专题强化2.3　电磁感应中的动力学问题 学案（含解析）

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高中物理选择性必修二素养提升学案
第二章 电磁感应
专题强化2.3　电磁感应中的动力学问题
核心素养目标
1．进一步熟练掌握牛顿运动定律等基本规律解决电磁感应问题。
2．掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。
重难点突破
[问题探究]
在电磁感应现象中导体运动切割磁感线，产生感应电流，感应电流使导体受到安培力的作用。因此，电磁感应问题往往和力学问题联系在一起。那么请同学们思考，解决电磁感应中的力学问题时应从哪两个方面入手？
提示：一方面要考虑电磁学中的有关规律；另一方面还要考虑力学中的有关规律，要将电磁学和力学知识综合起来应用。
[要点归纳]
1．导体的两种运动状态
(1)导体的平衡状态——静止状态或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体的非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。
2．力学对象和电学对象的相互关系
[例题1]　如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距l＝1 m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2(式中v为杆ab运动的速度，所有物理量均采用国际单位制)、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
(1)试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
(2)求电阻R的阻值；
(3)求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。
[思路点拨]
1．金属杆下滑时电动势如何计算？所构成的电路是怎样的？
2．杆受哪些力？谁是恒力，谁是变力？
3．杆运动时加速度、速度如何变化？
[解析]　(1)通过R的电流I＝＝，因为B、l、R、r为定值，所以I与v成正比，因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动。
(2)对回路电流进行分析，根据闭合电路欧姆定律，得
I＝
对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－BIl＝ma
将F＝0.5v＋2代入得
2＋mgsin θ＋v＝ma
因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有
ma＝2＋mgsin θ
0．5－＝0
解得a＝8 m/s2，R＝0.3 Ω。
(3)由x＝at2得，
所需时间t＝ ＝0.5 s。
[答案]　(1)见解析　(2)0.3 Ω　(3)0.5 s
【规律方法】
“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
　　　　
【针对性训练】
1．如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　)
A．ab中的感应电流方向由b到a
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
【答案】D　
【解析】磁感应强度均匀减小，穿过闭合回路的磁通量减小，根据楞次定律结合安培定则可知，ab中的感应电流方向由a到b，选项A错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律可得E＝，可知感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，选项B错误；根据安培力公式F＝IlB知，电流不变，B随时间均匀减小，则安培力F减小，选项C错误；ab始终保持静止，处于平衡状态，安培力和静摩擦力大小相等，即f＝F，安培力减小，则静摩擦力减小，选项D正确。
2．如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)
A．ef将减速向右运动，但不是匀减速，最后停止
B．ef将匀减速向右运动，最后停止
C．ef将匀速向右运动
D．ef将往返运动
【答案】A　
【解析】ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度逐渐减小的减速运动，故A正确。
3．如图所示，MN和PQ是两根互相平行且竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，经过一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能是下图中的(　　)
【答案】B　
【解析】S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先做加速度逐渐减小的减速运动再做匀速运动，D项有可能；若＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，ab杆先做加速度逐渐减小的加速运动再做匀速运动，C项有可能；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能。故选B。
4．用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略其他影响，则(重力加速度为g)(　　)
A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针方向的感应电流
B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C．此时圆环的加速度a＝
D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vmax＝
【答案】AD
【解析】：　由右手定则可以判断感应电流的方向为(俯视)顺时针方向，可知选项A正确；由左手定则可以判断，圆环受到的安培力向上，阻碍圆环的运动，选项B错误；圆环垂直切割磁感线，产生的感应电动势E＝Blv＝B·2πR·v，圆环的电阻R电＝，则圆环中的感应电流I＝＝，圆环所受的安培力F安＝BI·2πR，圆环的加速度a＝，m＝d·2πR·πr2，则a＝g－，选项C错误；当重力等于安培力时圆环速度达到最大，此时a＝0，可得vmax＝，选项D正确。
5. 如图所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距l＝0.2 m，电阻R＝0.3 Ω接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2。从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好，求：(g＝10 m/s2)
(1)导体棒所能达到的最大速度；
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像。
【解析】：(1)导体棒切割磁感线，产生的感应电动势
E＝Blv①
回路中的感应电流I＝②
导体棒受到的安培力F安＝BIl③
导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力Ff的作用，根据牛顿第二定律，有
F－μmg－F安＝ma④
由①②③④得F－μmg－＝ma⑤
由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大。
此时有F－μmg－＝0⑥
可得vmax＝＝10 m/s。⑦
(2)由(1)中分析可知，导体棒运动的速度—时间图像如图所示。
答案：(1)10 m/s　(2)见解析图
6．如图所示，光滑平行金属导轨间距为l，与水平面夹角为θ，两导轨上端用阻值为R的电阻相连，该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，ab与导轨垂直且接触良好，不计ab和导轨的电阻及空气阻力。
(1)求ab开始运动时的加速度a；
(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况。
【解析】：(1)对初始状态的ab受力分析，利用牛顿第二定律，得
mgsin θ＋BIl＝ma①
对回路分析，流经ab金属杆的感应电流
I＝＝②
联立①②得
a＝gsin θ＋。
(2)上滑过程：
由第(1)问中的分析可知，上滑过程中ab杆的加速度大小表达式为
a上＝gsin θ＋③
上滑过程中a、v反向，ab做减速运动。利用③式，v减小则a减小，可知，ab上滑时做加速度逐渐减小的减速运动。
下滑过程：
由牛顿第二定律，对ab受力分析得
mgsin θ－＝ma下④
a下＝gsin θ－⑤
因a下与v同向，ab做加速运动。
由⑤得v增加，a下减小，ab做加速度减小的加速运动。若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。
答案：(1)gsin θ＋
(2)上滑过程为加速度逐渐减小的减速运动　下滑过程为加速度逐渐减小的加速运动，若初速度v0足够大时，ab可能在下滑一段时间且未到达出发位置时受到的安培力大小等于重力沿斜面向下的分力，之后ab做匀速运动。
7. （2024河南高考适应性考试）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；
（2）Q棒中电流随时间变化的关系式；
（3）棒达到的最大速度及所用时间。
【参考答案】（1）；（2）；（3），
【名师解析】
（1）撤去小立柱时，导体棒刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q棒受力分析
（2）只有P棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
所以
由闭合电路欧姆定律，Q棒中电流I随时间t变化的关系式
（3）对Q棒受力分析
当Q棒速度达到最大时，加速度为零，有
解得此时 ，
三角形磁场总长有
而P棒在4s内运动的位移为2m，小于L1。
Q棒的加速度与时间的关系为
画出Q棒的a-t图，则Q棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则棒达到的最大速度为
所用时间=4s。
8. （2024北京东城期末）在如图所示Oxy坐标系中，存在垂直Oxy平面向外的磁场。边长为l的正三角形导线框abc的总电阻为R，顶点a位于x轴上，bc边平行于Ox轴。
（1）若此示意图表示的磁场是由一条通电直导线产生的，
a.说明此直导线在Oxy坐标系中的大致位置和电流方向；
b.说明当磁场增强时，导线框abc中感应电流的方向。
（2）若此示意图表示的磁场有这样的特点：
磁场在x方向是均匀的，即磁感应强度不随x坐标发生变化，；磁场在y方向均匀变化，已知磁感应强度随y坐标均匀增大，且时，。从某时刻开始，此区域中各点的磁感应强度都随时间均匀增大且对时间的变化率为k＇，求经过时间t
a.线框中电流的大小I；
b.bc边受到磁场力的方向和磁场力的大小；
c.导线框受到磁场力的大小F。
【参考答案】（1）a.见解析，b.见解析；（2）a.，b.，c.
【名师解析】
（1）a.根据题意，由通电直导线产生的磁场特点，结合题图可知，直导线在bc边上方，与x轴平行，由安培定则可知，电流方向沿x轴负方向。
b. 当磁场增强时，由楞次定律可知，感应磁场垂直纸面向里，由安培定则可知，导线框abc中感应电流方向为顺时针。
（2）a.根据题意可知，经过时间，各点磁感应强度的增加量均为，因此整个导线框的磁通增加量为，其中
由法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律得
b.根据题意，结合上述分析，由左手定则可知，bc边受到磁场力的方向沿y轴负方向，初始时刻bc边所在处磁感应强度用表示，由已知且y＝0时，B＝0，可知
经过时间t，各点磁感应强度都增加了，因此t时刻bc边所在处磁感应强度
由
得
c.先研究ac边受力，可将ac边分为很多小段进行研究，每一小段受力方向都垂直ac边指向三角形内侧。在ac边上紧靠c的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度为，受力大小记，则有
同时在ac边上紧靠a的位置取一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度
受力大小记为，则有
可知
在ac边上紧靠刚才那一小段的位置再取一小段长度Δl，Δl所处位置的磁感应强度为
受力大小记，则有
同时在ac边另一端取对应的一小段长度Δl，这一小段Δl所处位置的磁感应强度为
受力大小记为，则有
可知
以此类推，可知每两个对应小段所受力的大小之和均为，对ac边求和，记为，得到
同理，ab边的受力情况为各小段受力垂直ab边指向三角形内侧，受力大小情况与ac边相同。由对称关系可知，ac边的磁场力与ab边的磁场力沿x方向的分力合力为零，沿y方向的分力合力沿y轴正向，大小为，因此导线框所受磁场力
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