2025年中考数学二轮复习 专题19几何最值问题 课件 (共47张PPT)

(共47张PPT)
专题十九　几何最值问题
类型一 垂线段最短与最值问题
　　结合图形将“折线段和”转化成“定点到定直线的距离”.利用
“垂线段最短”解决最值问题.
（1）如图①，“一平＋两动”模型→A，B分别为一组平行线上
的动点→AB的最小值为BH.
（2）如图②，“一定＋一动”模型→P为直线外一定点，A为直
线上一动点→PA的最小值为PH.
（3）如图③，“一定＋两动”模型→P为∠MON内一定点，
A，B分别为角两边上的动点→作点P关于ON的对称点P'，则AB＋
PA的最小值为P'H.
（4）如图④，“两定＋一动”模型→P为直线外一定点，A为直
线上一定点，B为直线上一动点→构造Rt△ABC（ sin ∠BAC＝k）
→BC＝kAB→kAB＋PB＝PB＋BC的最小值为PH.
模型一：“一平＋两动”
1. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，P为BC边
上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接
PQ，则PQ长度的最小值为 .
　
2. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6.折叠该图形，使点A
落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F，则DF的
最大值为 .
6－3 　
模型二：“一定＋一动”
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D是斜边
BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
连接MN，则线段MN长度的最小值为 .
　
4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，E为CD边上一动
点，连接BE，F，G分别是AB，BE的中点，连接FG，则FG的最小
值为 .
　
模型三：“一定＋两动”
5. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，P，Q分别是BC，
BD上的动点，则CQ＋PQ的最小值为 .
　
6. 如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一个动点，F是对角线BD上的
一个动点，连接BE，EF. 若AB＝5，AD＝10，则BE＋EF的最小值
为 .
4 　
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，AE
平分∠DAC，CF＝DE，连接DF分别交AE，AC于点G，M. P是AG
上的一个动点，过点P作PN⊥AC于点N，连接PM，则PM＋PN的最
小值为 .
2 　
模型四：“两定＋一动”
8. 如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD
上的一动点，则PB＋ PD的最小值为 　3 　.
3 　
9. 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4， sin A＝ ，BD⊥AC于点
D，P为线段BD上一动点，则PC＋ PB的最小值为 　 　.
　
10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（1，0），C（－
3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）.若P为y轴上一个动点，连接
AP，则 BP＋AP的最小值为 　2 　.
2 　
类型二 轴对称与最值问题
　　结合图形将“折线段和”转化成“两个定点之间的距离”.利用
“两点之间，线段最短”解决最值问题.
（1）如图，“两定＋一动”模型→作点A关于直线的对称点A'，
连接A'B交直线于点P→PA＋PB的最小值为A'B的长.
　　（2）如图，“一定＋两动”模型→分别作点P关于OA，OB的对
称点P1，P2，连接P1P2分别交OA，OB于点N，M→PN＋MN＋PM
的最小值为P1P2的长.
（3）如图，“两定＋两动”模型→作AA1平行于直线，且AA1＝
MN；作A1关于直线的对称点A2，连接A2B交直线于点N→AM＋NM
＋BN的最小值为MN＋A2B的长.
模型一：“两定＋一动”
1. 如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上
的动点.若AB＝3，则PE＋PF的最小值是 　 　，此时 的值
为 .
　
　
2. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB，交 于
点D，C是半径OB上一动点.若OA＝1，则阴影部分周长的最小值
为 .
＋ 　
3. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3的顶点为A，与y轴的交点为B，P为
x轴上一动点，则当点P的坐标为 时，PA＋PB取得最小
值，最小值为 .
（ ，0）　
5 　
模型二：“一定＋两动”
4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，P是AC上一定点，BP＝6，
D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，则△PDE周长
的最小值为 .
6 　
5. 如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝1，
ON＝3，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值
是 .
　
6. 如图，一次函数y＝x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，
C为OA的中点，E，F分别为直线AB和y轴上的两个动点，当△CEF
周长最小时，点E的坐标为 ，点F的坐标为 .
（－ ， ）　
（0， ）
模型三：“两定＋两动”
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段
EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE＋CF的最小值为 .
3 　
8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E，F分别是AD，BC的
中点，点P，Q在EF上，且PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值
为 .
12　
9. [2024·新疆]如图，抛物线y＝ x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交
于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD
＝3.当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为 .
（4，1）　
类型三 线段差的最大值问题
　　（1）如图①，“同侧两定点”模型→由三角形三边关系可得
≤AB→延长AB交直线于点P'（A，B，P'共线）
→ 最大值为 ＝AB.
（2）如图②，“异侧两定点”模型→作点B关于直线的对称点
B'→ ＝ →转化成“同侧两定点”模型.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中
点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最
大值为 .
　
2. 如图，已知抛物线经过点O（0，0），A（5，5），点B为对称轴上
一点，其坐标为（2，8），P是抛物线上的动点，则当点P的坐标
为 时，PA－PB的值最大，其最大值为 .
（－2，12）　
3 　
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，E为射线AD上
一动点，∠BAD＝15°，连接BE，CE，则CE－BE的最大值
为 .
4 　
4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的
中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－
PN的最大值为 .
2　
类型四 隐形圆与最值问题
　　（1）如图①，
“定点定长隐形圆”模型
（2）如图②，
“定弦定角隐形圆”模型→
模型一：“定点定长隐形圆”
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是
AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A'MN，连接
A'C，则A'C的最小值为 .
－1　
2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P
从点A出发沿AB方向运动，到达B点时停止运动.连接CP，点A关于直
线CP的对称点为A'，连接A'C，A'P. 在运动过程中，点A'到直线AB
距离的最大值是 ，点P到达点B时，线段A'P扫过的面积
为 .
　
（1＋ ）π－1－ 　
3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是边CD的中点，P是正方形
内一点，且MP＝1，将线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段
BQ，连接MQ，则MQ的最小值为 .
2 －1　
模型二：“定弦定角隐形圆”
4. 如图，动点M在边长为2 的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD
边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE＋PM的最小值
是 .
－1　
5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上
一点，连接DE和AF交于点G，连接BG. 若AE＝BF，则BG的最小值
是 .
－1　
6. 如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，E，F分别是
AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接AF，CE相交于点P，则四边形
APCD面积的最大值为 .
12 　
类型五 阿氏圆与最值问题
如图，☉O的半径为r，A，B为☉O外两定点，r＝OP＝k·OA（0＜
k＜1），P为☉O上一动点，求kAP＋BP的最小值.作OC＝k·OP，
则 ＝ ＝k，∠POC＝∠AOP→△POC∽△AOP→PC＝
kAP→kAP＋BP＝PC＋BP→当B，P，C三点共线时，kAP＋BP的
最小值为BC的长.
1. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，E，F分别是
AB，AC的中点，P是扇形AEF的 上一动点，连接BP，CP，则
BP＋CP的最小值是 .
　
2. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，☉B 的半径为2，P是☉B上的
一个动点，则PD－ PC的最大值是 .
5　
3. 如图，☉O为正方形ABCD的内切圆，P为☉O上一动点.若AB＝4，
则 PA＋PB的最小值为 　2 　.
2 　
4. 如图，抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，以B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，则PC＋ PA
的最小值为 .
　
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