培优提升八 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
学习目标 会用共点力作用下物体的平衡条件分析“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型。
提升1 “活结”与“死结”模型
1.“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。如图甲所示，“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
2.“死结”：可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。如图乙所示，“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
例1 如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于( )
A.45° B.55°
C.60° D.70°
听课笔记___________________________________________________________
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例2 如图，水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A缓慢向右移动一段距离，系统仍保持静止，则下列说法正确的是( )
A.物体C的高度上升
B.AC段绳与横杆的夹角变小
C.横杆对环的支持力变小
D.轻绳对圆环的拉力不变
听课笔记______________________________________________________________
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提升2 “动杆”与“定杆”模型
1.“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定是沿着轻杆的方向，否则会引起杆的转动，如图甲所示。
2.“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，杆所受到的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析，根据平衡条件确定杆中的弹力的大小和方向，如图乙所示。
例3 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过轻绳EP拉住，EP与水平方向也成30°角，轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体。g取10 m/s2，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EP的张力FEP之比；
(2)横梁BC对C端的支持力；
(3)轻杆HP对P端的支持力。
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培优提升八 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
提升1
例1 B [对O点
进行受力分析，如图所示。因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大反向，β＝∠2，故B正确。]
例2 D [物体B保持静止，
受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B的重力，保持不变，则轻绳对圆环的拉力不变，D正确；圆环A缓慢向右移动一段距离，重物C受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，滑轮位置的变化情况如图所示，所以重物C必定下降，重物B上升，连接A的轻绳与水平方向夹角不变，横杆对环的支持力也一定不变，A、B、C错误。]
提升2
例3 (1)1∶2 (2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方
(3)173 N，方向水平向右
解析 分别对C点和P点受力分析如图所示
(1)图(a)中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力
FAC＝FCD＝M1g
图(b)中则有FEPsin 30°＝FPQ＝M2g
解得FEP＝2M2g
所以＝＝。
(2)图(a)中，根据几何关系得
FC＝FAC＝M1g＝100 N
方向与水平方向成30°角斜向右上方。
(3)图(b)中，根据平衡条件有
FEPcos 30°＝FP
可得FP＝M2g＝173 N，方向水平向右。(共29张PPT)
培优提升八 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型
第三章 相互作用
会用共点力作用下物体的平衡条件分析“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
02
提升
1
提升2 “动杆”与“定杆”模型
提升1 “活结”与“死结”模型
提升1 “活结”与“死结”模型
1.“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。如图甲所示，“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
2.“死结”：可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。如图乙所示，“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
例1 如图所示，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于( )
A.45° B.55° C.60° D.70°
B
解析 对O点进行受力分析，如图所示。因为甲、乙物体质量相等，所以F1与F2大小相等，合成的平行四边形为菱形，α＝70°，则∠1＝∠2＝55°，F1和F2的合力与F3等大反向，β＝∠2，故B正确。
例2 如图，水平横杆上套有圆环A，圆环A通过轻绳与重物B相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A缓慢向右移动一段距离，系统仍保持静止，则下列说法正确的是( )
A.物体C的高度上升 B.AC段绳与横杆的夹角变小
C.横杆对环的支持力变小 D.轻绳对圆环的拉力不变
D
解析 物体B保持静止，受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B的重力，保持不变，则轻绳对圆环的拉力不变，D正确；圆环A缓慢向右移动一段距离，重物C受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，滑轮位置的变化情况如图所示，所以重物C必定下降，重物B上升，连接A的轻绳与水平方向夹角不变，横杆对环的支持力也一定不变，A、B、C错误。
提升2 “动杆”与“定杆”模型
1.“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定是沿着轻杆的方向，否则会引起杆的转动，如图甲所示。
2.“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，杆所受到的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析，根据平衡条件确定杆中的弹力的大小和方向，如图乙所示。
例3 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过轻绳EP拉住，EP与水平方向也成30°角，轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体。g取10 m/s2，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EP的张力FEP之比；
(2)横梁BC对C端的支持力；
(3)轻杆HP对P端的支持力。
解析 分别对C点和P点受力分析如图所示
(1)图(a)中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g
图(b)中则有FEPsin 30°＝FPQ＝M2g
解得FEP＝2M2g
(2)图(a)中，根据几何关系得FC＝FAC＝M1g＝100 N
方向与水平方向成30°角斜向右上方。
(3)图(b)中，根据平衡条件有FEPcos 30°＝FP
答案 (1)1∶2 (2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N，方向水平向右
课后巩固训练
2
A
题组一 “活结”与“死结”模型
1.如图所示，站在水平地面上的人通过轻绳绕过定滑轮A和轻质动滑轮B将一重物吊起。若系统在图示位置静止时B两侧轻绳的夹角为120°，A右侧轻绳沿竖直方向，不计一切摩擦，此时人对地面恰好无压力，则人与重物的质量之比为( )
基础对点练
A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.2∶3
解析 人对地面恰好无压力，则绳子的张力大小为F＝m人g，对重物分析有2Fcos 60°＝m物g，解得人与重物的质量之比为m人∶m物＝1∶1，故A正确。
A
2.如图所示，一根轻绳一端固定于天花板的A点，另一端悬挂于天花板的B点，绳上挂一质量为m的光滑圆环。在细绳右端悬挂点由B点向A点慢慢移动的过程中，绳中的张力( )
A.变小 B.变大 C.先变小后变大 D.先变大后变小
B
3.如图所示，一位重500 N的演员悬挂在绳上，绳的材料相同，越粗能够承受的力越大。为了保障演员的安全，对绳的要求是( )
A.左绳粗一些 B.右绳粗一些
C.下绳粗一些 D.三条绳上弹力相同
BD
4.(多选)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
D
题组二 “动杆”与“定杆”模型
5.如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是( )
A.细线BO对天花板的拉力大小是3G
B.a杆对滑轮的作用力大小是1.8G
C.a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是2G
D.a杆对滑轮的作用力大小是G
解析 细线上的拉力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，故A错误；两段细线上拉力大小均为G，合力为2Gcos 60 °＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，故B错误，D正确；a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是0，故C错误。
AC
6.(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物，OB水平；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，另一端O′光滑；一端固定在竖直墙壁B′点的细线跨过O′端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA＝30°，以下说法正确的是( )
杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，∠B′O′A′可能等于30°，故B、D错误；根据共点力平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。
B
7.一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上，光滑铰链(不计质量)与轻杆连接，轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O′连接，如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°，重力加速度为g，则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为( )
解析 由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对铰链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，
AD
8.(多选)图甲中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是( )
综合提升练
C.两根杆中弹力方向均沿杆方向
D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂
杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知小滑轮受到杆的弹力N2＝T1′＝T2′＝mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但甲、乙图中绳子拉力大小关系为T1>T1′，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。
(1) (2)
9.如图所示，质量为M、上表面光滑的半圆柱体P放置于水平面上，一根轻质细线跨过大小可忽略的光滑轻质定滑轮O1，一端和置于P上的小球A(可视为质点)连接，另一端系在天花板上的O2点，光滑的质量不计的小动滑轮O3置于O1、O2之间的细线上，下面通过轻质细线挂着质量为m的小球B。已知半圆柱体P及两小球A、B均处于静止状态，定滑轮O1在半圆柱体圆心O的正上方，O1A与竖直方向成30°。O1A长度与半圆柱体半径相等，O3、O2间的细线与天花板之间的夹角为37°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小球A的质量；
(2)水平面对半圆柱体P的摩擦力和支持力大小。
解析 (1)通过滑轮O1、O3的同一根细线上的拉力大小相等，设细线拉力大小为T，对小动滑轮O3和小球B整体进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件得2Tsin 37°＝mg
对小球A，受力分析如图乙所示，根据平衡条件得
NAsin 30°＝Tsin 30°，NAcos 30°＋Tcos 30°＝mAg
(2)对小球A和半圆柱体P整体受力分析，如图丙所示，设P受到摩擦力为f，支持力为N，根据平衡条件得f＝Tsin 30°
N＋Tcos 30°＝(M＋mA)g第三章 培优提升八 “死结”“活结”与“动杆”“定杆”问题
(分值:100分)
选择题1~8题,每小题10分,共80分。
题组一 “活结”与“死结”模型
1.如图所示,站在水平地面上的人通过轻绳绕过定滑轮A和轻质动滑轮B将一重物吊起。若系统在图示位置静止时B两侧轻绳的夹角为120°,A右侧轻绳沿竖直方向,不计一切摩擦,此时人对地面恰好无压力,则人与重物的质量之比为 ( )
1∶1 1∶2 2∶1 2∶3
2.如图所示,一根轻绳一端固定于天花板的A点,另一端悬挂于天花板的B点,绳上挂一质量为m的光滑圆环。在细绳右端悬挂点由B点向A点慢慢移动的过程中,绳中的张力 ( )
变小 变大
先变小后变大 先变大后变小
3.如图所示,一位重500 N的演员悬挂在绳上,绳的材料相同,越粗能够承受的力越大。为了保障演员的安全,对绳的要求是 ( )
左绳粗一些
右绳粗一些
下绳粗一些
三条绳上弹力相同
4.(多选)如图所示,在竖直平面内有固定的半径为R的半圆轨道,其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上,一细线穿过轻环,一端系在M点,另一端系一质量为m的小球,小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
细线对M点的拉力大小为mg
轨道对轻环的支持力大小为mg
细线对轻环的作用力大小为mg
图示位置时MA=R
题组二 “动杆”与“定杆”模型
5.如图所示,在水平天花板的A点处固定一根轻杆a,杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处,细线跨过滑轮O,下端系一个重为G的物体,BO段细线与天花板的夹角为θ=30°。系统保持静止,不计一切摩擦。下列说法中正确的是 ( )
细线BO对天花板的拉力大小是3G
a杆对滑轮的作用力大小是1.8G
a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是2G
a杆对滑轮的作用力大小是G
6.(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上,另一端O光滑,一端固定在竖直墙壁B点的细线跨过O端系一质量为m的重物,OB水平;图乙中轻杆O'A'可绕A'点自由转动,另一端O'光滑;一端固定在竖直墙壁B'点的细线跨过O'端系一质量也为m的重物。已知图甲中∠BOA=30°,以下说法正确的是 ( )
图甲轻杆中弹力大小为mg
图乙轻杆中弹力大小为mg
图甲中轻杆中弹力与细线OB中拉力的合力方向一定沿竖直方向
图乙中∠B'O'A'不可能等于30°
7.一质量为m的小球通过短轻绳悬挂在光滑铰链上,光滑铰链(不计质量)与轻杆连接,轻杆通过光滑铰链分别与固定点O和O'连接,如图所示。已知两轻杆与水平地面和竖直墙壁的夹角都为30°,重力加速度为g,则下面轻杆和上面轻杆受到铰链的作用力大小分别为 ( )
mg,mg mg,mg
mg,mg mg,mg
综合提升练
8.(多选)图甲中,轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接,另一端用轻绳系住,绳、杆之间夹角为30°,在B点下方悬挂质量为m的重物。图乙中,轻杆CD一端插入墙内,另一端装有小滑轮,现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物,绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直于墙,两图中重物都静止,则下列说法中正确的是 ( )
与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg
轻杆CD上的小滑轮受到杆的弹力大小为mg
两根杆中弹力方向均沿杆方向
若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同,则物体加重时,甲中轻绳更容易断裂
9.(20分)如图所示,质量为M、上表面光滑的半圆柱体P放置于水平面上,一根轻质细线跨过大小可忽略的光滑轻质定滑轮O1,一端和置于P上的小球A(可视为质点)连接,另一端系在天花板上的O2点,光滑的质量不计的小动滑轮O3置于O1、O2之间的细线上,下面通过轻质细线挂着质量为m的小球B。已知半圆柱体P及两小球A、B均处于静止状态,定滑轮O1在半圆柱体圆心O的正上方,O1A与竖直方向成30°。O1A长度与半圆柱体半径相等,O3、O2间的细线与天花板之间的夹角为37°,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)(10分)小球A的质量;
(2)(10分)水平面对半圆柱体P的摩擦力和支持力大小。
培优提升八 “死结”“活结”与“动杆”“定杆”问题
1.A [人对地面恰好无压力，则绳子的张力大小为F＝m人g，对重物分析有2Fcos 60°＝m物g，解得人与重物的质量之比为m人∶m物＝1∶1，故A正确。]
2.A [光滑圆环始终处于绳子的中点处，设两段绳子的夹角为2θ，绳中的张力大小为F，则＝cos θ，解得F＝，当细绳右端悬挂点由B点向A点慢慢移动过程中，夹角θ逐渐变小，F逐渐变小，故A正确，B、C、D错误。]
3.B [
对结点O受力分析如图所示。人静止，可得下绳对结点O的拉力T大小等于人的重力500 N，根据三力平衡，可得FOA＝＝ N，FOB＝＝ N，显然悬挂物一定的情况下，此时右绳的拉力最大，所以为了安全起见，右绳应粗一些，故B正确。]
4.BD [
轻环两边细线的拉力大小相等，均为T＝mg，则细线对M点的拉力大小为mg，故A错误；轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小N＝2mgcos θ＝mg，故B正确；细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为F合＝N＝mg，故C错误；由几何关系知MA＝2Rcos θ＝R，故D正确。]
5.D [细线上的拉力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，故A错误；两段细线上拉力大小均为G，合力为2Gcos 60 °＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，故B错误，D正确；a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是0，故C错误。]
6.AC [由于图甲轻杆OA为“定杆”，其O端光滑，可以视为活结，两侧细线中拉力大小相等，都等于mg，由力的平衡条件可知，图甲轻杆中弹力为F甲＝2mgcos 45°＝mg，故A正确；图乙中轻杆O′A′可绕A′点自由转动，为“动杆”，另一端O′光滑，可以视为活结，O′两侧细线中拉力相等，“动杆”中弹力方向沿“动杆”方向，“动杆”O′A′中弹力大小等于O′两侧细线中拉力的合力大小，两细线夹角不确定，轻杆中弹力无法确定，∠B′O′A′可能等于30°，故B、D错误；根据共点力平衡条件，图甲中轻杆弹力与细线OB中拉力的合力方向一定与竖直细绳的拉力方向相反，即竖直向上，故C正确。]
7.B [
由题可知，两轻杆为两个“动杆”，而“动杆”上弹力方向沿轻杆。对铰链进行受力分析，铰链所受轻绳拉力大小为mg，方向竖直向下，下面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向下，设为F1，上面轻杆对铰链的弹力方向沿轻杆斜向上，设为F2，如图所示。在力的矢量三角形中，由正弦定理有＝＝，解得F1＝mg，F2＝mg，选项B正确。]
8.AD [甲图中B点受力如图(1)，杆在B点受到的作用力方向沿杆，由平行四边形定则可知，N1＝＝mg，T1＝＝2mg，则与轻杆AB连接的铰链受到杆的弹力大小为mg，故A正确；乙图中D点受力如图(2)，D点滑轮受到杆的作用力方向不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知小滑轮受到杆的弹力N2＝T1′＝T2′＝mg，故B、C错误；若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，但甲、乙图中绳子拉力大小关系为T1>T1′，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂，故D正确。]
(1) (2)
9.(1) (2)mg Mg＋mg
解析 (1)通过滑轮O1、O3的同一根细线上的拉力大小相等，设细线拉力大小为T，对小动滑轮O3和小球B整体进行受力分析，如图甲所示，根据平衡条件得2Tsin 37°＝mg
解得T＝
对小球A，受力分析如图乙所示，根据平衡条件得
NAsin 30°＝Tsin 30°，NAcos 30°＋Tcos 30°＝mAg
解得mA＝。
(2)对小球A和半圆柱体P整体受力分析，如图丙所示，设P受到摩擦力为f，支持力为N，根据平衡条件得f＝Tsin 30°
N＋Tcos 30°＝(M＋mA)g
解得f＝mg，N＝Mg＋mg。
