专题强化2.6　动量定理在电磁感应中的应用 学案（含解析）

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高中物理选择性必修二素养提升学案
第二章 电磁感应
专题强化2.6　动量定理在电磁感应中的应用
【专题解读】
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解.
（1）单棒＋水平导轨
情境示例1 水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒初速度为v0，质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，导轨足够长且电阻不计，从开始运动至停下来
求电荷量q －BLΔt＝0－mv0，q＝Δt，联立解得q＝
求位移x －Δt＝0－mv0，x＝Δt＝
应用技巧 初、末速度已知的变加速运动，在用动量定理列出的式子中q＝Δt，x＝Δt；若已知q或x也可求末速度或初速度
（2）单棒＋倾斜导轨
情境示例2 间距为L的光滑平行导轨倾斜放置，倾角为θ，由静止释放质量为m、接入电路的阻值为R的导体棒，当通过横截面的电荷量为q或下滑位移为x时，速度达到v
求运动时间 －BLΔt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，q＝Δt，－Δt＋mgsinθ·Δt＝mv－0，x＝Δt
应用技巧 用动量定理求时间需有其他恒力参与.若已知运动时间，也可求q、x、v中的任一个物理量
【典例剖析】
【典例】.[ 2023北京]如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出.线框的边长小于磁场宽度.下列说法正确的是（　D　）
A.线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向
B.线框出磁场的过程中做匀减速直线运动
C.线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等
D.线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等
解析
线框进入磁场→线框右侧切割磁感线电流方向为逆时针方向，A错
线框进、出磁场的过程中，F安为阻力→v↓→F安↓→线框进、出磁场的过程均为加速度减小的减速运动，B错
线框进、出磁场的两过程中ΔΦ相同，q相同，D对
安培力的冲量I安＝Bl·ΔtI安＝Blq
线框进入磁场瞬间速度为v1，完全进入磁场速度为v2
线框离开磁场瞬间速度为v3
v1＋v2＞v2＋v3且v1－v2＝v2－v3，则Q1＞Q2，C错
一题多解　由楞次定律可知线框进磁场的过程中电流方向为逆时针方向，出磁场的过程中电流方向为顺时针方向，A错；对线框进行受力分析，线框在进、出磁场时会受到安培力的作用，安培力均为阻力，线框全部在磁场中时不受安培力的作用，故线框在进、出磁场的过程中会做减速运动，全部在磁场的过程中做匀速运动，又F安＝BIl，I＝，E＝Blv，则F安＝，故线框进、出磁场的过程中所受安培力在减小，做加速度减小的减速运动，B错；Q＝·l＝，且结合B项的分析可知＞，故线框在进磁场的过程中产生的热量大于在出磁场的过程中产生的热量，C错；结合公式q＝Δt、＝、＝Bl可得q＝，又线框进、出磁场过程中的位移Δt均为线框边长l，故线框进、出磁场过程中通过导线横截面的电荷量相等，D对.
【典例2】.[2023新课标]一边长为L、质量为m的正方形金属细框，每边电阻为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上.宽度为2L的区域内存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示.
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的左、右边框始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，求金属框的初速度大小.
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1＝2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示.让金属框以与（1）中相同的初速度向右运动，进入磁场.运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终接触良好.求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量.
答案　（1）　（2）
解析　（1）设金属框的初速度大小为v0，则金属框完全穿过磁场的过程，由动量定理有
－BLt1－BLt2＝m－mv0
通过金属框的电流＝
根据法拉第电磁感应定律有＝
故有t1＝t2＝
联立解得v0＝
（2）金属框进入磁场的过程，由动量定理有
－B'Lt'＝mv1－mv0
闭合电路的总电阻R总＝R0＋＝R0
通过金属框的电流'＝
根据法拉第电磁感应定律有'＝
解得v1＝
金属框完全在磁场中时继续做加速度逐渐减小的减速运动，金属框的右边框和
左边框为电源，两电源并联给外电路供电，假设金属框的右边框没有出磁场右
边界，则有
－B″Lt″＝0－mv1
通过金属框的电流″＝
根据法拉第电磁感应定律有″＝
解得x＝L
故假设成立，金属框的右边框恰好停在磁场右边界处
对金属框进入磁场过程分析，由能量守恒定律有
Q总＝m－m
电阻R1产生的热量为Q1＝·Q总
金属框完全在磁场中运动过程，有
Q'总＝m－0
电阻R1产生的热量为Q'1＝Q'总
电阻R1产生的总热量为Q1总＝Q1＋Q'1
解得Q1总＝
【针对性训练】
1.（2025年元月浙江诸暨质检）高速公路上传统的避险车道是利用路边斜坡进行制动避险。某研究性学习小组 基于电磁感应原理设计了由测速系统和制动系统组成的水平路面避险车道，如图甲所示。 其工作原理如图乙所示：车厢底部装有励磁线圈(图中未画出)的汽车在进入避险车道时 通过控制系统使线圈通电，可在边长为L的正方形虚线区域内产生竖直向下的匀强磁场；测速系统是一个长为L、宽为L2(L1>L>L2)的固定矩形线圈；制动系统是在路面铺设一块足够大的金属板，金属板的厚度为d,电阻率为ρ。为了研究方便，金属板中只考虑 与正方形励磁线圈正对部分的磁场和电阻，其他部分的磁场和电阻均忽略不计。在某次模 拟试验过程中，汽车刚到达测速线圈时，测速线圈产生的感应电流大小为I0。已知汽车的总质量为M,，励磁线圈产生匀强磁场的磁感应强度大小B，,测速矩形线圈的电阻为R，,不 计汽车所受到的其他阻力，不考虑磁场运动产生的其它因素。
(1)汽车刚到达测速线圈时，
①求测速线圈产生的感应电流方向(从上往下看：选“顺时针”或“逆时针”);
②求汽车速度的大小；
(2)求汽车通过测速线圈的过程中，线圈受到安培力冲量的大小；
(3)若汽车刚到达金属板时的速度为v0,，求此后汽车在金属板上滑行的距离x0。
【解析】
(1)①测速线圈产生的感应电流方向：“逆时针”
②设汽车速度的大小为v,由法拉第电磁感应定律
E=BLv (1分)
由闭合电路欧姆定I0=E/R：
联立解得： v= (1分)
(2)设线圈中电流为i在△t微小时间内受到安培力的冲量的大小为△I,则
△I=BiL·△t (1分)
将i=BLv/R 代入得 △I=v△t
求和 Σ△I=Σv△t
注意到Σ△I=IA，Σv△t=L2
联立解得励磁线圈前侧导线通过磁场受到的安培力冲量IA =
整个励磁线圈通过磁场受到的安培力冲量为2IA =2
(3)在磁场进入金属板的过程中，设磁场进入长度为x时产生的电流为I1,则
I1=E/R，E=BLv，R=ρ，联立解得 I1=(1分)
设磁场进入金属板的过程中，安培力冲量大小为IAi,则
IA1=ΣBI1L·△t=Σ△t=Σ△x
注意到Σx△x=，得IA1=
在磁场完全进入金属板后，设产生的电流为I2,则
I2=E/R，E=BLv，R=ρ，联立解得 I2=
在磁场完全进 入金属板后，设安培力冲量大小为IA2,则
IA2=ΣBI2L·△t=Σ△t=Σ△x
注意到Σ△x=x0-L，得IA2=（x0-L）
根据动量定理：
- IA1- IA2=M(0-v0) (1分)
得： x0=+L/2 (1分)
2.（11分）（2025浙江名校协作体联考）如图所示，间距为与水平面夹角的平行金属轨道间存在垂直轨道平面向下、磁感应强度为（满足的匀强磁场，平行导轨通过单刀双掷开关与一只阻值为的电阻或减速装置相连，减速装置由半径为的圆环、转轴和一根阻值为的金属短棒焊接而成，圆环边缘和转轴通过电刷连入电路。圆环内存在垂直圆环平面向上、磁感应强度为的匀强磁场。质量为阻值为的金属杆垂直轨道放置，初始位置离轨道底端终点的距离为，不计杆与轨道间的摩擦，忽略焊点、电刷、导线和导轨的电阻。现将开关打到端与电阻相连，将金属杆由静止释放，最终金属杆匀速冲过终点；再将开关打到端与减速装置相连，将金属杆放回初始位置，并使其获得平行斜面向下、大小为的初速度，同时在外力控制下使减速装置绕轴顺时针（从上往下观察）转动，使得金属杆做匀减速运动，最终金属杆恰好在终点处速度减为零。求：（答案用不包含的字母、数字表示，重力加速度用表示）：
（1）开关打到时，金属杆最终的速度；
（2）开关打到时，金属杆到达轨道底端终点的时间；
（3）开关打到时，减速装置转动的角速度与运动时间的关系。
【名师解析】.（11分）（1）杆最终匀速：（1分）
（1分）（写也给1分）
解得：（1分）
（2）根据动量定理：
（2分）
解得：（1分）
（3）金属杆做匀减速运动，（1分）（1分）
解得
（1分）
解得：
（1分）
（1分）
3. （2024山东菏泽高二期末）如图所示，两足够长平行金属直导轨MN、PQ的间距为L，固定在同一水平面内。MP连线与直导轨垂直，整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。质量为2m、电阻为6R的均匀金属丝制成一个半径为L的圆环，水平放置在两直导轨上，其圆心到两直导轨的距离相等。现将长为L、质量为m、电阻为R的金属棒ab从一定高度处以速度水平抛出，不计空气阻力，恰落在MP处，与平行金属直导轨MN、PQ碰撞后竖直方向速度突变为0，水平方向速度不变，忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属环的可能形变，金属棒、金属环均与导轨始终接触良好，重力加速度大小为g。求
（1）在接触MP之前，ab棒两端间的电势差；
（2）金属环刚开始运动时的加速度大小；
（3）为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，金属环圆心初始位置到MP的最小距离和该过程中ab棒上产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）；（3），
【解析】（1）根据题意可知，对金属棒ab平抛过程中，只有水平方向的速度切割磁感线，故在接触MP之前，ab棒两端间的电势差
（2）根据题意可知，导轨电阻不计，金属环在导轨间两段圆弧并联接入电路中，轨道外侧的两端圆弧金属环被短路，由几何关系可得，每段圆弧的电阻为
可知，整个回路的总电阻为.
ab刚接触MP时，竖直速度突变为零，通过ab的感应电流为
对金属环由牛顿第二定律有
解得
（3）根据题意，结合上述分析可知，金属环和金属棒ab所受的安培力等大反向，则系统的动量守恒，由于金属环做加速运动，金属棒做减速运动，为使ab在整个运动过程中不与金属环接触，则有当金属棒ab和金属环速度相等时，金属棒ab恰好追上金属环，设此时速度为v，由动量守恒定律有
解得
对金属棒ab，由动量定理有
则有
设金属棒运动距离为，金属环运动的距离为，则有
联立解得
则:金属环圆心初始位置到MP的最小距离
由能量守恒得
ab棒上产生的焦耳热
4.（16分）（2024年7月湖南名校联考）如图所示，两间距为L、足够长的光滑平行直导轨固定在绝缘水平地面上，左端固定一阻值为R的定值电阻。空间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，质量为m的导体棒紧靠电阻垂直放在导轨上，时刻作用于导体棒的水平恒力F使导体棒由静止开始做加速运动，当导体棒达到最大速度时对应的加速距离为d，此时撤去外力F，同时匀强磁场随时间按照某种规律变化，使得导体棒始终做匀速直线运动，已知导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，电路中其他电阻均不计。求：
（1）导体棒的最大速度v；
（2）电阻上产生的热量Q；
（3）通过回路中某截面的电荷量q；
（4）导体棒匀速运动时匀强磁场的磁感应强度大小随时间t的变化规律。
【名师解析】：（1）导体棒达到最大速度时，安培力大小等于F，设导体棒达到最大速度时产生的电动势为E，则有
（1分）
（1分）
解得。（1分）
（2）电阻上产生的热量Q等于导体棒克服安培力做的功，所以有
（2分）
解得。（1分）
（3）设导体棒的加速时间为，加速过程中的平均速度为，对应的平均电动势为，平均电流为，则有
（1分）
（1分）
（1分）
解得。（1分）
（4）撤去外力F后导体棒做匀速直线运动，说明穿过闭合回路的磁通量保持不变，导体棒达到最大速度时穿过闭合回路的磁通量为BLd，导体棒达到最大速度后在t时刻的磁感应强度大小为，则有
（2分）
对导体棒应用动量定理有（2分）
对上式两边求和得（1分）
解得。（1分）
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