2025年浙江省中考数学一轮复习专题检测 专题29 尺规作图与定义、命题、定理（含解析）

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专题29 尺规作图与定义、命题、定理
一．选择题
1．（2024 恩施市模拟）下列语句中，不是命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等 B．若2a＝4，则a＝2
C．过一点作已知直线的平行线 D．同角的余角相等
2．（2024 芙蓉区校级模拟）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
3．（2024 北票市三模）下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若|a|＝|b|，则a＝b；④若x＞y，则a2x＞a2y．其中是真命题的是（　　）
A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
4．（2024 珠海校级一模）下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数
5．（2024 吴兴区二模）在平面直角坐标系中有A（a，b）与B（b，a）两点（a、b≠0），关于过A、B两点的直线l与二次函数y＝ax2+bx+1图象的交点个数判定，哪项为真命题（　　）
A．如果b＞0，那么一定有两交点 B．只有b＜0，才一定有两交点
C．如果a＜0，那么一定有两交点 D．只有a＞0，才一定有两交点
6．（2024 平湖市模拟）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 天津）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．（2024 眉山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
9．（2024 金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024 普陀区二模）在△ABC中，只用无刻度直尺和圆规比较∠B与∠C的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法：
方法一：作△ABC的高AD和角平分线AE，若E点在线段BD上，则说明∠B＜∠C．
方法二：作BC边中垂线MN，若MN与AB边相交（不包括A点），则说明∠B＜∠C．
下列说法正确的是（　　）
A．方法一可行，方法二不可行 B．方法二可行，方法一不可行
C．两种方法都可行 D．两种方法都不可行
11．（2024 龙湾区二模）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交BC，AB于点D，M，连结AD．若AC＝4，CD＝3，AD＝5，则AB的长为（　　）
A． B． C．9 D．10
12．（2024 舟山三模）利用尺规作图在一个矩形内作菱形ABCD，则下列作法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2024 拱墅区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，点F．作直线EF，分别交AB，BC于点G，H，连结DG，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
二．填空题
14．（2025 惠山区一模）命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是 　 　 命题．
15．（2025 格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　 　 ．
16．（2024 乐山模拟）命题“等角的余角相等”的逆命题是　 　 ，这是一个　 　 命题．（填“真”或“假”）
17．（2024 白山二模）用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是 　 　 ．
18．（2024 临安区二模）关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有以下命题：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若该方程的两根为﹣3和1，则3a+c＝0；
③若上述方程有两个相等的实数根，则ax2+bx+c＝﹣1必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根．
其中真命题是 　 　 .（只需填写序号）
19．（2024 拱墅区一模）如图，AB∥CD．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，点F；再分别以点E，点F为圆心，大于为半径作弧，两圆弧交于点G；连接AG并延长交CD于点H，若∠AHD＝115°，则∠C＝　 　 °．
20．（2025 锦江区模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线CO，交直线MN于点P，连接BP．若∠BAC＝110°，∠ABP＝7°，则∠PBC＝　 　 ．
三．解答题
21．（2024 广西）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
22．（2024 绍兴一模）图1，图2，图3均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结BP，使∠ABP＝45°．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结PQ，使直线PQ⊥AB．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结PQ交线段AB于点C，使AC＝3BC．
23．（2024 普陀区二模）已知平行四边形ABCD，观察如图所示的尺规作图痕迹．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连结AE，若AE＝6，BF＝8，求菱形ABEF的周长．
24．（2024 定海区三模）阅读理解：
我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．
化简：．
解：由题意可知隐含条件1﹣5a≥0，解得：，
∴1﹣a＞0，
∴．
启发应用：
（1）按照上面的解法，化简：；
类比迁移：
（2）已知△ABC的三边长分别为，，，请求出△ABC的周长．（用含有x、y的代数式表示，结果要求化简）
拓展延伸：
（3）若，请直接写出x的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 恩施市模拟）下列语句中，不是命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角相等 B．若2a＝4，则a＝2
C．过一点作已知直线的平行线 D．同角的余角相等
【点拨】根据命题的定义作答．
【解析】解：根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，
而C属于作图语言，不是命题．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”．注意，作图语言不是命题．
2．（2024 芙蓉区校级模拟）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　）
A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45°
【点拨】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【解析】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，
应先假设两个锐角都大于45°．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（2024 北票市三模）下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若|a|＝|b|，则a＝b；④若x＞y，则a2x＞a2y．其中是真命题的是（　　）
A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
【点拨】根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可．
【解析】解：对顶角相等，故①为真命题；
同位角相等，两直线平行，故②为真命题；
若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故③为假命题；
若x＞y，当a≠0时，则a2x＞a2y，故④为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．
4．（2024 珠海校级一模）下列命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等
C．等边三角形是锐角三角形 D．如果两个实数的积是正数，那么它们都是正数
【点拨】利用全等三角形的性质、实数的性质、等边三角形的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、逆命题为如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立，不符合题意；
C、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；
D、逆命题为如果两个数都是正数，那么它们的积也是正数，成立，符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了命题与定理，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
5．（2024 吴兴区二模）在平面直角坐标系中有A（a，b）与B（b，a）两点（a、b≠0），关于过A、B两点的直线l与二次函数y＝ax2+bx+1图象的交点个数判定，哪项为真命题（　　）
A．如果b＞0，那么一定有两交点 B．只有b＜0，才一定有两交点
C．如果a＜0，那么一定有两交点 D．只有a＞0，才一定有两交点
【点拨】根据点A和点B的坐标，求出直线l的表达式，联立直线l与二次函数表达式，根据根的判别式求出一定有两个交点时必须满足条件b＞0或a＜0，然后分a+b＝1和a+b≠1两种情况进行解答即可．
【解析】解：设直线l的表达式为：y＝kx+m，
将点A，B的坐标代入表达式得：
，
解得：k＝﹣1，m＝a+b，
∴直线l的表达式为：y＝﹣x+a+b，
联立二次函数表达式得：
﹣x+a+b＝ax2+bx+1，
整理得：ax2+（b+1）x+1﹣a﹣b＝0，
∴Δ＝（b+1）2﹣4a（1﹣a﹣b）＝4a2+4ab+b2﹣4a+2b+1＝（2a+b﹣1）2+4b＝（b+2a+1）2﹣8a，
要使Δ＞0恒成立，∴b＞0或a＜0，
又二次函数y＝ax2+bx+1的图象与y轴的交点坐标为（0，1），直线l：y＝﹣x+a+b与y轴的交点坐标为（0，a+b），
∴当a+b≠1时，满足条件b＞0或a＜0，则直线l与二次函数y＝ax2+bx+1的图象一定有两个交点，
当a+b＝1时，直线l与二次函数y＝ax2+bx+1的图象一定有一个定交点（0，1），
∵a+b＝1，∴b＝1﹣a，当a＞0时，b＜1，当a＜0时，b＞1，
若a＜0，b＞1，则直线l与二次函数y＝ax2+bx+1的图象一定有两个交点，
若a＞0，b＜1，此时必须满足条件0＜b＜1，直线l与二次函数y＝ax2+bx+1的图象才一定有两个交点，
若此时b＜0，则直线l与二次函数y＝ax2+bx+1的图象只有一个交点，即为（0，1），
∴只有a＜0，才一定有两交点．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握根的判别式是解题的基础，确定a+b＝1时的取值情况是解题的关键和难点．
6．（2024 平湖市模拟）用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意．
【解析】解：A．如图，
由作图可知，OA＝OC，AB＝BC，
又∵OB＝OB，
∴△OAB≌△OCB（SSS），
∴∠AOB＝∠COB，
∴OB平分∠AOC，
故选项A是在作角平分线，不符合题意；
B．如图，
由作图得，∠AOB＝∠MBC，BO＝BC，
∴BCAO，∠BOC＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴OC 平分∠AOB，
故选项B是在作角平分线，不符合题意；
C．如图，
由作图知，点P是的中点，
∴，
∴∠NAP＝∠MAP，
∴AP平分∠MAN，
故选项C是在作角平分线，不符合题意；
D．如图，
由作图知，AC与AB不一定相等，CP＝BP，AP＝AP，
∴△ACP与△ABP不全等，
∴∠CAP≠∠BAP，
∴AP不平分∠BAC，
∴AP 不是∠BAC 的平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答．
7．（2024 天津）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【点拨】由直角三角形两锐角互余可求出∠BAC＝50°，由作图得∠BAD＝25°，由三角形的外角的性质可得∠ADC＝65°，故可得答案．
【解析】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
由作图知，AP平分∠BAC，
∴，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝40°+25°＝65°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
8．（2024 眉山）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解析】解：由作图知，EF垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴△BCD的周长＝6+4＝10，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（2024 金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可．
【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上．
故选：C．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2024 普陀区二模）在△ABC中，只用无刻度直尺和圆规比较∠B与∠C的大小．除了“叠合法”外，嘉琪又想出两种方法：
方法一：作△ABC的高AD和角平分线AE，若E点在线段BD上，则说明∠B＜∠C．
方法二：作BC边中垂线MN，若MN与AB边相交（不包括A点），则说明∠B＜∠C．
下列说法正确的是（　　）
A．方法一可行，方法二不可行 B．方法二可行，方法一不可行
C．两种方法都可行 D．两种方法都不可行
【点拨】分别画出图形，结合角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理进行判断即可得出答案．
【解析】解：方法一：如图1所示，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CAD+∠C＝90°，∠DAB+∠B＝90°，
∵∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE，∠DAB＝∠BAE+∠DAE，
∴∠C＝90°﹣∠CAE+∠DAE，∠B＝90°﹣∠BAE﹣∠DAE，
∴∠B＜∠C；
∵点D与点E可能重合，线段包含端点，
∴方法一不可行；
方法二：如图2所示，
∵MN垂直平分BC，
∴CN＝BN，
∴∠B＝∠NCB，
∵∠C＞∠NCB，
∴∠C＞∠B；
综上所述，方法一不可行，方法二可行；
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂线的定义、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握角平分线与垂线的定义是解答本题的关键．
11．（2024 龙湾区二模）如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交BC，AB于点D，M，连结AD．若AC＝4，CD＝3，AD＝5，则AB的长为（　　）
A． B． C．9 D．10
【点拨】根据勾股定理得到逆定理得到∠C＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：由作图知，直线EF垂直平分AB，
∴AD＝BD，DM⊥AB，BM＝AM，
∵AC2+CD2＝42+32＝52＝AD2，
∴∠C＝90°，
∵∠BMD＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDM∽△BCA，
∴，
∴，
∴AB＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
12．（2024 舟山三模）利用尺规作图在一个矩形内作菱形ABCD，则下列作法中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据菱形的判定和作图痕迹解答即可．
【解析】解：A、由作图可知，AC⊥BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
B、由作图可知AD＝DC，即邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
C、由作图可知AC⊥BD，对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；
D、由作图可知∠DAC＝∠CAB，∠DCA＝∠ACB，对角线AC平分对角，可以得出是菱形，错误；
故选：D．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
13．（2024 拱墅区二模）如图，BD是△ABC的角平分线，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径在BD两侧作圆弧，交于点E，点F．作直线EF，分别交AB，BC于点G，H，连结DG，DH．设△ADG的面积为S1，四边形BGDH的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
【点拨】先判断是菱形，再根据相似三角形的性质及比例的性质．
【解析】解：由作图得：EF垂直平分BD，
∴BG＝DG，BH＝DH，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴BG＝BH，
∴BG＝DG＝BH＝DH，
∴四边形BHDG是菱形，
∴DG∥BC，DH∥AB，
∴△ADG∽△ACB，△CDH∽△CAB，
设CH＝2a，△ABC的面积为S，△CDH的面积为S3，
则DH＝DG＝BH＝3a，
∴S1＝S，S3＝S，
∴S2＝S﹣S1﹣S3＝S，
∴S1：S2＝S：S＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理和性质、角平分线的性质，及相似三角形的性质是解题的关键．
二．填空题
14．（2025 惠山区一模）命题“如果a＜0，b＜0，那么ab＞0”的逆命题是 　假　 命题．
【点拨】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而利用举反例判断命题正确性即可．
【解析】解：“若a＜0，b＜0，则ab＞0”的逆命题是“若ab＞0，则a＜0，b＜0”，是一个假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查命题与定理，正确写出原命题的逆命题是解题关键．
15．（2025 格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ．
【点拨】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．
【解析】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了把一个命题写成“如果 那么 ”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
16．（2024 乐山模拟）命题“等角的余角相等”的逆命题是　如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等　 ，这是一个　真　 命题．（填“真”或“假”）
【点拨】先把等角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再判断其真假．
【解析】解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
17．（2024 白山二模）用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是 　﹣1（答案不唯一）　 ．
【点拨】根据实数的大小比较法则解答即可．
【解析】解：当a＝﹣1时，2a＝﹣2，
则2a＜a，
可以说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是反证法以及假命题的证明，要证明一个命题是真命题，需要严格的证明过程，而要证明一个命题是假命题，只需要举一个反例即可．
18．（2024 临安区二模）关于一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），有以下命题：
①若a﹣b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若该方程的两根为﹣3和1，则3a+c＝0；
③若上述方程有两个相等的实数根，则ax2+bx+c＝﹣1必有实数根；
④若r是该方程的一个根，则一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根．
其中真命题是 　①②④　 .（只需填写序号）
【点拨】由a﹣b+c＝0得b＝a+c，即得b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，判断①是真命题；由该方程的两根为﹣3和1得﹣3×1＝，c＝﹣3a，即得3a+c＝0，判断②是真命题；由ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根知b2﹣4ac＝0，而ax2+bx+c+1＝0的判别式：b2﹣4a×（c+1）＝b2﹣4ac+4a＝﹣4a，因a的符号不确定，故方程ax2+bx+c＝﹣1根的情况不确定，判断③是假命题；由r是该方程的一个根得ar2+br+c＝0，又r≠0，即可得a+b +c （）2＝0，是cx2+bx+a＝0的一个根，判断④是真命题．
【解析】解：若a﹣b+c＝0，则b＝a+c，
∴b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，故①是真命题；
若该方程的两根为﹣3和1，则﹣3×1＝，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0，故②是真命题；
若ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣4ac＝0，
∴ax2+bx+c+1＝0的判别式：b2﹣4a×（c+1）＝b2﹣4ac﹣4a＝﹣4a，
∵a的符号不确定，
∴方程ax2+bx+c＝﹣1根的情况不确定，故③是假命题；
若r是该方程的一个根，则ar2+br+c＝0，
∵ac≠0，
∴r≠0，
∴＝0，
∴a+b +c （）2＝0，
∴是cx2+bx+a＝0的一个根，故④是真命题；
∴真命题有：①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．
19．（2024 拱墅区一模）如图，AB∥CD．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，点F；再分别以点E，点F为圆心，大于为半径作弧，两圆弧交于点G；连接AG并延长交CD于点H，若∠AHD＝115°，则∠C＝　50　 °．
【点拨】由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线，则∠BAH＝∠CAH，根据平行线的性质可得∠BAH＝∠CAH＝180°﹣115°＝65°，再由三角形的外角性质可得∠C＝∠AHD﹣∠CAH＝50°．
【解析】解：由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵AB∥CD，∠AHD＝115°，
∴∠BAH＝180°﹣115°＝65°，
∴∠CAH＝65°，
∴∠C＝∠AHD﹣∠CAH＝50°．
故答案为：50．
【点睛】本题考查作图—基本作图、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的作图方法是解答本题的关键．
20．（2025 锦江区模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤操作：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点E，F；③分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点O；④作射线CO，交直线MN于点P，连接BP．若∠BAC＝110°，∠ABP＝7°，则∠PBC＝　21°　 ．
【点拨】由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，CP为∠ACB的平分线，可得PB＝PC，∠ACP＝∠BCP，即∠PBC＝∠BCP＝∠ACP，结合三角形内角和定理可得∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠BCP+∠ACP＝180°，进而可得答案．
【解析】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，CP为∠ACB的平分线，
∴PB＝PC，∠ACP＝∠BCP，
∴∠PBC＝∠BCP＝∠ACP．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
即∠BAC+∠ABP+∠PBC+∠BCP+∠ACP＝180°，
∴110°+7°+3∠PBC＝180°，
∴∠PBC＝21°．
故答案为：21°．
【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理是解答本题的关键．
三．解答题
21．（2024 广西）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
【点拨】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△BDE是等腰直角三角形，可得结论．
【解析】解：（1）图形如图所示：
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠BEA＝90°，
∵BD＝DA，
∴DE＝DB＝DA＝AB＝4，
∴BE＝BD＝4．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22．（2024 绍兴一模）图1，图2，图3均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结BP，使∠ABP＝45°．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结PQ，使直线PQ⊥AB．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结PQ交线段AB于点C，使AC＝3BC．
【点拨】（1）以AB为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为所求的格点P．
（2）结合垂直的定义利用网格画图即可．
（3）取格点P，Q，使AP＝3BQ，且AP∥BQ，则P，Q即为所求．
【解析】解：（1）如图1，P'和P''均满足题意．
（2）如图2，P，Q即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3，取格点P，Q，使AP＝3BQ，且AP∥BQ，
此时△APC∽△BQC，
∴AC：BC＝AP：BQ＝3：1，
即AC＝3BC，
则P，Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2024 普陀区二模）已知平行四边形ABCD，观察如图所示的尺规作图痕迹．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连结AE，若AE＝6，BF＝8，求菱形ABEF的周长．
【点拨】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明是菱形；
（2）先根据勾股定理求出边长，再求出周长．
【解析】（1）证明：设BF交AE于点O，
在平行四边形ABCD中，有AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBE，
由作图得：BE＝BA，BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠EBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝BE，
∴ ABEF为菱形；
（2）证明：∵ ABEF为菱形；
∴AO＝＝3，BO＝＝4，∠AOB＝90°，
AB＝BE＝EF＝AF，
∴AB＝＝5，
∴菱形ABEF的周长为：4×5＝20．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握菱形的判定定理和性质定理和勾股定理是解题的关键．
24．（2024 定海区三模）阅读理解：
我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．
化简：．
解：由题意可知隐含条件1﹣5a≥0，解得：，
∴1﹣a＞0，
∴．
启发应用：
（1）按照上面的解法，化简：；
类比迁移：
（2）已知△ABC的三边长分别为，，，请求出△ABC的周长．（用含有x、y的代数式表示，结果要求化简）
拓展延伸：
（3）若，请直接写出x的取值范围．
【点拨】（1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）先根据二次根式有意义的条件求出x、y的范围，再根据二次根式的性质化简即可；
（3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：（1）由题意可知隐含条件3﹣m≥0，解得：m≤3，
∴m﹣5＜0，
∴，
（2）由题意可知隐含条件x≥0，y﹣x≥0，解得：x≥0，y≥x，
∴y≥x≥0，
∴x+y≥0，
∴，
∴△ABC的周长为x+2y；
（3）由题意可知隐含条件x﹣4≥0，解得：x≥4，
当4≤x≤7时，x﹣7≤0，
则，符合题意，
当x＞7时，x﹣7＞0，
则，不符合题意，
综上所述，x的取值范围为4≤x≤7．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键．
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