期中达标测试卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版

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期中达标测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，3，5 B．3，4，5
C．1，2， D．1，，2
2．在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．中， ，，点是边上的动点，过点作于点，于点，则的长（ ）
A．4.8 B．4.8或3.8
C．9.6 D．6
4．如图，已知，，，垂直平分，则的周长等于（ ）
A．4 B．6 C． D．
5．一元一次不等式组解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　）
A．4 B． C．5 D．6
二、填空题
9．已知关于x的不等式有2个负整数解，则a的取值范围为 ．
10．点向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 ．
11．点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ．
12．如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
13．如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为 ．
14．对于任意实数a，b，定义关于的一种运算如下：，例如，．若，则x的取值范围是 ．
15．2025年3月，第18届国际田径联合会世界室内田径锦标赛在南京举办，比赛期间某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，锦标赛结束后，商店准备将这批服装降价处理，打x折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式： ．
16．如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒．
三、解答题
17．（1）解不等式组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出；
(2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出；
(3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
19．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，点B、C的对应点分别是点D、E，且点C在上．若，，求的度数．
20．2022年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元．
(1)雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？
(2)每个雪容融售价30元，每个冰墩墩售价24元，商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多15个，在采购总价不超过1290元的情况下，如何安排雪容融和冰墩墩的采购数量，可使全部售完获得的总利润最大？
21．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”．
(1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由；
(2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围；
(3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围．
22．如图，两个相同的6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（画出符合条件的一种情况即可）
(1)在图1中，画一个，点在格点上，使它的斜边长是；
(2)在图2中，画一个，点在格点上，，使它的面积是．
23．综合与探究：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N．
(1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时，
①判断的形状，并说明理由；
②求线段的长．
(2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系．
《期中达标测试卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A C B C A C
1．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理对各选项判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中，不能构成直角三角形，故符合题意；
B中，能构成直角三角形，故不符合题意；
C中，能构成直角三角形，故不符合题意；
D中，能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查中心对称，设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B，则有，即可得到，，进而求出点Q的坐标．
【详解】解：设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B，
则，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点Q的坐标为，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和．
根据题意画出图形，然后过A点作于F，连结，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得的长，由图形得 ，代入数值，解答出即可．
【详解】解：过A点作于F，连结，
∵在 中，，，
∴，
∴在 中
，
∴，
即，
∴．
故选A．
4．C
【分析】根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出，根据线段垂直平分线求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出即可．
【详解】解：，，
．
垂直平分，，
，，，
，
．
，
，
的周长，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．
5．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由可得，进而利用直角三角形的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
7．A
【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，
，
解得：．
故选：A．
8．C
【分析】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理及直角三角形的性质，根据旋转的性质可以得到，然后利用证明，由此即可证明为的中点解决问题，解题的关键熟练利用旋转和直角三角形的性质．
【详解】解：将绕点旋转至，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，
，
．
故选：C
9．
【分析】本题考查了解一元一次不等式、根据不等式的解析求参数，解不等式得出，结合有2个负整数解得出，求解即可．
【详解】解：解得：，
∵关于x的不等式有2个负整数解，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】根据平移的性质可得答案．
本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
【详解】解：∵点向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度得到点Q，
∴点Q的坐标为．
故答案为：．
11．或或或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论．
分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：对于，当为顶角，则，
∵点D在的边上，
∴对于，只能为，
①时，如图：
∵，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②时，如图：
设，
此时，
∴
∵，
∴，
解得：，
∴；
对于，当为底角，时，
时，如图：
则此时，
∴，
设，
则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
当时，则此时，
∴，
∵
∴；
对于，当为底角，时,,如图：
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
综上：或或或，
故答案为：或或或．
12．
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
根据旋转的性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
根据勾股定理，得，
∴，
∴点与点B之间的距离为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键．
根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明，得，．设，可得，，由可得．从而求出，进而可得，．，，在中，由，即可求解．
【详解】解：等边，
，．
．
，
．
．
过点作于点，
．
，
．
在和中，
．
，．
设，
，
，．
在中，，
∴，
，即．
解得：，
∴，．
∴，
∴，
在中，，
故答案为：．
14．
【分析】根据定义列出不等式，解不等式即可．
本题考查了不等式的解法，新定义，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，由得，
解得．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查列不等式，根据利润等于售价减进价，等于进价乘以利润率，结合每件衣服的利润不低于，列出不等式即可．
【详解】解：由题意，；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，分两种情况：当时，当时，分别结合含30度的直角三角形的性质列方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：，；
当时，
∵，
∴，则，
即：，解得：；
当时，
∵，
∴，则，
即：，此时无解；
综上，当时，为直角三角形，
故答案为：．
17．（1）；（2），见解析．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1），
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是；
（2），
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案．
本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，
则可由绕点P逆时针旋转得到，
∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为．
19．
【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．
由旋转得到，进而得到，平行线的性质，得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)雪容融和冰墩墩的进货单价各是24元，18元
(2)当购进45个冰墩墩，20个雪容融时，可使全部售完获得的总利润最大．
【分析】（1）设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是y元，利用总价=单价×数量，根据第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元，列方程组求解即可；
（2）设购进m个冰墩墩，则购进个雪容融，设总利润为w元，利用总价单价数量，结合总价不超过1290元，即可得出关于m的一元一次不等式，然后表示出，根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是y元，
根据题意，得，
解得：，
答：雪容融和冰墩墩的进货单价各是24元，18元；
（2）解：设购进m个冰墩墩，则购进个雪容融，设总利润为w元，
根据题意，得，
解得：，
∵
∴w随m的增大而增大
∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．
∴
∴当购进45个冰墩墩，20个雪容融时，可使全部售完获得的总利润最大．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数．
21．(1)方程是不等式组的相伴方程
(2)
(3)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解；
（1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可；
（2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围；
（3）分别求出两个方程的解，再分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可．
【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程．
理由如下：
解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵，
∴方程是不等式组的相伴方程．
（2）解：解不等式组，得：，
解方程，得：，
∵关于的方程是不等式组的相伴方程，
∴，
解得：，
即的取值范围是．
（3）解：解方程，得：，
解方程，得：，
∵方程和都是关于的不等式组的相伴方程，
∴分为两种情况：
①当时，解不等式得
不等式组化简为：，此时不可能是不等式组的解，
∴不符合题意，舍去；
②当时，解不等式得，此时不等式组的解集为：，
∴根据题意，得：，
解得：，
即的取值范围为．
22．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识，主要考查学生的计算能力和动手操作能力．
（1）画出两直角边长分别为1和3，则根据勾股定理角边长为；
（2）根据直角三角形的面积为5，两直角边长分别为，据此画出图形即可．
【详解】（1）∵，
∴两直角边长分别为3和1，
图形如图所示：
（2）∵直角三角形的面积为5，，，
∴，
，
∴为直角三角形，
∴即为所求．
图形如图所示：
23．(1)①为等边三角形，见解析；②
(2)
【分析】（1）①，则，而点D是的中点，则，即可求解；
②由①知，，，则，即可求解；
（2）证明，得到，则，即可求解．
【详解】（1）解：①为等边三角形，理由：
∵，则，
∵点D是的中点，则，
故为等边三角形；
②作于点H，
由①知，，，
∴，
∴，
设，则，则，
∴，
∴；
（2），理由：
延长至T使，连接、，
∵，，
∴，
∴，，，
∵中，，
∴，即，
∴ ，
即．
【点睛】本题为几何变换综合题，涉及到图形的旋转、三角形全等、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键．
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