第26-28章达标测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册华东师大版

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第26-28章达标测试卷-2024-2025学年数学九年级下册华东师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法最恰当的是（ ）
A．某校对学生进行体育达标测试，应采用抽样调查法
B．了解我省中学生的身高状况采用抽样调查法
C．要了解某班级学生期中数学测试成绩采用抽样调查法
D．某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命采用普查法
2．已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（ ）
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
3．已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．承包池塘的农民伯伯想知道自家池塘里有多少条鱼，决定通过捕鱼和标记来估计．第一次捕获了100条鱼，并对它们进行标记，然后，将这100条鱼放回了池塘．过了几天，等这些标记的鱼在池塘中均匀分布后，又捕获了200条鱼，发现其中有10条鱼是之前标记过的．请估计池塘里大概有（ ）条鱼
A．500 B．1000 C．2000 D．3000
5．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（　　）
A．
B．
C．当时，的值随值的增大而减小
D．若方程没有实数根，则
7．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ．
10．抛物线的顶点坐标是 ．
11．如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ．
12．如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为 ．
13．某企业一年四个季度的销售总额约63万元，其中前三季度占全年的百分比分别是、、，则表示第四季度的销售额是 万元．
14．如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ．
15．抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，其中．下列四个结论：
①若，则；
②；
③若，则抛物线与x 轴两个交点之间的距离小于2；
④若，，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
16．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，的半径为，求的长．
17．某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)请补全两幅统计图；
(2)求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
(3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？
18．如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接．
(1)试判断的形状并证明；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在第二象限的抛物线上，且与面积相等，求D点坐标；
(3)若P为线段上一点，，求的长；
20．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为______；
(2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．
21．如图1，已知是⊙O的直径，弦于点E，G是上的一点，连结交于点H，，的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)①连结，若，求的值；
②连结，若，，，求⊙O的半径r．
22．综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
【解决问题】
(1)求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程；
(2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
《第26-28章达标测试卷-2024-2025学年数学九年级下册华东师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C A A B B
1．B
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此判断即可．
【详解】解：A、某校对学生进行体育达标测试，应采用普查法，故本选项不符合题意；
B、了解我省中学生的身高状况采用抽样调查法，本选项符合题意；
C、要了解某班级学生期中数学测试成绩采用普查法，本选项不符合题意；
D、某工厂质检人员检测灯泡的使用寿命采用抽样调查法，本选项不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系．
根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．
【详解】解：∵的半径为3，当，
即点到圆心的距离大于半径，
∴点P在圆外，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换等知识点，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程成为解题的关键．
设抛物线与x轴两个交点的坐标为，则抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为，利用交点式写出此时抛物线的解析式为，接着把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为，然后解方程得到新抛物线与x轴的交点坐标，从而得到新抛物线与x轴两个交点间的距离．
【详解】解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为，
把抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为，
此时抛物线解析式为，
把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为，
整理得，
当时，，
，解得：，
∴新抛物线与x轴的交点坐标为，
∴新抛物线与x轴两个交点间的距离．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了利用样本估计总体，分式方程的应用，理解样本的百分比等于总体的百分比是解题关键．设池塘里大概有条鱼，根据题意列分式方程求解即可．
【详解】解：设池塘里大概有条鱼，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
即池塘里大概有条鱼，
故选：C．
5．A
【分析】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案．
【详解】解：∵半径为的圆形，
∴底面圆的半径为2，周长为，
扇形弧长为：，
∴，即母线为，
∴圆锥的高为：．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与判断式子的符号，抛物线与轴的交点问题，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等．解题的关键在于二次函数知识的熟练掌握与灵活运用．
根据抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下，据此即可判断C选项；根据抛物线与轴的交点，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，得出当时，，据此即可判断B选项；根据抛物线的顶点坐标，结合抛物线的开口方向，得出抛物线的最大值是，根据一元二次方程的根，可以看作是二次函数于直线的交点横坐标，据此即可判断D选项；根据抛物线的对称轴得出，推得，据此即可判断A选项错误．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向下，
∴当时，的值随值的增大而减小，
∴选项C说法正确；
∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，且抛物线的对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴选项B说法正确；
∵抛物线的顶点为，且抛物线的开口向下，
故的最大值是，
当时，抛物线与直线没有交点，
即方程没有实数根，
∴选项D说法正确，
∵抛物线的对称轴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴选项A说法错误．
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一点在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，
∵是弦的垂直平分线，
∴圆心一点在直线上，
又∵是弦的垂直平分线，，
∴，，
设圆形工件的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得，
∴圆形工件的半径为，
故选：B．
8．B
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，
则反比例函数的图象在第一、三象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：B．
9．点在内
【分析】本题考查的是点圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外则；点P在圆上则；点P在圆内则．直接根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵，
∴点在内．
故答案为：点在内．
10．
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据的顶点坐标为进行解答即可．
【详解】解：的顶点坐标是，
故答案为：
11．24
【分析】本题考查的是正多边和圆，圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键．
连接，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，由圆周角定理即可得出的度数，进而可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：连接，，
是内接正五边形的一条边，
，
，
，
，
故答案为：24．
12．，
【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键．
方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解．
【详解】解：一元二方程变形为，
∵方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标，
∵二次函数 的图象与直线相交于点和点，
∴的解是，，
故答案为：，．
13．18.9
【分析】本题主要考查了数据统计问题，理解题意分清数据占的百分比是解题的关键．
由前三季度占全年的百分比，求出第四季度占全年的百分比，即可求出第四季度的销售额．
【详解】解：∵前三季度占全年的百分比分别是、、，
∴第四季度占全年的百分比是，
∵一年四个季度的销售总额约63万元，
∴第四季度的销售额是万元．
故答案是：．
14．
【分析】本题考查扇形面积的计算，线段的中垂线，根据中垂线的性质以及直角三角形的边角关系可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键．
【详解】解：如图，连接，
是的中垂线，
，，
，，，
，
，
，
故答案为：．
15．①②④
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据题意可得，从而得到，再由，可得，再由，可判断①②；根据，即①的结论得到，，，再由，可得抛物线与x轴的另一个交点在点B的右侧，可判断③；根据一元二次方程根的判别式以及，可判断④．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
若，由①可知，与不符，
则必有，，且，
此时抛物线开口向下，
∵抛物线点，，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点B的右侧，
∴抛物线与x 轴两个交点之间的距离小于，故③错误；
∵，
∴关于x 的一元二次方程可化为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确．
故答案为：①②④
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先连接，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出，再根据，即可作答．
（2）先作，垂足为，运用证明，再运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
直线是的切线；
（2）解：作，垂足为，如图2所示：
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
17．(1)见解析；
(2)本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本；
(3)该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的，由频率=频数总数即可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图；
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
【详解】（1）解：人，样本中读书量为3本的学生人数为人，
样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为，
补全的条形统计图、扇形统计图如图所示：
（2）解：本，
答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本；
（3）解人，
答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
18．(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论；
（2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵为直径，
∴，
∵点E是的内心，
∴分别平分、，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接与交于点F，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法，函数图图象与坐标轴的交点，相似三角形的判断及性质．
（1）在直线中，令，则，得到点B的坐标为，采用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）在中，令，得到，，因此点A的坐标为，，根据与面积相等，得到D到x轴的距离为4，将代入，即可解答；
（3）由， ，得到，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】（1）解：在直线中，令，则，
∴点B的坐标为，
∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，令，则，
解得，，
∴点A的坐标为，
∴，
∵与面积相等，
∴D到x轴的距离为4，
将代入，得，
解得，
∴点D坐标；
（3）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，即，
∴；
20．(1)
(2)或；
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键．
（1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案；
（2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式；
（3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是,
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
此时
当，即时，函数的最小值为2，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
∴
综上所述，
21．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）如图，连接，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理的推论得到，再利用圆内接四边形的性质得到，从而得到结论；
（2）①如图，连接，易得，根据，推出，证明经过点O， 即重合，为圆的直径，证明，即可得出结果 ；②连接，表示出，证明，推出，，，，再证明，得到，，进而得到，解方程结合题意取值即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，弦，
，
，
，
点、、、在上，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴经过点O，
∴重合，即为圆的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵的半径r，，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意：，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)，喷出水的最大射程为
(2)点B的坐标为
(3)
【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度；
设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围．
本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置．
【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
外边缘抛物线的函数分析式为：，
当时，，
解得：，舍去，
喷出水的最大射程为．
（2）解：由左右平移得到，
设，
经过点，
，
解得：，舍去，
，
把代入，得：
解得：，舍去，
点B的坐标为．
（3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
点D与点B重合或点F在上，
当点D与点B重合时，，
当点F在上时，，
解得：，不合题意，舍去，
，
，
的取值范围是
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