第1-3章阶段测试卷（含解析）-2024-2025学年数学九年级下册北师大版

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第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的半径为，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在上
C．点在外 D．点在上或外
2．计算的值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，在中，，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，线段是的直径，点是上一点，设．若，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式 ．
10．已知∠A为锐角，，则 ．
11．如图，在中，圆心O到弦的距离为1，，则的半径长为 ．
12．已知抛物线 (为常数，且)上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是 ．
13．如图为某兴趣小组绘制的跳台滑雪赛道的截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点C且与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，着陆坡的坡度为．某运动员第一次训练时在C处起跳腾空后，飞行至着陆坡的D处着陆．在这次训练过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间满足二次函数关系，且．若点D的横坐标为，则运动员离着陆坡的最大竖直距离为 m．
14．已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表：
1 5
0 5 9 5
下列结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个相等的实数根；④当时，的取值范围为；⑤若点，均在二次函数图象上．则．其中正确结论的序号是 ．
15．平面内，与四条直线的位置关系如图所示，若的半径为，且点O到其中一条直线的距离为，则这条直线是 ．
16．如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ．
三、解答题
17．在网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系．
(1)请在图中标出的外接圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)将绕点逆时针旋转得到，画出．
18．如图，中，，垂足是，若，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
19．设二次函数（，是常数）．
(1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由；
(2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标；
(3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围．
20．某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
21．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当时，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长．
22．如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的二次函数表达式；
(2)点在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．综合与实践
【实践探索】某数学活动小组为了测量树的高度，经过实地测量，得到三个解决方案：
方案一：如图①，测得地与树相距10米，小明眼睛到地面距离为1.6米，从他的眼睛处观测树的顶端的仰角为；
方案二：如图②，测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，小明的眼睛在镜子中距离地面1.6米，且恰好看到树的顶端．
方案三：如图③，在同一时刻的阳光下，测得树的影长为10米，测得高为2米的标杆的影长是2.5米．
【问题解决】
(1)试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
(2)在方案三条件下，如图③所示判断和是否成为位似图形，若成立请作出它们的位似中心，并求出点到点的长度．若不成立，请说明理由．
24．阅读以下材料，并完成相应的任务．
定义：若三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段长的积等于这个点与该边所对顶点之间的距离的平方，则称这个点为三角形中该边的“中顶点”． 例：如图（1），在中，点在上，若，则点为中边的中顶点．
任务：
(1)如图（2），的三个顶点是的正方形网格的格点（网格线的交点），请用无刻度的直尺作出中边的一个中顶点，且点不是格点．
(2)如图（3），内接于，点是中边的中顶点，连接并延长，交于点．
①求证：点是的中点．
②若的半径为5，，，与过点的切线垂直，垂足为点，求的长．
《第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D D D A A A
1．B
【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
运用勾股定理得到，根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：点的坐标为，
∴，
∵的半径为，圆心的坐标为，
∴点与的位置关系是点在上，
故选：B ．
2．C
【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
．
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断系数的大小，平面直角坐标内的点所在的象限，
根据抛物线的开口方向可得，与y轴交点在负半轴可得，再判断点所在的象限．
【详解】解：根据图象可知，，
∴点在第四象限．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选项D符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：设正六边形的边长为x，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵的长为，
∴，
解得，
正六边形的边长为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用．
6．A
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数的图象特征是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再得出二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于与轴的负半轴上，由此即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴二次函数的图象的开口向下，与轴的交点的纵坐标为，即与轴的交点位于与轴的负半轴上，
观察四个选项可知，只有选项A符合，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，得到，得出，即可得到答案．
【详解】如图，连接，
是的中点，
，
，
，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理和圆内接四边形的性质推出．由垂径定理推出，得到，由圆内接四边形的性质推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，求出，得到，由三角形的外角性质推出．
【详解】解：∵直径，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．（答案不唯一，符合要求即可）
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式即可得出结论．
【详解】解：写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式，
故答案为：（答案不唯一）
10．
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．设是直角三角形中的锐角，，根据题意求出三角形的三边的比例关系，即可得到答案．
【详解】解：设是直角三角形中的锐角，，
即，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了垂径定理．先根据垂径定理得到，然后根据勾股定理计算出的长即可．
【详解】解：为圆心到弦的距离，
，
，
在中，
，，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图像和性质，二次函数的对称性，应用数形结合思想是解题的关键；根据对称性求出关于对称轴的对称点为，再根据恒成立，可得，即可得解．
【详解】解：抛物线，
对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
，
，
，
均在对称轴的右侧，
恒成立，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】·本题考查了一次函数，二次函数，平面直角坐标系等知识点．熟练掌握求一次函数表达式，已知点坐标求二次函数解析式中的参数以及求二次函数的最值是解题的关键．
根据着陆坡坡度得到斜率，结合过点，利用斜截式求出的直线方程，再将横坐标代入着陆坡方程得到点纵坐标，然后将坐标代入，求出确定二次函数表达式，用二次函数表示运动员高度减去着陆坡直线函数表示的高度，得到竖直距离关于的二次函数表达式，最后根据二次函数对称轴公式求出对称轴，将对称轴对应的值代入竖直距离函数，求出最大值，即运动员离着陆坡的最大竖直距离．
【详解】解：着陆坡的坡度为，且过点（由坐标系可知点在轴上，且纵坐标为），
则，,
∴
设直线方程为：,
∴，
解得：
直线方程为：．
将点D的横坐标代入得到，
点．
将点代入，
得到，
解得：．
设竖直距离为，
则
化简得：．
该二次函数的对称轴为，
将代入，
解得：．
故答案为：．
14．①②③⑤
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数和一元二次方程的关系等知识，熟练掌握其性质并灵活运用是解题的关键．
利用待定系数法求得二次函数的表达式即可求得①②，利用根的判别式即可判断③，利用二次函数的性质即可判断④，求得两个点的横坐标的平均数和顶点横坐标作比较，即可判断⑤．
【详解】解：把，，代入得：
，解得，
，故①正确，符合题意；
，故②正确，符合题意；
，
整理，得： ，
，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故③正确，符合题意；
，
∴抛物线的顶点坐标为，
当时，，当时，，
，
∴抛物线开口向下，顶点纵坐标为最大值，
∴当时， 的取值范围为，故④错误，不符合题意；
等于顶点横坐标，
，故⑤正确，符合题意．
故答案为：①②③⑤．
15．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟记圆心到直线的距离与半径关系是正确解答此题关键． 根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当，则直线和圆相切；当，则直线和圆相交；当，则直线和圆相离，进行分析判断．
【详解】解：∵圆心O点到所求直线的距离半径，
∴此直线和圆相离，
观察图形发现：直线与相离，
∴这条直线是．
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合．
由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可．
【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，
∵图象交于点，点，
∴当时，或，
故答案为：或．
17．(1)圆心位置见解析，
(2)图见解析
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，三角形的外接圆．
（1）根据三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，作出两边的垂直平分线，交点即为所求的点，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后对应点、的位置，再与点顺次连接即可．
【详解】（1）解：圆心位置如图所示，；
（2）如图所示，为所求三角形．
18．(1)5
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键．
（1）首先根据的三角函数求出的长度，即可得出的长度；
（2）在中，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∴．
19．(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析
(2)，
(3)或且
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识．
（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可．
（2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标；
（3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论．
【详解】（1）解：设 ∴，
∵
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个．
（2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴二次函数为，
令，则，
解得，，
∴这个函数图象与轴交点的坐标为，
（3）解：∵，在这个函数的图象上，且．
∴，即，
当时，，得二次函数与轴交点为、，
∴
当时，由，得，即，即．
当时，由，得，即，即．
∴或且．
20．(1)
(2)当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质．
（1）根据总利润单件利润数量即可列出函数解析式，根据确保盈利列式求出x的取值范围；
（2）根据二次函数的性质进行解答即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得，
∵降价要确保盈利，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，有最大值，
即当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元．
21．(1)见解析
(2)是等边三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线；
（2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立；
（3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，，
∴，
∵，，即，
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由交点式可直接得出抛物线的解析式；
（2）设， 根据列出方程，进而求得点坐标；
（3）过点作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列方程求出m的值即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∴，
，
；
（2）解：，
∴对称轴为直线，
设，
，
，
，
；
（3）解：假设存在，过点作轴于点，连接，如图所示，
设点的坐标为，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，
∴点Q的横坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键．
23．(1)8米，过程见解析
(2)是位似图形，位似中心见解析，
【分析】对于（1），方案一：作，可得四边形是矩形，可得，再根据求出，然后根据得出答案；方案二：先说明，可得，进而得出答案；方案三：根据同一时刻物高比等于影长比，再代入数值计算即可；
对于（2），先画出位似中心，求出位似比，再根据位似比相等计算即可．
【详解】（1）解：方案一：过点D作，交于点E，
∵，
∴四边形是矩形，
∴.
在中，，
解得，
∴；
方案二：
∵，
∴，
∴，
即，
解得；
方案三：∵在同一时刻的阳光下，
∴，
即，
解得；
（2）解：如图所示，连接并延长交的延长线于点O，点O即为所求作.
∵，，
∴，且对应点连线交于一点，
∴和是位似图形，且位似比为，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，位似图形的性质等，灵活选择判定定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）过点A作的垂线交与点D即可．根据，由相似三角形性质即可得出．
（2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，再根据中顶点的定义得出，进而可得出．
②连接，根据，得出是的直径，且为10，再根据勾股定理得出，再得出，再根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）解：点如图（1）所示．
（2）解：①证明：如图（2），连接．
，，
，
，
．
点是中边的中顶点，
，
，
，
即点是的中点．
②如图（2），连接．
，
是的直径，
．
由①可知点是的中点，
，
．
是的切线，
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了作垂线，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的计算等知识，掌握“中顶点”的定义是解题的关键．
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