一次函数检测卷（含解析）-2025年中考数学专项复习

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一次函数检测卷-2025年中考数学专项复习
一、单选题
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．直线的图象如图所示，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
4．一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，两车同时出发并以各自的速度匀速行驶，乙车中途因故障停下来修理，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．下列说法错误的是（ ）
A．甲车的速度为 B．B、C两地之间的距离；
C．后乙追上甲 D．当两车相距40千米时，甲车行驶了或．
5．如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（ ）
A．5 B． C． D．3
二、填空题
7．将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的．
8．若函数是正比例函数，则 ．
9．一次函数与的图象的交点的横坐标是2，则方程组的解为 ．
10．如图，把放在直角坐标系中，其中，，点的坐标分别是和，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，点，点．点是的中点，于点，交于点，点的横坐标是 ．
12．某快递公司收费标准如下：快递费一般分首重和续重计算．快递物品首重不超过1千克收费10元，续重超过部分每千克收费8元．设快递物品的重量为千克（），那么快递费（元）关于物品重量（千克）的函数解析式为 ．
13．虹吸现象描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸现象的原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于虹吸时间x（单位：）的函数图象，如图2所示．当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为 ．

14．在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形，正方形…，正方形，使得点、、、…、在直线上，点、、、…、在轴正半轴上，则点的横坐标是 ．
三、解答题
15．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为，行驶时间为，则y与x的函数图象如图所示．
(1)分别求出、关于x的函数关系式；
(2)求乙到达A地时，甲距B地的距离；
(3)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？
16．某商场以每件42元的价格购进一批服装，由试销知，每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系如图所示：
(1)求每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式；（毛利润销售总额进货成本）
(2)受市场影响，服装的定价不能超过52元，则每件服装的销售价为多少元时，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
17．如图1，甲、乙两人在一条笔直的公路上同向匀速而行，甲从A点开始追赶乙，甲超过乙之前，甲、乙两人之间的距离与追赶的时间的关系如图2所示，已知乙的速度为．
(1)求甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式；
(2)甲从A点追赶乙，经过，求甲前行了多少米？
(3)甲追赶后，甲、乙相距多少米？若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要多少秒？
18．模型建立：
如图1，在等腰直角中，，经过点，
说明的理由．
模型应用：
如图2，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为顶点在第二象限作等腰直角，求出直线的函数关系式．
拓展应用：
如图3，在长方形中，点，点是线段上的一动点，，已知点在第一象限，是直线上的一点，若是等腰直角三角形，且，求点的坐标，
19．如图所示，根据图中信息．
(1)点P的坐标为 ．
(2)当时，x的取值范围是多少？
(3)求．
20．如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E．
(1)直接写出A、C的坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)若与的面积相等，求点E的坐标．
21．【概念学习】
对于平面直角坐标系中的图形K和图形W，给出如下定义：R，S分别为图形K和图形W上任意一点，将R，S两点间距离的最小值称为图形K和图形W之间的“关联距离”，记作．例如，如图1，点与y轴之间的“关联距离”．
【理解概念】
（1）如图1，点在边长为5的正方形内，则d（T，正方形）=________；
【深入探索】
（2）如图2，一次函数图象与y轴交于点E，与x轴交于点F，若点和一次函数的图象之间的“关联距离”，求m的值；
（3）如图3，在等边中，点A的坐标是，点B，C在y轴上，点H是x轴上一点，若，请直接写出点H的坐标．
【拓展延伸】
（4）在中，，，，当时，对于每一个n，若和一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，请直接写出k的取值范围．
《一次函数检测卷-2025年中考数学专项复习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B D D B
1．C
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：A．函数其形式为（为常数，） ，不符合一次函数（，为常数，）的形式，故该选项不符合题意；
B．函数是其自变量的最高次数是 ，不符合一次函数自变量最高次数为的要求，故该选项不符合题意；
C．函数可变形为 ，符合一次函数（，，）的形式，故该选项符合题意；
D．函数是常数函数，无论取何值，的值恒为 ，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可．
【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，，
∴当时，的取值范围是；
故选A．
3．B
【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵在的图象上，
∴方程的解是
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系．A、B、根据题意，结合图象列式计算即可；C、设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程=乙行驶的路程，列出方程解答便可；D、利用待定系数法分别求出时，，时函数关系式，再列方程解答即可．
【详解】解：甲车的速度为，故选项A正确，不符合题意；
乙前面的速度为：，
乙后来的速度为：，
，
则B、C两地之间的距离为，故选项B正确，不符合题意；
设乙t小时追上甲，
根据题意得，
解得，
则出发后乙追上甲，故选项C正确，不符合题意；
当时，两车距离小于40，
①当时，
设甲距离A地的距离与出发时间之间的关系式为，
代入可得，
，
，解得；
②当时，
由（1）可得，A、B两地之间的距离为：，
设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为，
代入和，
得，解得：，
，
解方程得（不合题意，舍去），
解方程得；
③当时，
解方程得，
当两车相距40千米时，甲车行驶了或或，故选项D错误，不符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键．
根据正比例函数图象的性质即可求解．
【详解】解：∵图象在第二、四象限，
∴，
∵，图象在第一、三象限，，，
∵直线在第一、三象限越陡，则越大，
∴，
∴，
故选：．
6．B
【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，
∴，，
解得：，
∴反比例函数为：，正比例函数为，
∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，
∴，即，一次函数为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，，
∴，
如图，过作轴于，作轴于，过作轴于，
∴五边形的面积为，
∴四边形的面积为；
故选：B．
7．3
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，
∴平移后的直线解析式为，
∴，
∴，
故答案为：3．
8．2
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义是解答此题的关键．
一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，据此解答即可.
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴，且，
∴．
故答案为：2．
9．
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，依据题意，两个函数图象的交点横坐标为2，则可得纵坐标为2，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
【详解】解：由题意，∵一次函数与的图象的交点的横坐标是2，
∴交点的纵坐标为，
则方程组的解为，
故答案为：．
10．12
【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，二次根式的乘法运算，解决本题的关键是明确线段扫过的面积的计算．根据题意，线段扫过的面积的四边形面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
【详解】解：如图所示．
点的坐标分别是和，
∴．
，，
∴由勾股定理可得：．
∴．
点在直线上，
，解得．
即．
∴．
．
即线段扫过的面积为12．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数解析式，过点作于点F，先证明，根据，得到，利用正切的定义结合点是的中点，求出，设，求出直线的解析式，代入直线的解析式，即可求解．
【详解】解：过点作于点F，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，点．点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，则
，
解得：，
∴直线的解析式为，
将代入，
则，
解得：，
∴点的横坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查一次函数的应用．根据题意，可以写出y与x之间的函数关系式．
【详解】解：当时，，
∴y与x之间的函数关系式为：．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：当时，，
∵开始时甲容器液面高，
∴，
又∵时，，
∴设，
将代入得，解得，
∴，
∵甲容器向乙容器注水，始终有，
∴，
∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即，
∴，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数的性质，正方形的性质，点坐标规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
首先找到直线与轴的交点，然后根据正方形的性质确定后续点的坐标，最后总结出的坐标规律，即可解答．
【详解】解：令，解得，
，
四边形是正方形，
；
当时，，
，
当时，，
，
，
观察规律发现，，，，，
的横坐标是，
故答案为：．
15．(1)，
(2)
(3)11时或13时
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可．
（2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可．
【详解】（1）解：设，
根据题意，得，
解得，
故；
当时，，
故图象交点的坐标为，
设，根据题意，
得，
解得，
∴，
（2）解：∴，
解得，
∴，
则，
故乙到达A地时，甲距B地的距离为．
（3）解：设经过，甲、乙相距90千米，
①甲乙相遇前，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为11时．
②甲乙相遇后，
根据题意，得则，
解得（小时），此时为13时．
综上：行驶过程中甲、乙二人在11时或13时相距．
16．(1)
(2)每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元
【分析】本题主要考查二次函数的应用，求一次函数解析式，理解题意根据相等关系列出函数关系式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）首先利用待定系数法求出，然后表示出y即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每天的销量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为
根据题意得，
解得
∴
∴；
（2）∵
∴对称轴为直线
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，y随x的增大而增大
∵受市场影响，服装的定价不能超过52元
∴当时，y取得最大值，最大值为
∴每件服装的销售价为52元时，才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是240元．
17．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
（1）先设出函数解析式，然后根据图象中数据，即可求得该函数的解析式；
（2）根据图象中的数据，可以求得甲的速度，然后即可计算出甲从A点追赶乙，经过走的路程；
（3）将代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值，然后根据（2）中甲的速度，可以求出加速后的速度，最后即可计算出提速后甲追上乙还需要多少秒．
【详解】（1）解：设甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为，
∵点，在该函数图象上，
∴，
解得，
即甲、乙两人之间的距离与追赶的时间之间的函数关系式为；
（2）解：甲的速度为：（），
则甲从A点追赶乙，经过，甲走的路程为：（米），
答：甲从A点追赶乙，经过，甲前行了272米；
（3）解：将代入，得，
设甲提速后，追上乙需要m秒，
（秒），
答：甲追赶10s后，甲、乙相距72米，若此时甲速度增加，提速后甲追上乙还需要24秒．
18．（1）见详解（2）（3）或．
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，三角形全等等知识，解决问题的关键是构造全等模型.
（1）由，得，进而得证；
（2）先求出的坐标，过点C作轴于点H，先证明，再求出点C的坐标，进而利用待定系数法求的解析式即可．
（3）作于，于，构造模型，设点，，，得进而得出点．
【详解】解：（1）∵，，
，
，
，
，
，
又，
；
（2）令，则，令，则，
则点A、B的坐标分别为∶、，
过点C作轴于点H，
∵，，
∴
又∵，
∴，
∴，，
则点，
设的解析式为：，
把，代入，
则
解得∶
故直线的表达式为∶
（3）如图3，
作于，于，
设点，
，
，
由上知，，
，
当时，
当时，，，
，
点和重合，
．
综上所述，或．
19．(1)
(2)
(3)4
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形等知识点，掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解答本题的关键．
（1）把代入可计算出m的值，把代入可求出n的值，联立两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标；
（2）观察函数图像得到，当x大于P点的横坐标时，，据此即可解答．
（3）直接根据坐标与图形和三角形面积公式列式计算即可．
【详解】（1）解：把代入中得，解得，
∴，
把代入得，解得，
∴，
联立，解得，
∴；
（2）解：由函数图象可得，当时，；
（3）解：令，则，则，即，
∴，
∴．
20．(1)、
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键．
（1）根据，求解即可；
（2）用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵点E在线段上，
∴点E在第一象限，且，
∴
∴
把代入直线的解析式得：
∴
∴．
21．（1）2；（2）m的值为或；（3），，；（4）且
【分析】（1）根据“关联距离”的定义求解即可；
（2）根据题意得点在直线l即上，过点G作，连接，结合图形，利用勾股定理及等面积法求解即可得出结果；
（3）分三种情况画出图形：当H在右侧时，当H在线段上时，当H在左侧时，作出相应图形求解即可；
（4）根据题意得出直线过定点，作出，确定当时，平移到，然后结合图形即可求解．
【详解】解：（1）与边长为5的正方形的边上的点的最小距离为2，
根据“关联距离”的定义得：d（T，正方形），
故答案为：2；
（2）根据题意得点在直线l即上，
过点G作，连接，如图所示：
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
解得：，
∴；
当时，
解得：
∴，结合图形得：
点与点G关于点C对称，
∴，
∴；
综上可得或，
即m的值为或；
（2）当H在右侧时，如图：
，
，
的坐标是，
的坐标是；
当H在线段上时，过H作于D，如图：
，
，
是等边三角形，，
，
，
的坐标是，
，
的坐标是；
当H在左侧时，如图：
，
，
；
综上所述，H的坐标为或或；
（3）
当时，，
直线过定点，
当时，，，，
当时，，，，
做出相应图形为：
当时，平移到，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
解得，
∴结合图形得，
∴且．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
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