专题强化1.3 带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 学案（含解析）

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高中物理选择性必修二素养提升学案
第一章 安培力与洛伦兹力
专题强化1.3　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
[问题探究]
两水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的粒子(不计重力)，从极板间边界中点处垂直射入磁场，欲使粒子不打在极板上，求粒子出射的可能性。
提示：(1)当粒子从右边射出时，恰好经过极板的右边点时，此时对应的半径最小，半径再大一些就可以从右边射出；
(2)当粒子从左边射出时，粒子在磁场中运动的轨迹为半圆，轨迹恰好与极板相切。
[要点归纳]
带电粒子在匀强磁场中运动多解问题的分析思路
(1)带电粒子在匀强磁场中运动造成多解的常见情况如下。
①带电粒子的电性不确定形成多解。
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，导致多解。如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
②磁场方向的不确定形成多解。
磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度的大小，而未说明磁感应强度的方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图乙所示，带正电的粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
③临界状态不唯一形成多解。
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。
④运动的往复性形成多解。
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解，如图丁所示。
(2)解决带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题的关键是充分考虑问题的各种可能性，认真分析其物理过程，画出各种可能的运动轨迹，找出隐含的几何关系，综合运用数学、物理知识求解。
【典例】　如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计。
(1)求粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。
(2)问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？在这种情况下，粒子v0大小范围。
[解析]　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，即r＝。
若粒子轨迹恰好与ab边相切，其轨迹如图中Ⅰ所示，设圆心为O1，相应速度为v01，轨道半径为r1，
由几何知识得r1＋r1sin θ＝，
解得r1＝，v01＝。
若粒子轨迹恰好与cd边相切，轨迹如图中Ⅱ所示，设圆心为O2，相应速度为v02，轨道半径为r2，
由几何知识得r2－r2sin θ＝，
解得r2＝L，v02＝。
所以粒子能从ab边上射出磁场的速度v0应满足(2)粒子在磁场中运动的半径r≤r1时，运动时间最长，此时，粒子从ad边射出，射出时速度与ad边夹角为θ，圆弧所对圆心角α为(2π－2θ)，
粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，
则运动时间t＝T＝·＝，
粒子速度v0≤v01＝。
[答案]　(1)【针对性训练】
1．[多选]如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】AD　
【解析】由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况。由qvB＝m和T＝得T＝。由图可知，若为正电荷，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若为负电荷，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为t1＝T＝T＝，t2＝T＝T＝。选项A、D正确。
2．[多选]如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
A．垂直纸面向里，B>
B．垂直纸面向里，B>
C．垂直纸面向外，B>
D．垂直纸面向外，B>
【答案】BC　
【解析】当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB＝，所以得B>，选项A错误，选项B正确。当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转；负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，所以得B>，选项C正确，选项D错误。
3．[多选]如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是(　　)
A．　　　 B．
C． D．
【答案】AB　
【解析】由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3…)，选项A、B正确。
4 .如图2所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　)
图2
A. B. C. D.
【参考答案】　A
【名师解析】　若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝，由qv1B＝m可得v1＝＝；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝m可得v2＝。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度vv2＝，故A正确。
5 .(多选)(2024·江西南昌模拟)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A. B. C. D.
【参考答案】　BC
【名师解析】　能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图甲所示，由几何关系可知r1＝＝L，半径最大为从a点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤kBL，故B、C正确，A、D错误。
　
甲　　　　　　　　　　　乙
6．（16分）（2024安徽合肥一模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团队设计了如图甲所示的防护装置。图乙为其截面图，半径为R的圆柱形区域是宇航员防护区，在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为，电荷量为e，质量为m，不计质子间相互作用，。
（1）若质子垂直磁场正对圆柱轴线入射时无法进入防护区，求磁感应强度大小范围；
（2）在（1）问前提下，求质子在磁场中运动的最长时间；
（3）若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，求磁感应强度大小范围。
【名师解析】：（1）俯视图为正对防护区圆心入射的质子，若恰好无法进入防护区，设带电粒子的轨迹半径为，粒子运动轨迹如图
由几何关系
可得
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度的大小
所以
（2）设带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为
由几何关系可得
解得
可得
质子在磁场中运动的时间
（3）为使所有速度为的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度最小值
则磁感应强度的大小应该满足的条件为
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