第四章 培优提升十三 动力学中的临界极值问题
(分值:100分)
选择题1~7题,每小题10分,共70分。
基础对点练
题组一 相对滑动的临界极值问题
1.如图所示,光滑水平面上放置着质量分别为2m、2m、m的三个物块A、B、C,其中B放在C上,B与A间用水平轻绳相连。现用一水平拉力拉A,结果B与C恰好不相对滑动。重力加速度大小为g,B、C间的动摩擦因数为μ,认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等,该水平拉力的大小为 ( )
4μmg 5μmg 6μmg 10μmg
2.(2022·江苏卷,1)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书,书与桌面间的动摩擦因数为0.4,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g=10 m/s2。若书不滑动,则高铁的最大加速度不超过 ( )
2.0 m/s2 4.0 m/s2
6.0 m/s2 8.0 m/s2
3.如图所示,A、B两个物体叠放在一起,静止在粗糙水平地面上,B与水平地面间的动摩擦因数μ1=0.1,A与B间的动摩擦因数μ2=0.2。已知A的质量m=2 kg,B的质量M=3 kg,重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F,为使A与B保持相对静止,则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ( )
20 N 15 N 10 N 5 N
题组二 绳子松弛或断裂的临界极值问题
4.如图所示,在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块,它们中间有水平细线连接。已知m1=3 kg,m2=2 kg,连接它们的细线最大能承受6 N的拉力。现用水平外力F1向左拉m1或用水平外力F2向右拉m2,为保持细线不断,则F1与F2的最大值分别为 ( )
10 N 15 N 15 N 6 N
12 N 10 N 15 N 10 N
5.(2024·四川南充高一期末)如图所示,在升降机上用相同的轻绳悬挂三个小球,球1、球2、球3的质量分别为1.5 kg、1.8 kg、2.0 kg。已知轻绳能承受的最大拉力为20 N,若升降机向上的加速度大小满足1 m/s2
三根绳可能都会断
悬挂球1的绳可能会断
悬挂球2的绳可能不会断
悬挂球3的绳可能不会断
题组三 恰好脱离的临界极值问题
6.如图所示,两个质量均为m的物块叠放压在一个竖直轻弹簧上面,处于静止状态,弹簧的劲度系数为k,t=0时刻,物块受到一个竖直向上的作用力F,使得物块以0.5g(g为重力加速度的大小)的加速度匀加速上升,则A、B分离时B的速度为 ( )
g
g 2g
综合提升练
7.如图所示,完全相同的磁铁A、B分别位于铁质车厢竖直面和水平面上,A、B与车厢间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,小车静止时,A恰好不下滑。现使小车加速运动,为保证A、B无滑动,则 ( )
加速度可能向右,大小小于μg
加速度一定向右,大小不能超过(1+μ)g
加速度一定向左,大小不能超过μg
加速度一定向左,大小不能超过(1+μ)g
8.(14分)如图所示,矩形盒内用两根细线固定一个质量为m=1.0 kg的均匀小球,a线与水平方向成53°角,b线水平。两根细线所能承受的最大拉力都是Fm=15 N(cos 53°=0.6,sin 53°=0.8,g取10 m/s2)。求:
(1)(7分)当该系统沿竖直方向匀加速上升时,为保证细线不被拉断,加速度可取的最大值;
(2)(7分)当该系统沿水平方向向右做匀加速运动时,为保证细线不被拉断,加速度可取的最大值。
培优加强练
9.(16分)一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底,一层油桶平整排列,相互紧贴并被牢牢固定,上一层只有一只桶C,自由地摆放在桶A、B之间,没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持力,和货车一起保持静止,如图所示(重力加速度为g)。
(1)(8分)当货车以某一加速度向左加速时,A对C和B对C的支持力大小会增大还是减小 请说明理由;
(2)(8分)当货车向左运动的加速度增大到一定值时,桶C就脱离A而运动到B的右边,这个加速度为多大
培优提升十三 动力学中的临界极值问题
1.D [根据牛顿第二定律对A、B、C整体有F＝5ma，对C有μ·2mg＝ma，解得F＝10μmg，故D正确。]
2.B [书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度，则有F静max＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4.0 m/s2，书相对高铁静止，故高铁的最大加速度为4.0 m/s2，B正确，A、C、D错误。]
3.B [恒力最大时，物体A与B之间的摩擦力达到最大静摩擦力，对A有μ2mg＝ma；对A、B整体有Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，联立解得Fmax＝15 N，选项B正确。]
4.D [用水平外力F1向左拉m1，对m1有F1－T＝m1a1，对m2有T＝m2a1，解得F1最大值为15 N；用水平外力F2向右拉m2，对m2有F2－T＝m2a2，对m1有T＝m1a2，解得F2最大值为10 N，选项A、B、C错误，D正确。]
5.C [球1受到的最大拉力Fmax1＝m1(amax＋g)＝1.5×(2＋10)N＝18 N＜20 N，可知悬挂球1的绳不会断，选项A、B错误；球2受到的最大拉力Fmax2＝m2(amax＋g)＝1.8×(2＋10)N＝21.6 N>20 N，最小拉力Fmin2＝m2(amin＋g)＝1.8×(1＋10)N＝19.8 N＜20 N，则悬挂球2的绳可能不会断，选项C正确；球3受到的最小拉力Fmin3＝m3(amin＋g)＝2.0×(1＋10)N＝22 N>20 N，悬挂球3的绳一定会断，选项D错误。]
6.B [两物块静止时，弹簧压缩量x1＝；两物块分离时，A、B之间的压力恰好为零，设此时弹簧的压缩量为x2，对物块B，有kx2－mg＝ma，得x2＝，物块B的位移x＝x1－x2＝，由v2＝2ax得v＝g，B正确。]
7.D [当小车静止时，A恰好不下滑，由受力平衡可知此时mg＝f＝μN，其中N为吸引力产生的弹力，要保证A无滑动，则A与小车之间的弹力不能减小，所以加速度一定向左，A、B错误；B在水平方向上受到摩擦力，竖直方向上受到小车的支持力、重力和吸引力，要保证B无滑动，则受到的摩擦力不能超过最大静摩擦力，即ma≤μ(mg＋N)，解得a≤(1＋μ)g，故选项D正确。]
8.(1)2 m/s2 (2)7.5 m/s2
解析 (1)该系统沿竖直方向匀加速上升时，小球受力情况如图所示，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得
y轴方向：Fmsin 53°－mg＝ma
x轴方向：Fmcos 53°＝Fb
解得Fb＝9 N，此时加速度有最大值，为a＝2 m/s2。
(2)当该系统沿水平方向向右做匀加速运动时，由牛顿第二定律得
竖直方向：Fa′sin 53°＝mg
水平方向：Fb′－Fa′cos 53°＝ma′
解得Fa′＝12.5 N
当Fb′＝Fm时，加速度最大此时a′＝7.5 m/s2。
9.(1)见解析 (2)g
解析 (1)当桶C与货车保持静止时，以C为研究对象，对C进行受力分析，如图所示。
由题意知α＝β＝30°
对桶C，水平方向上有FBCsin α＝FACsin β
竖直方向上有FBCcos α＋FACcos β＝mCg
整理得FAC＝FBC＝mCg
货车向左加速时，仍有α＝β＝30°，
同理水平方向上有FBC′sin α－FAC′sin β＝mCa
竖直方向上有FBC′cos α＋FAC′cos β＝mCg
解得FBC′＝mCg＋mCa
FAC′＝mCg－mCa
则货车向左加速时A对C的支持力减小，B对C的支持力增大。
(2)当桶C脱离A时，有FAC″＝0，这一瞬间仍有α＝β＝30°，
此时有FBC″cos α＝mCg，FBC″sin α＝mCa′
解得a′＝g。培优提升十三 动力学中的临界极值问题
学习目标 1.掌握动力学中的临界极值问题的分析方法。2.会分析几种典型临界极值问题的临界条件。
1.临界、极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2.常见情景及临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力N＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为零
类型1 相对静止(或相对滑动)的临界极值问题
例1 如图，物块A放在物块B上，A、B质量分别为m、M，A、B间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑，现用水平向右的力F拉B。
(1)若A、B没有发生相对滑动，求A、B的加速度大小；
(2)A、B未发生相对滑动，随着F的增大，A所受的摩擦力如何变化？
(3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么？
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，此时两物体具有共同的加速度，即aA＝aB，fAB＝fABmax，再结合牛顿第二定律求解对应的问题。求解过程可灵活运用整体法和隔离法。
训练1 如图所示，质量为M的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，重力加速度为g，则力F的大小应大于( )
A.μmg B.μ(M＋m)g
C.μ(m＋2M)g D.2μ(M＋m)g
训练2 如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ，现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动，重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为( )
A.μmg B.μMg
C.μmg D.μmg
类型2 恰好脱离的临界极值问题
例2 如图所示，质量m＝1 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8 kg、倾角为α＝30°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2。求：
(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F的最大值；
(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′的最大值。
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
训练3 一弹簧秤的秤盘A的质量m＝1.5 kg，盘上放一物体B，B的质量为M＝10.5 kg，弹簧本身质量不计，其劲度系数k＝800 N/m，系统静止时如图所示。现给B一个竖直向上的力F使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s内，F是变力，以后F是恒力，求F的最大值和最小值(g取10 m/s2)。
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
类型3 绳子断裂或松弛的临界极值问题
例3 (多选)如图所示，在水平面上运动的小车内，用轻绳AB、BC拴住一个重力为G的小球，轻绳AB、BC与水平方向夹角分别为30°和45°，绳AB的拉力为T1，绳BC的拉力为T2，重力加速度为g，下列叙述正确的是( )
A.小车向右以加速度g匀加速直线运动时，T1＝0
B.小车向右以加速度g匀加速直线运动时，T2＝G
C.小车向右以加速度g匀减速直线运动时，T2＝0
D.小车向右以加速度g匀减速直线运动时，T1＝G
听课笔记__________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
培优提升十三 动力学中的临界极值问题
例1 (1) (2)增大 (3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力
解析 (1)对A、B整体，由牛顿第二定律有
F＝(m＋M)a，则a＝。
(2)对物块A，由牛顿第二定律有f＝ma
则f＝F，随着F增大，f增大。
(3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
训练1 D [对物块与木板分别进行受力分析，如图所示。
对m有f1＝ma1①
f1＝μmg②
联立①和②得a1＝μg
对M有
F－f1′－f2＝Ma2③
f1和f1′互为作用力与反作用力
故有f1′＝f1＝μmg④
f2＝μ(M＋m)g⑤
联立②③④⑤可得a2＝－μg
要将木板从物块下抽出，必须使a2＞a1，解得F＞2μ(M＋m)g，故D正确。]
训练2 C [物块与长木板恰好不发生相对滑动时，对整体有F＝(M＋m)a，对长木板有μmg＝Ma，解得F＝μmg，C正确。]
例2 (1)90 N (2)30 N
解析 (1)小球不离
甲
开斜面体，两者加速度相同，临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0，对小球受力分析如图甲所示
由牛顿第二定律得
＝ma
解得a＝＝10 m/s2
对整体由牛顿第二定律得
F＝(M＋m)a＝90 N。
乙
(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得
mgtan 30°＝ma′
解得a′＝ m/s2
对整体由牛顿第二定律得
F′＝(M＋m)a′＝30 N。
训练3 168 N 72 N
解析 设刚开始时弹簧压缩量为x1，则
x1＝＝0.15 m①
设两者刚好分离时弹簧压缩量为x2，则
kx2－mg＝ma②
在前0.2 s时间内，由运动学公式得
x1－x2＝at2③
联立①②③解得a＝6 m/s2
由牛顿第二定律可知，开始时
Fmin＝(m＋M)a＝72 N
最终分离后Fmax－Mg＝Ma
即Fmax＝M(g＋a)＝168 N。
例3 ABC [小车向右做匀加速直线运动，当AB绳拉力恰好为0时，有Gtan 45°＝ma1，解得a1＝g，此时T1＝0，T2＝＝G，故A、B正确；小车向右做匀减速直线运动，当BC绳拉力恰好为0时，Gtan 60°＝ma2，得a2＝g，此时T2＝0，T1＝＝2G，故C正确，D错误。](共34张PPT)
培优提升十三 动力学中的临界极值问题
第四章 牛顿运动定律
1.掌握动力学中的临界极值问题的分析方法。2.会分析几种典型临界极值问题的临界条件。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
课后巩固训练
02
提升
1
1.临界、极值条件的标志
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。
2.常见情景及临界条件
临界状态 临界条件
两物体接触或脱离 弹力N＝0
两物体由相对静止开始相对滑动 静摩擦力达到最大值
绳子断裂 张力等于绳子所能承受的最大张力
绳子松弛 张力T＝0
加速度最大或最小 当所受合力最大时，具有最大加速度；合力最小时，具有最小加速度
速度最大或最小 加速度为零
类型1 相对静止(或相对滑动)的临界极值问题
例1 如图，物块A放在物块B上，A、B质量分别为m、M，A、B间的动摩擦因数为μ，水平地面光滑，现用水平向右的力F拉B。
(1)若A、B没有发生相对滑动，求A、B的加速度大小；
(2)A、B未发生相对滑动，随着F的增大，A所受的摩擦力如何变化？
(3)A、B发生相对滑动的临界条件是什么？
(2)对物块A，由牛顿第二定律有f＝ma
(3)A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，此时两物体具有共同的加速度，即aA＝aB，fAB＝fABmax，再结合牛顿第二定律求解对应的问题。求解过程可灵活运用整体法和隔离法。
训练1 如图所示，质量为M的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F将木板抽出，重力加速度为g，则力F的大小应大于( )
D
A.μmg B.μ(M＋m)g
C.μ(m＋2M)g D.2μ(M＋m)g
解析 对物块与木板分别进行受力分析，如图所示。
对m有f1＝ma1①
f1＝μmg②
联立①和②得a1＝μg
对M有F－f1′－f2＝Ma2③
f1和f1′互为作用力与反作用力
故有f1′＝f1＝μmg④
f2＝μ(M＋m)g⑤
要将木板从物块下抽出，必须使a2＞a1，解得F＞2μ(M＋m)g，故D正确。
训练2 如图所示，质量为M的长木板位于光滑水平面上，质量为m的物块静止在长木板上，两者之间的动摩擦因数为μ，现对物块施加水平向右的恒力F，若恒力F超过某一临界数值，长木板与物块将发生相对滑动，重力加速度大小为g，物块与长木板之间的最大静摩擦力等于两者之间的滑动摩擦力，则恒力F的临界值为( )
C
类型2 恰好脱离的临界极值问题
例2 如图所示，质量m＝1 kg的光滑小球用细线系在质量为M＝8 kg、倾角为α＝30°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g取10 m/s2。求：
(1)若用水平向右的力F拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F的最大值；
(2)若用水平向左的力F′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F′的最大值。
解析 (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同，临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0，对小球受力分析如图甲所示
甲
(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得mgtan 30°＝ma′
乙
训练3 一弹簧秤的秤盘A的质量m＝1.5 kg，盘上放一物体B，B的质量为M＝10.5 kg，弹簧本身质量不计，其劲度系数k＝800 N/m，系统静止时如图所示。现给B一个竖直向上的力F使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s内，F是变力，以后F是恒力，求F的最大值和最小值(g取10 m/s2)。
答案 168 N 72 N
联立①②③解得a＝6 m/s2
由牛顿第二定律可知，开始时Fmin＝(m＋M)a＝72 N
最终分离后Fmax－Mg＝Ma
即Fmax＝M(g＋a)＝168 N。
类型3 绳子断裂或松弛的临界极值问题
例3 (多选)如图所示，在水平面上运动的小车内，用轻绳AB、BC拴住一个重力为G的小球，轻绳AB、BC与水平方向夹角分别为30°和45°，绳AB的拉力为T1，绳BC的拉力为T2，重力加速度为g，下列叙述正确的是( )
ABC
课后巩固训练
2
D
题组一 相对滑动的临界极值问题
1.如图所示，光滑水平面上放置着质量分别为2m、2m、m的三个物块A、B、C，其中B放在C上，B与A间用水平轻绳相连。现用一水平拉力拉A，结果B与C恰好不相对滑动。重力加速度大小为g，B、C间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，该水平拉力的大小为( )
基础对点练
A.4μmg B.5μmg C.6μmg D.10μmg
解析 根据牛顿第二定律对A、B、C整体有F＝5ma，对C有μ·2mg＝ma，解得F＝10μmg，故D正确。
B
2.(2022·江苏卷，1)高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加速度不超过( )
A.2.0 m/s2 B.4.0 m/s2 C.6.0 m/s2 D.8.0 m/s2
解析 书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度，则有F静max＝μmg＝mam，解得am＝μg＝4.0 m/s2，书相对高铁静止，故高铁的最大加速度为4.0 m/s2，B正确，A、C、D错误。
B
3.如图所示，A、B两个物体叠放在一起，静止在粗糙水平地面上，B与水平地面间的动摩擦因数μ1＝0.1，A与B间的动摩擦因数μ2＝0.2。已知A的质量m＝2 kg，B的质量M＝3 kg，重力加速度g取10 m/s2。现对物体B施加一个水平向右的恒力F，为使A与B保持相对静止，则恒力F的最大值是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
A.20 N B.15 N C.10 N D.5 N
解析 恒力最大时，物体A与B之间的摩擦力达到最大静摩擦力，对A有μ2mg＝ma；对A、B整体有Fmax－μ1(m＋M)g＝(m＋M)a，联立解得Fmax＝15 N，选项B正确。
D
题组二 绳子松弛或断裂的临界极值问题
4.如图所示，在水平光滑桌面上放有m1和m2两个小物块，它们中间有水平细线连接。已知m1＝3 kg，m2＝2 kg，连接它们的细线最大能承受6 N的拉力。现用水平外力F1向左拉m1或用水平外力F2向右拉m2，为保持细线不断，则F1与F2的最大值分别为( )
A.10 N 15 N B.15 N 6 N C.12 N 10 N D.15 N 10 N
解析 用水平外力F1向左拉m1，对m1有F1－T＝m1a1，对m2有T＝m2a1，解得F1最大值为15 N；用水平外力F2向右拉m2，对m2有F2－T＝m2a2，对m1有T＝m1a2，解得F2最大值为10 N，选项A、B、C错误，D正确。
C
5.(2024·四川南充高一期末)如图所示，在升降机上用相同的轻绳悬挂三个小球，球1、球2、球3的质量分别为1.5 kg、1.8 kg、2.0 kg。已知轻绳能承受的最大拉力为20 N，若升降机向上的加速度大小满足1 m/s2A.三根绳可能都会断 B.悬挂球1的绳可能会断
C.悬挂球2的绳可能不会断 D.悬挂球3的绳可能不会断
解析 球1受到的最大拉力Fmax1＝m1(amax＋g)＝1.5×(2＋10)N＝18 N＜20 N，可知悬挂球1的绳不会断，选项A、B错误；球2受到的最大拉力Fmax2＝m2(amax＋g)＝1.8×(2＋10)N＝21.6 N>20 N，最小拉力Fmin2＝m2(amin＋g)＝1.8×(1＋10)N＝19.8 N＜20 N，则悬挂球2的绳可能不会断，选项C正确；球3受到的最小拉力Fmin3＝m3(amin＋g)＝2.0×(1＋10)N＝22 N>20 N，悬挂球3的绳一定会断，选项D错误。
B
题组三 恰好脱离的临界极值问题
6.如图所示，两个质量均为m的物块叠放压在一个竖直轻弹簧上面，处于静止状态，弹簧的劲度系数为k，t＝0时刻，物块受到一个竖直向上的作用力F，使得物块以0.5g(g为重力加速度的大小)的加速度匀加速上升，则A、B分离时B的速度为( )
D
7.如图所示，完全相同的磁铁A、B分别位于铁质车厢竖直面和水平面上，A、B与车厢间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小车静止时，A恰好不下滑。现使小车加速运动，为保证A、B无滑动，则( )
综合提升练
A.加速度可能向右，大小小于μg
B.加速度一定向右，大小不能超过(1＋μ)g
C.加速度一定向左，大小不能超过μg
D.加速度一定向左，大小不能超过(1＋μ)g
解析 当小车静止时，A恰好不下滑，由受力平衡可知此时mg＝f＝μN，其中N为吸引力产生的弹力，要保证A无滑动，则A与小车之间的弹力不能减小，所以加速度一定向左，A、B错误；B在水平方向上受到摩擦力，竖直方向上受到小车的支持力、重力和吸引力，要保证B无滑动，则受到的摩擦力不能超过最大静摩擦力，即ma≤μ(mg＋N)，解得a≤(1＋μ)g，故选项D正确。
8.如图所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m＝1.0 kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平。两根细线所能承受的最大拉力都是Fm＝15 N(cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s2)。求：
(1)当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值；
(2)当该系统沿水平方向向右做匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值。
答案 (1)2 m/s2 (2)7.5 m/s2
解析 (1)该系统沿竖直方向匀加速上升时，小球受力情况如图所示，当a线拉力为15 N时，由牛顿第二定律得
y轴方向：Fmsin 53°－mg＝ma
x轴方向：Fmcos 53°＝Fb
解得Fb＝9 N，此时加速度有最大值，为a＝2 m/s2。
(2)当该系统沿水平方向向右做匀加速运动时，由牛顿第二定律得
竖直方向：Fa′sin 53°＝mg
水平方向：Fb′－Fa′cos 53°＝ma′
解得Fa′＝12.5 N
当Fb′＝Fm时，加速度最大
此时a′＝7.5 m/s2。
9.一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。在车厢底，一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定，上一层只有一只桶C，自由地摆放在桶A、B之间，没有用绳索固定。桶C受到桶A和桶B的支持力，和货车一起保持静止，如图所示(重力加速度为g)。
培优加强练
(1)当货车以某一加速度向左加速时，A对C和B对C的支持力大小会增大还是减小？请说明理由；
(2)当货车向左运动的加速度增大到一定值时，桶C就脱离A而运动到B的右边，这个加速度为多大？
解析 (1)当桶C与货车保持静止时，以C为研究对象，对C进行受力分析，如图所示。
由题意知α＝β＝30°
对桶C，水平方向上有FBC·sin α＝FAC·sin β
竖直方向上有FBC·cos α＋FAC·cos β＝mCg
货车向左加速时，仍有α＝β＝30°，同理水平方向上有FBC′sin α－FAC′sin β＝mCa
竖直方向上有FBC′cos α＋FAC′cos β＝mCg
则货车向左加速时A对C的支持力减小，B对C的支持力增大。
(2)当桶C脱离A时，有FAC″＝0，这一瞬间仍有
α＝β＝30°，此时有
FBC″cos α＝mCg，FBC″sin α＝mCa′