专题强化1.10　磁场中的动态圆模型 学案（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
高中物理选择性必修二素养提升学案
第一章 安培力与洛伦兹力
专题强化1.10　磁场中的动态圆模型
重难点解读
1　“平移圆”模型
适用条件 同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径r＝，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件
2　“旋转圆”模型
适用条件 同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）
轨迹圆圆心共圆 如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将半径为R＝的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
3　“放缩圆”模型
适用条件 同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
【典例剖析】
【典例】(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为(　　)
A． B．
C． D．
【参考答案】C　
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R为的半径)和r≥1.5R时，粒子从ac、bd区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R【针对性训练】
1 (多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　)
A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
【参考答案】　AD
【名师解析】　由带电粒子以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，可知带电粒子的运动周期T＝2t0。该粒子从O点以与Od成30°角的方向射入磁场，随着粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，故A正确；由图可知，从ab边射出的粒子所用时间不可能为t0，从bc边射出的粒子所用时间不超过T＝，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C错误，D正确。
2 .[2023豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，∠A＝30°，AB＝L.在A点有一个粒子源，可以沿AB方向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（　CD　）
A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短
B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大
C.从AC边射出的粒子的最大速度为kLB
D.从AC边射出的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】CD
解析
3. [多选]如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形区域内，经过时间t0刚好从c点射出磁场.现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向（如图中虚线所示）且以各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（　AD　）
A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为t0
C.若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为t0
D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为t0
【答案】AD
解析　带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝2t0.如图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A正确；由几何关系可知粒子从ab边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc边射出时经历的时间小于T，从cd边射出时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为＝，故B、C错误，D正确.
4 .如图所示，正方形区域abcd内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.
（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围.
答案　（1）　（2）＜v0≤
解析　（1）粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示
有qBv0＝，又T＝，
解得T＝
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝T＝
（2）粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨迹半径为R1，由几何关系可得
R1＋R1sin37°＝0.4l
又qBv01＝，解得v01＝
粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨迹半径为R2，由几何关系可得
R2＋R2cos37°＝l
又qBv02＝，解得v02＝
综上可得＜v0≤.
5 .(多选)如图所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰长AB＝2 m，O为BC的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝－2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，从BO之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则(　　)
A.在AC边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B.C点有粒子射出
C.在AB边界上有粒子射出的长度为1 m
D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B点(－1)m处入射
【参考答案】　ACD
【名师解析】　粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所示。由图可知，能从AC边射出的粒子长度为＝R－R＝(－1)m，故A正确；粒子不可能到达C点，故B错误；由图可知，在AB边界上有粒子射出的长度为BF＝R＝1 m，故C正确；磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周，轨迹与AB、AC相切，由图可知从底边距B点(－1)m处入射，故D正确。
6 .如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A.　 B.　
C.　 D.　
【参考答案】　A
【名师解析】　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴最远为|x|＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。
7 .(多选)如图3所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法正确的是(　　)
图3
A.若该粒子的入射速度v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
C.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝
D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
【参考答案】　ABD
【名师解析】　若粒子射入磁场时速度v＝，则由qvB＝可得r＝l，由几何关系可知，粒子一定从CD边上距C点为l的位置离开磁场，A项正确；因为r＝，所以v＝，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD边相切时，粒子的速度是从CD边射出的最大速度，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度v＝，B项正确，C项错误；粒子在磁场中的运动周期T＝，故当粒子从三角形的AC边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故最长时间t＝，D项正确。
8 .(2024·浙江温州模拟)如图6所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0，2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：
图6
(1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
【参考答案】　(1)或　(2)
【名师解析】　(1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝，解得t1＝，t2＝。
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为＝。
9.（2022吉林长春二模）坐标原点O处有一粒子源，沿xoy平面向第一象限的各个方向以相同速率发射带正电的同种粒子。有人设计了一个磁场区域，区域内存在着方向垂直于xoy平面向里的匀强磁场，使上述所有粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动。不计粒子的重力和粒子间相互作用，则该匀强磁场区域面积最小时对应的形状为
【参考答案】D
【名师解析】由于粒子带正电，磁场方向垂直纸面向里，由左手定则可知粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，其中初速度沿x轴正方向的粒子在第一象限内的运动轨迹如图中的圆弧a所示。此部分轨迹即为磁场区域的右边界。由于各个粒子的速率相同，则半径R均相同，故各个粒子在磁场中运动轨迹为一簇“旋转圆”，磁场在第二象限内的范围应包含这簇“旋转圆”的最远点，即磁场的右边界应是以O为圆心，2R为半径的1/4圆弧，如图1中圆弧b所示。如图2所示，初速度方向与x轴正方向夹角为θ的粒子，其轨迹的圆心位于C点，OC与y轴夹角也为θ。设粒子从磁场边界上的A点出射，此时速度沿y轴负方向，则AC平行于x轴，A点的横坐标为x=-R（1+sinθ），A点的纵坐标为y=Rcosθ，则有（x+R）2+y2=R2，即磁场下边界在x轴上方，圆心位于（-R，0，半径为R的半圆，所以选项D正确。
10. （2022湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（　　）
A. 从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
B. 从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b点到c点的过程中，半径越老越大，则由可知，速度越来越大，所以从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，弦切角最小，因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M点射出粒子在磁场中运动时间与从N点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)