92，93，…，98.
如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)呢？
（1）；（2）.
说明上述数列不是等差数列，而是等比数列.
类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差d.
等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比q.
等比数列
注意：
(2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”，
如数列：2，2，3，3，4，4就不是等比数列.
(3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0.
练习：以下数列中，哪些是等比数列？
解: （1）是等比数列，公比q=
（2）因为，所以该数列不是等比数列；
（3）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；
当a=0时，它不是等比数列.
问题3：如果已知一个数列是等比数列，且已知它的首项a1和公比q，怎样求出它的通项公式？
设一个等比数列的首项是a1，公比是q，
当n＝1时，上式也成立.
方法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…
由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立.
等比数列的通项公式：若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
例1 在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：(1)因为，所以，
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
(2)方法一：由已知可得，
由得q＝，从而a1＝32.
又因为an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
方法归纳
等比数列通项公式的求法
例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12.求该数列的第8项的值.
解：设等比数列的首项为a1，公比为q，
则由已知得，
将①式代入②式，得q2+q-6=0，
解得q=-3或q=2.
当q=-3时，a8=a1q7=2×(-3)7=-4374.
当q=2时，a8=a1q7=2×27=28=256.
故该数列的第8项是-4 374或256.
1.观察下面几个数列，其中一定是等比数列的是(　　)
A.数列1，2，6，18，54，…
B.数列{an}中，已知＝2，＝2
C.数列{an}中，＝n，其中n∈N＋
D.数列{an}中，＝－1，其中n∈N＋
D
2.若等比数列的前三项分别为5，-15，45，则第5项是( )
A. B. C. D.
3.数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= .
A
1
根据今天所学，回答下列问题：
1.等比数列的定义是什么？
2.等比数列的通项公式是什么？
5.3.1 课时2
等比数列的性质
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.掌握等比数列的性质及其应用.
2.掌握等比中项的概念.
3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
1.等比数列的定义
或
2.等比数列的通项公式
问题1:观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由可知
当q>0且q≠1时，
等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
讨论：根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1(q>0)的增减性，填写下表.
递减数列
常数列
a1 a1>0 a1<0 q的范围 01 01
{an}的 单调性 ____ ______ ____ ____ ______ ____
递增数列
递增数列
常数列
递减数列
递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
观察数列，分析数列的增减性.
（1）1，2，4，8，16，…
（2）8，4，2，1，
（3）4，4，4，4，4，4，4，…
（4）1，-1，1，-1，1，-1，1，…
公比q=2
公比q=
公比q=1
公比q=-1
思考：若G2=ab，则a，G，b是否成等比数列？
若G2=ab=0，则a，G，b不成等比数列.
若G2=ab≠0，则 ，由等比数列的定义可知，a，G，b成等比数列；
1.等比中项：
如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， ，我们称G为ab的等比中项.
注意：(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个.
讨论:在等比数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am、an、ap、aq之间是什么关系
am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝a12qm＋n－2，
ap·as＝a1qp－1·a1qs－1＝a12qp＋s－2，
又m＋n＝p＋s，则am·an＝ap·as．
2.等比数列项的运算性质
在等比数列{an}中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则aman= apaq .
①特别地，当m+n=2k(m，n，k∈N+)时，am·an=ak2.
②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….
例1 (1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
解：(1)法一：，相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又因为a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
例2 已知是等比数列{an}图象上的两点，求数列{an}的通项公式并判断{an}的单调性．
解：由题意知a2＝，a5＝
∴q3＝＝
∴q＝
∴an＝a2·qn－2＝＝3×
∴a1＝3
∵a1>0，0∴数列{an}单调递减．
归纳总结
(1)当a1>0，q>1或a1<0，0(2)当a1>0，01时，等比数列{an}为递减数列；
(3)当q＝1时，数列{an}是常数列；
(4)当q<0时，数列{an}是摆动数列．
等比数列的单调性
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解：方法一　设这四个数依次为a-d，a，a+d，，
由条件得
所以当a=4，d=4时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a=9，d=-6时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
例3 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
方法二　设这四个数依次为-a，，a，aq(q≠0)，
由条件得
当a=8，q=2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当a=3，q=时，所求的四个数为15，9，3，1.
故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
…，，，，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.
几个数成等比数列的设法
归纳总结
1.在等比数列{an}中，若a3=-9，a7=-1，则a5的值(　　)
A.是3或-3 B.是3 C.是-3 D.不存在
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么(　　)
A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9
C
B
3.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　)
A.12 B.10 C.8 D.2＋log35
4.在等比数列{an}中， 若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(　　)
A．－6　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D.
B
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.等比数列的性质有哪些？
2.什么是等比中项？