二次函数检测卷（含解析）-2025年中考数学专项复习

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二次函数检测卷-2025年中考数学专项复习
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为4
3．当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．设二次函数为实数）的图象过点，，设．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④抛物线经过点．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．已知二次函数，当时，函数值 ．
8．二次函数的图象与轴的交点坐标为
9．已知函数，其中为常数．若该函数的图像显示随着的增大而增大，则的取值范围为 ．
10．将抛物线先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ．
11．如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
12．如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②时，y随x的增大而增大；③对于任意实数m，总有．其中正确的结论有 （直接填写序号）．
13．如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为 ．
14．抛物线（，，是常数，）经过点，下列五个结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②若，则抛物线经过两个定点；
③若，则抛物线与轴有且只有一个公共点；
④若点，，在抛物线上，且，则；
⑤若，关于的不等式的解集恰好有5个整数解，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题
15．已知二次函数．
(1)求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
(2)若该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，且，求证：．
16．已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点．
(1)求这个二次函数图象的对称轴；
(2)将这个二次函数图象向左平移个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求t的值．
17．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求点，，的坐标，
(2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．某商城将进价2600元的某款冰箱以3000元的价格售出，平均每天能售出8台，在过年时举办家电降价大促销活动，根据以往销售数据发现，这种品牌的冰箱的售价每降低50元，平均每天能多售4台．
(1)设每台冰箱降价x元，每台冰箱的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)作为商家，想通过促销活动达到日利润最大化的目的，请问商家的想法能实现吗？若能实现，请帮商家确定最终售价，并求出最大利润；若不能实现，请说明理由．
19．如图，抛物线与直线相交于点和点B．
(1)求m和b的值；
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
(3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围．
20．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为元，这款“中国结”的批发单价（元）与一次批发量（为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付元，求此次批发量；
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”（）件，小黄获得的利润为元，当为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少？
21．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
《二次函数检测卷-2025年中考数学专项复习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C A A C D
1．C
【分析】本题考查了二次函数的性质．顶点式顶点坐标是，对称轴是直线；已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标是，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的性质即可进行解答．
【详解】解：A、∵，∴函数开口向上，故A不正确，不符合题意．
B、∵，
∴对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；
C、∵函数开口向上，对称轴是直线，
∴当时，随的增大而减小，故C正确，符合题意；
D、∵，∴顶点坐标为，
∴函数的最大值为2，故D不正确，不符合题意．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键．
先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解．
【详解】解：∵，
∴当时，取最小值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8，
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解不等式，先根据题意，用分别表示出和，再根据得出和之间的关系，最后根据所给选项依次进行分析即可，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数为实数）的图象过点，，
∴，，
∵，
∴，
即，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
故选：．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，
则：O为原点，，，
设函数解析式为，把A点坐标代入得，
∴抛物线解析式为，
当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，
把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
∴此时的水面宽度为，
故选：C．
6．D
【分析】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为，故④正确；
综上分析可知：正确的有4个．
故选：D．
7．0
【分析】本题考查了二次函数的性质，把直接代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，把代入，
得，
故答案为：0
8．
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，令，从而，故图象与轴的交点坐标为，进而可以得解．
【详解】解：由题意，令，
．
图象与轴的交点坐标为．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数解不等式，将原函数分左右两端，根据二次函数的性质解答即可，熟练利用二次函数解不等式是解题的关键．
【详解】解：左段函数为，
该函数开口向下，对称轴为直线，
要使该函数的图像显示随着的增大而增大，
则，
右段函数为，
该函数开口向上，对称轴为直线，
要使该函数的图像显示随着的增大而增大，
则，解得，
当时，左段函数值要小于等于右段函数，
即，
整理可得，
令，
解得，，
根据二次函数的图象可得的解集为或（舍去），
综上，，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据“左加右减，上加下减”可进行求解即可．
【详解】解：由题意可得平移后的抛物线解析式为；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
12．①③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线开口向上，可知；根据对称轴为直线，可求出；由抛物线的对称性，可求出与x轴另一个交点为，代入抛物线解析式，结合，从而可判断①；时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，即可判断②；根据题意可求出，故③正确．
【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向上，则，对称轴为直线，
则，
∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
∴另一个交点为，
∴．
∵，
∴，
∴，所以①正确；
②当时，图象在对称轴左侧，开口向上，随的增大而减少，所以②错误；
③对于任意实数，
总有
，所以③正确；
综上所述，正确的结论有：①③．
故答案为：①③．
13．2或4
【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：联立，得：
，
∵抛物线a和线段b有两个交点，
∴，
解得：．
当时，．
将代入抛物线解析式得：，
．
同理，当时，，
∴．
∵m为整数，
∴m的值为2或3或4．
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求；
当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求；
当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求．
∴m的值为2或4．
故答案为：2或4
14．②③⑤
【分析】本题考查二次函数图像及性质，熟练掌握是解题的关键．
根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：①：当时，，
则抛物线经过点，
又抛物线经过点，
抛物线的对称轴是直线，故①错误；
②：当时，抛物线经过点，点，故②正确；
③：若，即抛物线，将点带入抛物线得：，
，
则，
则抛物线与轴有且只有一个公共点，故③正确；
④：如图所示，抛物线的对称轴是直线，
又，
抛物线开口向上，
或者，故④错误；
⑤：抛物线的对称轴是直线，，
，
若关于的不等式的解集恰好有5个整数解，即，，，，；
则当时，，当时，，即，
解得，故⑤正确；
故答案为②③⑤．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．
（1）当时，，求出一元二次方程根的判别式，由此即可得证；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据可得的值，代入化简即可得证．
【详解】（1）证明：当时，，
这个关于的一元二次方程根的判别式，
∵，，即，
∴根的判别式，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴该函数的图象与轴总有两个公共点．
（2）证明：∵该函数图象与轴的两个交点坐标分别为、，
∴是关于的一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
16．(1)直线
(2)或
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的平移、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）利用二次函数的对称轴公式即可求解；
（2）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点，得出，解出，利用二次函数平移规律得到新的二次函数为，再分情况讨论二次函数取得最小值时的值，结合最小值即可求出t的值．
【详解】（1）解：二次函数，
二次函数图象的对称轴为直线，
这个二次函数图象的对称轴为直线．
（2）解：二次函数的图象与x轴只有一个公共点，
，
解得：，（舍去），
二次函数，
二次函数图象向左平移个单位长度，
新的二次函数为，
新的二次函数图象的对称轴为直线，
，
，
二次函数的对称轴在的范围内，
在取得最大值，在或取得最小值，
①若，即时，在取得最小值，
此时，
解得：，（舍去），
的值为；
②若，即时，在取得最小值，
此时，
解得：，（舍去），
的值为；
综上所述，t的值为或．
17．(1)，，
(2)存在，或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）分别令，，利用解析式解答即可；
（2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可．
【详解】（1）解：令，得，
则，
令，得，
解得：，，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，过点作所在直线于点，
设，则，
则，
则，
同理当点在抛物线上段时，，
当点在抛物线上点右侧时，，
综上，，
则，
∴，
即，
当时，解得，，
分别代入，
得，，
即点的坐标为或；
当时，由，无解；
综上所述，点的坐标为或．
18．(1)
(2)当售价为2850元时，日利润最大，最大利润为5000元
【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
（1）根据“将进价2600元的某款冰箱以3000元的价格售出，售价每降低50元，平均每天能多售4台”列出关系式进行求解即可；
（2）设日利润为W元，列出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得；
∴．
（2）解：能实现，设日利润为W元，则，
，，
∴W有最大值，
，
将，代入，
售价为：（元），
答：当售价为2850元时，日利润最大，最大利润为5000元．
19．(1)，
(2)点的坐标为，不等式的解集为或
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得；
（2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得；
（3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得：，
解得，
将点代入直线得：，
解得．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为，
联立，解得或，
所以点的坐标为，
不等式表示的是抛物线位于直线的上方，
则结合函数图象可知，不等式的解集或．
（3）解：由题意得：，
∵，，
∴，点之间的水平距离为3，
抛物线化成顶点式为的顶点坐标为，
画出图象如下：
当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点，
则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点，
当时，线段与抛物线只有一个公共点，
当时，线段与抛物线有两个公共点，
当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点，
当时，线段与抛物线没有公共点，
综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为．
20．(1)
(2)件
(3)当时，小黄获得的利润最大，最大利润为元
【分析】本题主要涉及一次函数的求解、一元二次方程的应用以及二次函数的最大值问题，解题的关键是通过给定的函数图像和条件，逐步求解函数关系式、批发量以及最大利润．
（1）根据图像中的两点和，利用待定系数法，求解一次函数的系数和即可；
（2）根据支付金额位于元和元之间，确定批发量位于与之间，利用函数关系式，确定，通过方程求解；
（3）利润等于收入减去成本，当时，，通过二次函数的顶点式找到的最大值；当时，，利润随增加而增加，求出的最大值；和的最大值作比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：设当时，与的函数关系式为：，
把点和代入解析式得：，，
解得：，，
当时，与的函数关系式为：；
（2）由图可知，当时，所付款为（元），
当时，所付款为（元），
，
购买数量位于与之间，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：此次批发量为件；
（3）①当时，，
，
当时，有最大值，最大值为元；
②当时，批发单价固定，批发量越大，则利润越大，
当时，利润最大，最大利润为元；
综上所述，，
当时，最大，最大利润为元．
21．(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案；
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为；
（3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键．
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