专题提升三 碰撞模型的拓展
(分值:100分)
选择题1~9题,每小题8分,共72分。
基础对点练
题组一 “滑块—弹簧”模型
1.如图所示,P物体与一个连着弹簧的Q物体正碰,碰撞后P物体静止,Q物体以P物体碰撞前的速度v离开,已知P与Q的质量相等,弹簧质量忽略不计,那么当弹簧被压缩至最短时,下列的结论中正确的是 ( )
P的速度恰好为零 P与Q具有相同速度
Q刚开始运动 Q的速度等于v
2.如图所示,将质量分别为mA=1 kg、mB=3 kg的A、B两个物体放在光滑的水平面上,物体B处于静止状态,B的左端与一轻弹簧相连接。现在给物体A一水平向右的初速度v0=4 m/s。则下列说法正确的是 ( )
弹簧压缩到最短时,A、B两物体的速度大小均为0
弹簧压缩到最短时,A物体的速度为2 m/s
整个过程中弹簧储存的最大弹性势能为6 J
整个过程中A、B系统的最小动能为6 J
3.(多选)(2024·四川成都高二月考)如图所示,三小球a、b、c的质量都是m,都放于光滑的水平面上,小球b、c与轻弹簧相连且静止,小球a以速度v0冲向小球b,碰后与小球b粘在一起运动。在整个运动过程中,下列说法中正确的是 ( )
三球与弹簧组成的系统总动量守恒,总机械能不守恒
三球与弹簧组成的系统总动量守恒,总机械能也守恒
当小球b、c速度相等时,弹簧弹性势能最大
当弹簧第一次恢复原长时,小球c的动能一定最大,小球b的动能一定不为零
题组二 “滑块—光滑斜(曲)面”模型
4.(多选)如图所示,质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上,其斜面光滑且足够长,与水平方向的夹角为θ。一个质量为m的小物块从斜面底端以初速度v0沿斜面向上开始运动。当小物块沿斜面向上运动到最高点时(未从斜面顶端冲出),速度大小为v,距地面高度为h,重力加速度为g,则下列关系式中正确的是 ( )
mv0=(m+M)v
mv0cos θ=(m+M)v
mgh=m(v0sin θ)2
mgh+(m+M)v2=
5.如图所示,在光滑的水平地面上停放着质量为m的装有弧形槽的小车。现有一质量也为m的小球以v0的水平速度沿与切线水平的槽口向小车滑去,不计一切摩擦,则 ( )
在相互作用的过程中,小车和小球组成的系统总动量守恒
小球从右侧离开车后,对地将向右做平抛运动
小球从右侧离开车后,对地将做自由落体运动
小球从右侧离开车后,小车的速度有可能大于v0
6.(多选)(2024·四川攀枝花高二期末)如图所示,质量为2m的带有四分之一光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上,一质量为m的小球以水平速度v冲上小车,刚好到达圆弧轨道最高点后又返回小车的左端。已知重力加速度为g,在这过程中,下列说法中正确的是 ( )
小球和小车所组成的系统动量守恒
四分之一光滑圆弧轨道的半径为
小球运动到最高点时,小车的速度大小为
小球返回小车左端时,小车的速度大小为
题组三 “滑块—木板”模型
7.如图所示,质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上,一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板,如果长木板是固定的,物块恰好停在长木板的右端,如果长木板不固定,则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为 ( )
L
8.如图(a),一长木板静止于光滑水平桌面上,t=0时,小物块以速度v0滑到长木板上,图(b)为物块与长木板运动的v-t图像,图中t1、v0、v1已知,重力加速度大小为g。由此可求得 ( )
木板的长度
物块与木板的质量
物块与木板之间的动摩擦因数
从t=0开始到t1时刻,木板获得的动能
综合提升练
9.(多选)(2024·山东临沂高二月考)如图所示,在光滑的水平面上放有两个小球A和B,两者的质量关系为mA>mB,B球上固定一轻质弹簧。A球以速度v去碰撞静止的B球,则 ( )
A球的最小速率为零
B球的最大速率为v
当弹簧压缩到最短时,B球的速度率大
两球的动能之和最小值为
10.(12分)如图所示,光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C,滑块B置于A的左端(B、C可视为质点),三者质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg、mC=2 kg,A与B间的动摩擦因数为μ=0.5;开始时C静止,A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动,A与C发生碰撞(时间极短)并粘在一起,经过一段时间,B刚好滑至A的右端而没掉下来。求:
(1)(6分)A、C碰撞后A的速度大小;
(2)(6分)长木板A的长度。(g=10 m/s2)
培优加强练
11.(16分)在光滑水平面上静置有质量均为m的木板AB和滑块CD,木板AB上表面粗糙,滑块CD上表面是光滑的圆弧,其最低点D的切线水平且与木板AB上表面平滑相接,如图所示。一可视为质点的物块P,质量也为m,从木板AB的右端以初速度v0滑上木板AB,过B点时速度为vB=,又滑上滑块CD,最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处。已知物块P与木板AB间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。求:
(1)(4分)物块滑到B处时木板的速度vAB;
(2)(6分)木板的长度L;
(3)(6分)滑块CD上表面圆弧的半径R。
专题提升三 碰撞模型的拓展
1.B [P物体接触弹簧后,在弹簧弹力的作用下,P物体做减速运动,Q物体做加速运动,P、Q间的距离减小,当P、Q两物体速度相等时,弹簧被压缩到最短,所以B正确,A、C错误;由于作用过程中动量守恒,设弹簧最短时的共同速度为v',则mv=(m+m)v',所以弹簧被压缩至最短时,P、Q的速度都为v'=,故D错误。]
2.C [当弹簧压缩到最短时,A、B两物体的速度相同,设共同速度为v。取向右为正方向,由动量守恒定律可得mAv0=(mA+mB)v,解得v=1 m/s,故A、B错误;弹簧压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大,系统动能最小,根据系统的机械能守恒知,弹簧储存的最大弹性势能为Epmax=(mA+mB)v2,解得Epmax=6 J,系统最小动能Ekmin=(mA+mB)v2=2 J,故C正确,D错误。]
3.ACD [在整个运动过程中,系统的合外力为零,系统的动量守恒,小球a与b碰撞后粘在一起,机械能减小, B错误,A正确;a与b碰撞后,弹簧被压缩,弹簧对b产生向左的弹力,对c产生向右的弹力,ab做减速运动,c做加速运动,则当小球b、c速度相等时,弹簧压缩量最大,弹性势能最大,C正确;当弹簧第一次恢复原长时,小球c的动能一定最大,根据动量守恒定律和机械能守恒定律分析可知,小球b的动能不为零,D正确。]
4.BD [以水平向右为正方向,在小物块上升过程中,由水平方向系统动量守恒得mv0cos θ=(m+M)v,故A错误,B正确;由系统机械能守恒得mgh+(m+M)v2=,故C错误,D正确。]
5.C [整个过程中系统水平方向动量守恒,竖直方向动量不守恒,故A错误;设小球离开小车时,小球的速度为v1,小车的速度为v2,整个过程中由水平方向动量守恒得mv0=mv1+mv2,由机械能守恒定律得,联立解得v1=0,v2=v0,即小球与小车分离时二者交换速度,所以小球从小车右侧离开后将做自由落体运动,故B、D错误,C正确。]
6.BC [小球和小车所组成的系统在水平方向不受外力,因此水平方向动量守恒,但竖直方向小球和小车所组成的系统动量不守恒,故A错误;小球运动到最高点时,小球和小车的速度相等,设为v1,设圆弧轨道半径为r,在水平方向根据动量守恒定律得mv=(m+2m)v1,由机械能守恒定律得mv2=(m+2m)+mgr,联立解得v1=,r=,故B、C正确;小球返回小车左端时,设小球的速度为v2,小车的速度为v3,根据水平方向动量守恒得mv=mv2+2mv3,由机械能守恒定律得mv2=×2m,解得v3=v,故D错误。]
7.D [长木板固定时,由动能定理得-μMgL=0-,若长木板不固定,以物块初速度的方向为正方向,对于物块和长木板组成的系统,由动量守恒定律有Mv0=2Mv,由能量守恒定律有μMgs=×2Mv2,解得s=,D正确,A、B、C错误。]
8.C [对小物块,由x=t1-t1=t1可以求出物块相对木板滑行的距离,木板的长度可能等于该长度,也可能大于该长度,根据题意无法求出木板的长度,A错误;物块与木板组成的系统动量守恒,以物块的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(m+M)v1,可解出物块与木板的质量之比,但无法计算各自的质量,B错误;对物块由动量定理得-μmgt1=mv1-mv0,由于v0、t1与v1已知,解得μ=,可以求出动摩擦因数,C正确;由于不知道木板的质量,无法求出从t=0开始到t1时刻,木板获得的动能,D错误。]
9.BD [A球与弹簧接触后,弹簧被压缩,弹簧对A球产生向左的弹力,对B球产生向右的弹力,故A球做减速运动,B球做加速运动,当B球的速度等于A球的速度时弹簧的压缩量最大,此后A球继续减速,B球继续加速,弹簧压缩量减小,当弹簧恢复原长时,B球速度最大,A球速度最小,此过程满足动量守恒定律和能量守恒定律,有mAv=mAv1+mBv2,mAv2=,解得v1=v,v2=v,因为mA>mB,可知A球的最小速率不为零,B球的最大速率为v,故A、C错误,B正确;两球共速时,弹簧压缩到最短,弹性势能最大,此时两球动能之和最小,根据动量守恒定律有mAv=(mA+mB)v共,Ek=(mA+mB),联立可得Ek=,故D正确。]
10.(1)2.5 m/s (2)0.5 m
解析 (1)A与C碰撞过程根据动量守恒定律有
mAv0=(mA+mC)v1,解得v1=2.5 m/s。
(2)B在A上滑行至A的右端的过程,A、B、C组成的系统动量守恒,
则有mBv0+(mA+mC)v1=(mA+mB+mC)v2
解得v2=3 m/s
由能量守恒定律得(mA+mC)(mA+mB+mC)+μmBgl,解得l=0.5 m。
11.(1),方向向左 (2) (3)
解析 (1)物块由A到B时,取向左为正方向,对物块P、木板AB和滑块CD组成的系统由动量守恒定律得mv0=mvB+2mvAB
又vB=,解得vAB=,且速度方向向左。
(2)物块由A到B时,根据能量守恒定律得
×2m=μmgL
解得L=。
(3)由D到C,滑块CD与物块P组成的系统在水平方向上动量守恒,则有m=2mv共,滑块CD与物块P组成的系统机械能守恒,则有
mgR=×2m
解得滑块CD圆弧的半径为R=。专题提升三 碰撞模型的拓展
学习目标 1.会应用动量观点和能量观点分析模型。2.能熟练应用动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律解决有关问题。
模型一 “滑块—弹簧”模型
1.对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统,在相互作用的过程中,若系统合外力为零,则满足动量守恒定律。
2.在能量方面,由于弹簧发生形变,具有弹性势能,系统的总动能将发生变化,若系统所受的合外力和除弹簧弹力以外的内力不做功,系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功,这些力做功之和等于系统机械能的减少量。
3.(1)如图所示,弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等,弹性势能最大,系统动能通常最小。
(2)弹簧恢复原长时,弹性势能为零,系统动能最大。
例1 如图所示,三个小球的质量均为m,B、C两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上,A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动,碰后A、B两球粘在一起,则:
(1)A、B两球刚粘在一起时的速度为多大
(2)弹簧压缩至最短时三个小球的速度为多大
(3)弹簧的最大弹性势能是多少
(4)弹簧恢复原长时,三个小球的速度为多大
如图所示,光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体(左端固定一轻弹簧),A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等,此时弹簧最短,其压缩量最大,相当于发生了一次“完全非弹性碰撞”;当弹簧恢复原长时,整个过程相当于A和B发生了一次“弹性碰撞”。
训练1 如图所示,位于光滑的水平桌面上的小滑块P和Q均可视为质点,质量均为m,Q与水平轻质弹簧相连并处于静止状态,P以初速度v向Q运动并与弹簧发生作用。求:
(1)整个过程中弹簧的最大弹性势能;
(2)弹簧恢复原长时,P、Q的速度分别为多大
模型二 “滑块—光滑斜(曲)面”模型
1.对于滑块—光滑斜(曲)面模型,斜(曲)面体不是固定的,而是放置在光滑水平面上。这类模型一般情况下所受合力不为零,但常在水平方向上的合力为零,则在水平方向上满足动量守恒。
2.当滑块到达斜(曲)面最高点时,滑块与斜(曲)面速度相同,相当于发生了完全非弹性碰撞,损失的动能转化为滑块的重力势能,结合能量守恒定律列方程,联立求解。
3.当滑块从最低点离开曲面后,相当于完成了弹性碰撞。
例2 如图所示,有一质量为m的小球,以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m,小球在上升过程中始终未能冲出圆弧,重力加速度为g,求:
(1)小球上升的最大高度;
(2)小球与轨道分离时两者的速度。
当小球上升到最大高度时,其速度并不为零,只是竖直分速度为零,但小球与圆弧轨道有共同的水平速度。要将此类问题与圆弧轨道或斜面固定时区分开。
训练2 如图,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为h=0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1=30 kg,冰块的质量为m2=10 kg,小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g=10 m/s2。
(1)求斜面体的质量;
(2)通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩
模型三 “滑块—木板”模型
1.模型特点
(1)系统的动量守恒,但机械能不守恒,摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下,当两者速度相同时,木板速度最大,相对位移最大。
2.求解方法
(1)求速度:根据动量守恒定律求解,研究对象为一个系统。
(2)求时间:根据动量定理求解,研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对路程:根据能量守恒定律Q=fs或Q=E初-E末,研究对象为一个系统。
例3 如图所示,质量为m的木块以v0的速度水平滑上静止在光滑水平地面上的平板小车,最终二者以相同的速度一起运动。已知平板小车的质量为M,木块与小车之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。求:
(1)从木块滑上小车到它们处于相对静止时v的大小;
(2)从木块滑上小车到它们处于相对静止时木块相对小车滑行的距离s。
1.把滑块、木板看成一个整体,摩擦力为内力,在光滑水平面上滑动过程中,滑块和木板组成的系统动量守恒。
2.由于摩擦生热,机械能转化为内能,系统机械能不守恒,根据能量守恒定律,机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量,即Q=fs相对,其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。
3.若滑块不滑离木板,就意味着二者最终具有共同速度,机械能损失最多,此过程可以看成完全非弹性碰撞。
训练3 如图所示,质量m1=0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上,车长L=1.5 m,现有质量m2=0.2 kg且可视为质点的物块,以水平向右的速度v0=2 m/s从左端滑上小车,最后在车上某处与小车保持相对静止。物块与小车之间的动摩擦因数μ=0.5,取g=10 m/s2,求:
(1)物块在车上滑行的时间;
(2)要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度v0'不超过多少。
专题提升三 碰撞模型的拓展
模型一
例1 (1) (2) (3) (4)见解析
解析 (1)在A、B两球碰撞的过程中弹簧的压缩量可忽略不计,产生的弹力可忽略不计,因此A、B两球组成的系统所受合外力为零,动量守恒,以A球的初速度方向为正方向,有mv0=2mv1,
解得v1=。
(2)粘在一起的A、B两球向右运动,压缩弹簧,由于弹簧弹力的作用,C球做加速运动,速度由零开始增大,而A、B两球做减速运动,速度逐渐减小,当三个球速度相等时弹簧压缩至最短,在这一过程中,三个球和弹簧组成的系统动量守恒,有
2mv1=3mv2,解得v2=。
(3)当弹簧被压缩至最短时,弹性势能最大,由能量守恒定律得
Epm=×2m×3m。
(4)弹簧恢复原长过程中,A、B、C三个球和弹簧组成的系统动量守恒,能量守恒,弹簧恢复原长时,由动量守恒定律和能量守恒定律,得
2mv1=2mvAB+mvC
×2m×2m
解得vAB=,vC=0或vAB=,vC=。
训练1 (1)mv2 (2)0 v
解析 (1)弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大,此时两小滑块的速度相等,相当于发生完全非弹性碰撞。两小滑块动能损失最多,损失的动能转化为弹簧的弹性势能。
由动量守恒定律得mv=2mv'
由能量守恒定律得Epm=mv2-·2m·v'2
解得Epm=mv2。
(2)弹簧恢复原长时,弹性势能为零,对P、Q两小滑块组成的系统来说,在从P接触弹簧到与弹簧分离过程中,系统总动能在初、末状态相等,相当于发生了弹性碰撞。
由动量守恒定律得mv=mv1+mv2
由能量守恒定律得mv2=
解得v1=0,v2=v。
模型二
例2 (1) (2)-v0 v0
解析 (1)小球到达最高点时,小球与轨道的速度相同。相当于发生完全非弹性碰撞,系统动能损失最多,转化为重力势能。
由动量守恒定律得mv0=3mv
由能量守恒定律得×3mv2+mgh
解得小球上升的最大高度h=。
(2)小球与轨道分离时,系统总动能与初始状态相同,相当于发生了弹性碰撞。
设小球离开轨道时的速度为v1,轨道的速度为v2,
由动量守恒定律有mv0=mv1+2mv2
根据机械能守恒定律有
×2m
联立以上两式可得v1=-v0,v2=v0。
训练2 (1)20 kg (2)见解析
解析 (1)选向左为正方向。冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度,设此共同速度为v,斜面体的质量为m3
在水平方向上由动量守恒定律和机械能守恒定律得
m2v0=(m2+m3)v
m2(m2+m3)v2+m2gh
式中v0=3 m/s为冰块被推出时的速度。联立两式并代入题给数据得m3=20 kg。
(2)选向右为正方向,设小孩推出冰块后小孩的速度为v1,由动量守恒定律有m1v1-m2v0=0
代入数据得v1=1 m/s
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3,由动量守恒定律和机械能守恒定律有
-m2v0=m2v2+m3v3
m2m2m3
联立两式并代入数据得v2=1 m/s
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在后方,故冰块不能追上小孩。
模型三
例3 (1)v0 (2)
解析 (1)木块与小车组成的系统动量守恒,有
mv0=(M+m)v
解得v=v0。
(2)小车和木块组成系统在该过程能量守恒,有
(M+m)v2+μmgs
可得s=v2=。
训练3 (1)0.24 s (2)5 m/s
解析 (1)设物块与小车的共同速度为v,以水平向右的方向为正方向,根据动量守恒定律有
m2v0=(m1+m2)v
设物块与车之间的滑动摩擦力为f,对物块应用动量定理有
-ft=m2v-m2v0
又f=μm2g
联立并代入数据得t=0.24 s。
(2)要使物块恰好不从车的右端滑出,则物块到车的最右端时与小车有共同的速度,设其为v',
则m2v0'=(m1+m2)v'
由能量守恒定律有
m2v0'2=(m1+m2)v'2+μm2gL
代入数据解得v0'=5 m/s
故要使物体不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度v0'不超过5 m/s。(共50张PPT)
专题提升三 碰撞模型的拓展
第一章 动量与动量守恒定律
1.会应用动量观点和能量观点分析模型。
2.能熟练应用动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律解决有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
提升
01
02
课后巩固训练
模型
1
模型二 “滑块—光滑斜(曲)面”模型
模型一 “滑块—弹簧”模型
模型三 “滑块—木板”模型
模型一 “滑块—弹簧”模型
1.对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒定律。
2.在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的合外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的减少量。
3.(1)如图所示，弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小。
(2)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大。
例1 如图所示，三个小球的质量均为m，B、C两球用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上，A球以速度v0沿B、C两球球心的连线向B球运动，碰后A、B两球粘在一起，则：
(1)A、B两球刚粘在一起时的速度为多大？
(2)弹簧压缩至最短时三个小球的速度为多大？
(3)弹簧的最大弹性势能是多少？
(4)弹簧恢复原长时，三个小球的速度为多大？
解析 (1)在A、B两球碰撞的过程中弹簧的压缩量可忽略不计，产生的弹力可忽略不计，因此A、B两球组成的系统所受合外力为零，动量守恒，以A球的初速度方向为正方向，有mv0＝2mv1，
(4)弹簧恢复原长过程中，A、B、C三个球和弹簧组成的系统动量守恒，能量守恒，弹簧恢复原长时，由动量守恒定律和能量守恒定律，得
如图所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体(左端固定一轻弹簧)，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大，相当于发生了一次“完全非弹性碰撞”；当弹簧恢复原长时，整个过程相当于A和B发生了一次“弹性碰撞”。
训练1 如图所示，位于光滑的水平桌面上的小滑块P和Q均可视为质点，质量均为m，Q与水平轻质弹簧相连并处于静止状态，P以初速度v向Q运动并与弹簧发生作用。求：
(1)整个过程中弹簧的最大弹性势能；
(2)弹簧恢复原长时，P、Q的速度分别为多大？
解析 (1)弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，此时两小滑块的速度相等，相当于发生完全非弹性碰撞。两小滑块动能损失最多，损失的动能转化为弹簧的弹性势能。
由动量守恒定律得mv＝2mv′
由动量守恒定律得mv＝mv1＋mv2
模型二 “滑块—光滑斜(曲)面”模型
1.对于滑块—光滑斜(曲)面模型，斜(曲)面体不是固定的，而是放置在光滑水平面上。这类模型一般情况下所受合力不为零，但常在水平方向上的合力为零，则在水平方向上满足动量守恒。
2.当滑块到达斜(曲)面最高点时，滑块与斜(曲)面速度相同，相当于发生了完全非弹性碰撞，损失的动能转化为滑块的重力势能，结合能量守恒定律列方程，联立求解。
3.当滑块从最低点离开曲面后，相当于完成了弹性碰撞。
例2 如图所示，有一质量为m的小球，以速度v0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道。已知圆弧轨道的质量为2m，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g，求：
(1)小球上升的最大高度；
(2)小球与轨道分离时两者的速度。
解析 (1)小球到达最高点时，小球与轨道的速度相同。相当于发生完全非弹性碰撞，系统动能损失最多，转化为重力势能。
(2)小球与轨道分离时，系统总动能与初始状态相同，
相当于发生了弹性碰撞。
设小球离开轨道时的速度为v1，轨道的速度为v2，
由动量守恒定律有mv0＝mv1＋2mv2
当小球上升到最大高度时，其速度并不为零，只是竖直分速度为零，但小球与圆弧轨道有共同的水平速度。要将此类问题与圆弧轨道或斜面固定时区分开。
训练2 如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面
3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)。已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。
(1)求斜面体的质量；
(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
答案 (1)20 kg (2)见解析
解析 (1)选向左为正方向。冰块在斜面体上运动到
最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3
(2)选向右为正方向，设小孩推出冰块后小孩的速
度为v1，由动量守恒定律有m1v1－m2v0＝0
代入数据得v1＝1 m/s
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒定律和机械能守恒定律有－m2v0＝m2v2＋m3v3
联立两式并代入数据得v2＝1 m/s
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且冰块处在后方，故冰块不能追上小孩。
模型三 “滑块—木板”模型
1.模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大。
2.求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对路程：根据能量守恒定律Q＝fs或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。
例3 如图所示，质量为m的木块以v0的速度水平滑上静止在光滑水平地面上的平板小车，最终二者以相同的速度一起运动。已知平板小车的质量为M，木块与小车之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。求：
(1)从木块滑上小车到它们处于相对静止时v的
大小；
(2)从木块滑上小车到它们处于相对静止时木块
相对小车滑行的距离s。
解析 (1)木块与小车组成的系统动量守恒，有
mv0＝(M＋m)v
1.把滑块、木板看成一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑动过程中，滑块和木板组成的系统动量守恒。
2.由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，根据能量守恒定律，机械能的减少量等于因摩擦而产生的热量，即Q＝fs相对，其中s相对为滑块和木板相对滑动的路程。
3.若滑块不滑离木板，就意味着二者最终具有共同速度，机械能损失最多，此过程可以看成完全非弹性碰撞。
训练3 如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg且可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，最后在车上某处与小车保持相对静止。物块与小车之间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，求：
(1)物块在车上滑行的时间；
(2)要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左
端的速度v0′不超过多少。
答案 (1)0.24 s (2)5 m/s
解析 (1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向
右的方向为正方向，根据动量守恒定律有m2v0＝
(m1＋m2)v
设物块与车之间的滑动摩擦力为f，对物块应用动量定理有－ft＝m2v－m2v0
又f＝μm2g
联立并代入数据得t＝0.24 s。
(2)要使物块恰好不从车的右端滑出，则物块到车的最右端时与小车有共同的速度，设其为v′，
则m2v0′＝(m1＋m2)v′
由能量守恒定律有
代入数据解得v0′＝5 m/s
故要使物体不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v0′不超过5 m/s。
课后巩固训练
2
B
题组一 “滑块—弹簧”模型
1.如图所示，P物体与一个连着弹簧的Q物体正碰，碰撞后P物体静止，Q物体以P物体碰撞前的速度v离开，已知P与Q的质量相等，弹簧质量忽略不计，那么当弹簧被压缩至最短时，下列的结论中正确的是( )
基础对点练
A.P的速度恰好为零 B.P与Q具有相同速度
C.Q刚开始运动 D.Q的速度等于v
C
2.如图所示，将质量分别为mA＝1 kg、mB＝3 kg的A、B两个物体放在光滑的水平面上，物体B处于静止状态，B的左端与一轻弹簧相连接。现在给物体A一水平向右的初速度v0＝4 m/s。则下列说法正确的是( )
A.弹簧压缩到最短时，A、B两物体的速度大小均为0
B.弹簧压缩到最短时，A物体的速度为2 m/s
C.整个过程中弹簧储存的最大弹性势能为6 J
D.整个过程中A、B系统的最小动能为6 J
ACD
3.(多选)(2024·四川成都高二月考)如图所示，三小球a、b、c的质量都是m，都放于光滑的水平面上，小球b、c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，碰后与小球b粘在一起运动。在整个运动过程中，下列说法中正确的是( )
A.三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械
能不守恒
B.三球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械
能也守恒
C.当小球b、c速度相等时，弹簧弹性势能最大
D.当弹簧第一次恢复原长时，小球c的动能一定最大，小球b的动能一定不为零
BD
题组二 “滑块—光滑斜(曲)面”模型
4.(多选)如图所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为θ。一个质量为m的小物块从斜面底端以初速度v0沿斜面向上开始运动。当小物块沿斜面向上运动到最高点时(未从斜面顶端冲出)，速度大小为v，距地面高度为h，重力加速度为g，则下列关系式中正确的是( )
C
BC
6.(多选)(2024·四川攀枝花高二期末)如图所示，质量为2m的带有四分之一光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，一质量为m的小球以水平速度v冲上小车，刚好到达圆弧轨道最高点后又返回小车的左端。已知重力加速度为g，在这过程中，下列说法中正确的是( )
D
题组三 “滑块—木板”模型
7.如图所示，质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为( )
C
8.如图(a)，一长木板静止于光滑水平桌面上，t＝0时，小物块以速度v0滑到长木板上，图(b)为物块与长木板运动的v－t图像，图中t1、v0、v1已知，重力加速度大小为g。由此可求得( )
A.木板的长度
B.物块与木板的质量
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从t＝0开始到t1时刻，木板获得的动能
BD
9.(多选)(2024·山东临沂高二月考)如图所示，在光滑的水平面上放有两个小球A和B，两者的质量关系为mA＞mB，B球上固定一轻质弹簧。A球以速度v去碰撞静止的B球，则( )
综合提升练
10.如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端(B、C可视为质点)，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg，A与B间的动摩擦因数为μ＝0.5；开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)并粘在一起，经过一段时间，B刚好滑至A的右端而没掉下来。求：
(1)A、C碰撞后A的速度大小；
(2)长木板A的长度。(g＝10 m/s2)
答案 (1)2.5 m/s (2)0.5 m
培优加强练
