2024-2025学年数学九年级下册苏科版第5-8章阶段测试卷（含解析）

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2024-2025学年数学九年级下册苏科版第5-8章阶段测试卷
一、单选题
1．计算的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．函数的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（ ）
A．54 B．24 C．32 D．
5．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．24
6．下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为的正方形纸片中间剪去一个边长为的正方形纸片，剩下纸片的面积与；
②用长为的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长；
③某种商品的价格为6元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格与．其中变量与之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（ ）
A．① B．② C．③ D．①③
7．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ．
9．已知，则的值为 ．
10．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ．
11．如图，一辆汽车在坡度（即）的斜坡上沿斜坡前进了100米，则该汽车竖直方向升高了 米．
12．2024年12月15日世界羽联巡回赛总决赛在杭州成功举办，江苏籍国羽选手石宇奇获得男单冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．若在男单总决赛中某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线的一部分（如图），其中发球点离地面点的距离是，点与球网的水平距离为，球网的高度为．当对手发球过网后，如果球离地面的高度为时，石宇奇扣球成功，则此时羽毛球飞行到与点的水平距离是 ．
13．为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整数），从中抽取了的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所示的频数直方图（各组只含最小值，不含最大值）．若竞赛成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖励的七年级学生有 人．
14．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ．
15．如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为 ．
三、解答题
16．计算：
17．如图，在中，点D在边上，，与，分别相交于点F，G，．
(1)求证：；
(2)若，，G为的中点，求的长．
18．户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，通过拉绳可控制天幕的开合．幕布宽，于点O，，如果通过拉绳将减少，那么点D下降了多少米？（结果精确到；参考数据：，，）
19．如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．
(1)能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由；
(2)的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值．
20．某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级 劳动积分 人数
A 4
B m
C 24
D 9
E 3
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)统计表中 ，B等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
(2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
(3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
21．已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
(1)求的值．
(2)已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求的值．
22．综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】
如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处．
（1）填空：的长为_____；
【拓展应用】
（2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长；
（3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长．
23．如图1，抛物线经过，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，直线是抛物线的对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接、，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．
《2024-2025学年数学九年级下册苏科版第5-8章阶段测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B C C C C
1．C
【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键．
根据题意可得，，由此代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，，
当时，原分式有意义，
∴的长为，
故选：C ．
3．B
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式写出顶点坐标．根据二次函数的解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【详解】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故选：B
4．C
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
，
与位似，
，，
，
，
，
的面积为18，
面积为32，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可．
【详解】解：设的边长为，则，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
即的边长为18，
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系．根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可．
【详解】解：①由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在内为减小的，但是图象弯曲弧度不对，则不可以利用题图所示的图象表示；
②由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向下，在是增大的，则不可以利用题图所示的图象表示；
③由题意得，
变量y是x的二次函数，函数图象开口向上，以为对称轴，可以利用题图所示的图象表示；
综上，③符合题意，
故选：C．
7．C
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定B正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定C错误；证明，可得，即，再推导可得D结论正确．
【详解】解：，，
，
由作图可知：，为的角平分线，
，故A正确，
，
，
，
，
，
，
，
，故B正确，
，，
，
，即，
整理得：，
，
，
故C错误，
，，
，
，
，
，，，
，故D正确．
故选：．
8．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得到，，由二次函数得到，即可得到答案．
【详解】解：点，都在二次函数．的图象上，
是方程，
，
点，纵坐标相等，
，
即，
点，都在二次函数．的图象上，
，
即，
．
故答案为：．
9．3
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，利用设法，进行计算即可解答．熟练掌握用设法是解题的关键．
【详解】解：设，
则，，，
，
故答案为：3．
10．/
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，取格点F，连接，则四边形是平行四边形，则可证明，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，取格点F，连接，
由网格的特点可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟知坡度的概念是解题的关键．
设汽车竖直方向上升的高度为米，根据坡度的概念用表示出汽车前进的水平宽度，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：设汽车竖直方向上升的高度为米，
∵斜坡的坡度，
∴汽车前进的水平宽度为米，
由勾股定理得：，
解得： （负值舍去），
则汽车竖直方向上升的高度为米，
故答案为：．
12．7
【分析】本题考查二次函数的应用，令，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：根据题意，令，则，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
即此时羽毛球飞行到与点的水平距离是，
故答案为：7．
13．2000
【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，根据频数分布直方图求出调查人数，进而求出七年级学生总人数，最后再求出成绩在90分以上的学生人数即可．
【详解】解：参加竞赛的总人数为：（人）
则七年级学生总人数为：，
∴该校获得奖励的七年级学生有：（人）
故答案为：2000
14．
【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案．
【详解】解：∵是由经过位似变换得到的，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为3，
∴的面积为27．
故答案为：．
15．
【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形的性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长．
【详解】解：如图，延长、交于点G，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，即，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
设，则，，，，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
解得：或（不符合题意，故舍去），
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．．
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可．
【详解】解：
17．(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，由，，所以，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”得到结论；
（2）由，G为的中点，得，而，由相似三角形的性质得，求出长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长是．
18．0.32米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据垂直定义可得：，然后求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
当时，
在中，，
∴，
当时，
在中，，
，
，
点D下降了约0.32米．
19．(1)能，理由见解析
(2)AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为
【分析】先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值．
【详解】（1）解：能围成一个面积为的矩形菜园．
理由：设，则，
根据题意，得，
解得，，
墙的最大长度a为，
，
解得，
，
能围成一个面积为的矩形菜园．
（2）解：设，菜园的面积为，
由题意可得，，
由知：，
当时，该函数取得最大值，此时，
即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为
20．(1)10，72度
(2)840人
(3)
【分析】本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）由D等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可求出m的值，用乘以B等级所占百分比即可求出B等级对应扇形的圆心角的度数；
（2）由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
∴，
B等级对应扇形的圆心角的度数为：．
故答案为：10，；
（2）解：（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有840人；
（3）解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
21．(1)
(2)①有最大值为；②
【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，结合题意得出，计算即可得解；
（2）①由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解；②由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数，，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，
∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴；
（2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为；
②∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理可得：，
解得：，，
∵时，始终有，
∴的值不会随的变化而变化，
∴．
22．（1）2；（2）；（3）或
【分析】（1）由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可；
（2）由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点G，由平移可知，，，即可判定，有，即可求得；
（3）由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）解：由折叠的性质得，
∵，，
∴，，
在中，，即，解得，
则，
故答案为：2；
（2）如图：
由（1）得：，，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，
，
解得，
即，，
连接，，并延长交于点G，
由平移可知，，，
，，，
∴
∴
∴，
（3）解：由折叠得，由旋转得，
当点D，，三点共线时，设和交于点H，如图，
则四边形为矩形，
那么，，，
在中，，
当点D，，三点共线时，过点作交延长线于点G，如图，
则四边形为矩形，
那么，，，
在中，，
故的长或．
【点睛】本题主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用．
23．(1)；
(2)存在，；
(3)或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点坐标，再求出二次函数的对称轴，根据二次函数的对称性得到点为与对称轴的交点时，的值最小．求出直线的解析式，即可得到点的坐标；
（3）设，则，连接，则，结合勾股定理得到切线为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，根据以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等列方程，求出，假设过点，则有以下两种情况：①当点在点的上方，即；②当点在点的下方，即，分别求出的值，得到或，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过，两点，
，解得：，
二次函数解析式是；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，理由如下：
二次函数解析式是，
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小；
（3）解：拋物线过，，
拋物线的对称轴为，
设，
，
，
如图：连接，则，
，
切线为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则：，
，
，
，
假设过点，则有以下两种情况：
①如图：当点在点的上方，即，
，
解得：或，
，
；
②如图2：当点在点的下方，即，
，
解得：，
，
；
综上，或．
当不经过点时，或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，圆的切线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
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