专题强化2.4　电磁感应中的能量问题 学案（含解析）

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高中物理选择性必修二素养提升学案
第二章 电磁感应
专题强化2.4　电磁感应中的能量问题
核心素养目标
1．进一步熟练掌握牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等基本规律。
2．掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。
3．理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题。
重难点突破
[问题探究]
如图所示，用丝线把闭合金属环悬挂于点O，图中虚线的左边有匀强磁场，右边则没有磁场，用手拨动金属环，使悬线偏离竖直位置，放手后，金属环摆动， 但金属环的摆动会很快停下来。试从能量转化角度解释这一现象。若整个空间都有向外的匀强磁场，还会有这种现象吗？
提示：金属环进出磁场的过程中产生感应电流，环中会有电热产生，部分机械能转化为内能，故金属环摆动几次便停下来。若整个空间都有向外的匀强磁场，则金属环中无感应电流产生，机械能守恒，金属环会一直摆动(不考虑空气阻力)。
[要点归纳]
1．能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功，则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。
2．求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
【典例剖析】
【典例】　如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)金属杆ab运动的最大速度；
(2)金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
(3)金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。
[思路点拨]
第一步：抓关键点
关键点 获取信息
光滑金属轨道与水平面成θ角固定 金属杆不受摩擦力，且沿轨道向下的分力为mgsin θ
P、M间所接电阻阻值为R；金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r；轨道足够长且电阻不计 金属杆与轨道、电阻R所组成的闭合回路的内电阻为r，外电阻为R
金属杆ab沿轨道下滑距离x时，达到最大速度 金属杆高度降低了xsin θ，此后受力平衡以最大速度继续下滑
第二步：找突破口
(1)根据受力平衡列方程，安培力F＝mgsin θ；
(2)根据牛顿第二定律，求解加速度为gsin θ时的安培力；
(3)根据能量转化与守恒定律，求解此过程中克服安培力所做的功。
[解析]　 (1)当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ
安培力F＝BId
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
解得最大速度vmax＝。
(2)当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI′d＝m·gsin θ
电阻R上的电功率P＝I′2R
解得P＝。
(3)根据动能定理mgx·sin θ－WF＝mvmax2－0
解得WF＝mgx·sin θ－·。
[答案]　(1)　(2)
(3)mgx·sin θ－·
【针对性训练】
1．如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中(　　)
A．恒力F做的功等于电路产生的电能
B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和
【答案】BD　
【解析】由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于棒ab获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和，即WF－Wf＝W电＋Ek，选项C错误，D正确。
2．如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为l，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接。金属导轨右端接一个阻值为R的定值电阻。平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。金属棒穿过磁场区域的过程中(　　)
A．流过金属棒的最大电流为
B．通过金属棒的电荷量为
C．克服安培力所做的功为mgh
D．金属棒产生的焦耳热为mg(h－μd)
【答案】D　
【解析】金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律，得mgh＝mv2，金属棒到达平直部分时的速度v＝，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，最大感应电动势E＝Blv，最大感应电流I＝＝，故A错误；通过金属棒的电荷量q＝Δt＝＝，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理得mgh－W安－μmgd＝0－0，克服安培力做的功W安＝mgh－μmgd，故C错误；克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热Q′＝Q＝W安＝mg(h－μd)，故D正确。
3．(2024湖南部分重点高中3月联考)如图所示，两根光滑金属导轨AB和AC固定在倾角的绝缘斜面上，导轨关于中轴线AO对称，导轨单位长度的电阻为k，整个空间存在着方向垂直于斜面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场．一质量为m、阻值不计的导体棒在沿斜面向上的力F的作用下以一定的速度从A点开始平行于BC匀速下滑．已知导体棒始终垂直于AO且与导轨接触良好，AB＝AC＝L，∠A＝60°．下列说法正确的是
A．导体棒沿斜面运动时的感应电流为一个定值，大小为
B．导体棒沿斜面运动时的感应电流为一个定值，大小为
C．导体棒沿斜面运动时的安培力为一个定值，大小为
D．导体棒从A点运动至BC位置的过程中，回路中产生的焦耳热为
【参考答案】AD
【名师解析】设导体棒从A点运动任意一小段位移大小为x，则导体棒接入回路的长度，接入回路的电阻，感应电动势，感应电流，联立解得，故A正确，B错误；导体棒从A点运动至BC位置的过程中，感应电流并不随时间变化，安培力会随位移均匀增大，平均作用力，克服安培力做的功，则回路中产生的焦耳热，故C错误，D正确；故选AD．
4、 （2024山东济宁一中2月质检）. 如图所示，水平导体棒ab的质量，长L=1m、电阻，其两个端点分别搭接在竖直平行正对放置的两光滑金属圆环上，两圆环半径均为r=1m、电阻不计。阻值的电阻用导线与圆环相连接，理想交流电压表V接在电阻R两端。整个空间有磁感应强度大小为B=1T、方向竖直向下的匀强磁场。导体棒ab在外力F作用下以速率两圆环的中心轴匀速转动。t=0时，导体棒ab在圆环最低点。重力加速度为。下列说法正确的是（　　）
A. 导体棒中的电流
B. 电压表的示数为
C. 从t=0到0. 5πs的过程中通过R的电量为2C
D. 从t=0到0. 5πs的过程中外力F做功为
【参考答案】AC
【名师解析】
导体棒ab在圆环最低点时，速度v垂直与磁感线，有效切割速度最大，感应电动势为最大值
感应电流最大值为
设经过时间t导体棒速度与磁感线夹角为
此时导体棒有效切割速度为
在导体棒中电流随时间变化规律为
故A正确；
电压表示数为电阻R两端电压有效值，则
故B错误；
导体棒圆周运动的周期为
0.5πs等于周期的四分之一，则在0~0.5π s时间内通过R的电量为
故C正确；
根据能量守恒定律可知，从t=0到0.5πs的过程中外力F做功等于导体棒增加的重力势能与电路产生的焦耳热之和，电流的有效值为
则焦耳热为
导体棒增加的重力势能为
则外力做功为
故D错误。
5、如图甲所示，足够长、电阻不计的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，其宽度l＝1 m，一匀强磁场垂直、穿过导轨平面，导轨的上端M与P之间连接阻值R＝0.40 Ω的电阻，质量m＝0.01 kg、电阻r＝0.30 Ω的金属棒ab紧贴在导轨上。现使金属棒ab由静止开始下滑，下滑过程中ab始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离x与时间t的关系如图乙所示，图像中的OA段为曲线，AB段为直线，g取10 m/s2(忽略ab棒运动过程中对原磁场的影响)，求：
(1)判断金属棒两端a、b的电势高低；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)在金属棒ab开始运动的1．5 s内，电阻R上产生的热量。
【解析】：(1)由右手定则可知，ab中的感应电流由a流向b，ab相当于电源，则b端电势高，a端电势低。
(2)由x t图像，得t＝1．5 s时金属棒的速度
v＝＝ m/s＝7 m/s
金属棒匀速运动时所受的安培力大小F＝BIl
I＝，E＝Blv
联立解得F＝
根据平衡条件，得F＝mg
则有mg＝
代入数据解得B＝0.1 T。
(3)金属棒ab在开始运动的1．5 s内，金属棒的重力势能减小，转化为金属棒的动能和电路的内能。设电路中产生的总焦耳热为Q
根据能量守恒定律，得mgx＝mv2＋Q
代入数据解得Q＝0.455 J
故R产生的热量QR＝ Q＝0.26 J。
答案：(1)a端电势低，b端电势高　(2)0.1 T
(3)0.26 J
6．（2024成都重点高中质检）(16分)如图，两根相距L＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨间x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T。一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求：
(1)回路中的电流；
(2)金属棒在x＝2m处的速度；
(3)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小；
(4)金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。
【参考答案】⑴2A ⑵0.67m/s ⑶1.6J ⑷0.71W
【名师解析】⑴由法拉第电磁感应定律得 E=B0Lv=0.4V （2分）
由闭合电路欧姆定律得I=E/(R+r)=2A （1分）
⑵由B2= B0+kx=1.5T，
E=B2Lv2 （1分）
得v2= 0.67m/s （1分）
⑶由于F=BIL 且B= B0+kx
电阻上消耗的功率不变，故电流不变为I=2A （2分）
x=0时F0= B0IL= 0.4N， （2分）
x=2m时FA=B2IL=1.2N （2分）
安培力做功W= ( F0 + FA)x/2=1.6J （1分）
⑷由EIt=W解得t=2s （1分）
由动能定理可得
（2分）
得P= 0.71W （1分）
7. （2024江苏部分学校3月质检）如图甲所示，空间存在方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距为L=1m，R1和R2是并联在导轨一端的电阻，且R1=12Ω、R2=6Ω，ab是垂直导轨放置的质量为m=1kg的导体棒，导轨和导体棒之间的动摩擦因数各处均相同。从零时刻开始，对ab施加一个大小为F=0.75N，方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，滑动过程中棒始终保持与导轨垂直且良好接触，图乙是棒的v-t图像，其中O点为坐标原点，其坐标为（0，0），AO是图像在O点的切线，AB是图像的渐近线。除R1、R2以外，其余部分的电阻均不计，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知当棒的位移为20m时，其速度达到了最大速度1m/s。求（结果可以保留分数）
（1）导体棒ab运动中受的摩擦力f的大小和磁感应强度B的大小；
（2）在导体棒ab的位移为20m过程中R2电阻上产生的焦耳热；
（3）若在导体棒ab的位移为20m时立即将恒定拉力F撤掉，此后导体棒ab滑行到停止的过程中流过R1的电量为C，求摩擦力在导体棒ab整个运动过程的平均功率。
【参考答案】（1）0.5N；1T；（2）3J；（3）0.44W
【名师解析】
（1）由图乙得初始瞬间的加速度为
则由牛顿第二定律可知
F-f=ma
代入解得
f=0.5N
最终导体棒匀速运动，速度v=1m/s，设此时受到的安培力为F安，由平衡条件得
F-f-F安=0
而安培力
电路总电阻
联立代入数据解得
B=1T
（2）对棒由能量守恒定律有
（3）从开始到运动x1=20m内，由动量定理有
Ft1-F安t1-ft1=mv-0
所以
t1=24s
从撤去外力到停止运动，由动量定理有
-F′安×t2-f×t2=0-mv
那么
F′安×t2=BLq2
qR1=I1t2=C
qR2=I2t2=C
所以
q2=qR1+qR2=C
所以
t2=1s
x2=2m
所以
L
x
O
R
B
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