10.5 分式方程 同步提优练习 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

10.5 分式方程
第 1 课时 分式方程 (1)
1.(2024·济宁中考)解分式方程 时，去分母变形正确的是( ).
A. 2-6x+2=-5 B. 6x-2-2=-5
C. 2-6x-1=5 D. 6x-2+1=5
2.若x=3是关于x的方程 的解,则k 的值为( ).
A. 1 B. 2 C. D. 3
3.小丽与小明为艺术节做小红花，两人每小时共做38朵.已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵 若设小明每小时做小红花x 朵，则根据题意，可直接列方程为( ).
A. 100x=90(38-x) B. 100(38-x)=90x
4.分式方程 的解是 .
5.解方程：
6.(2023·十堰中考)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为().
7.关于x的方程 的解是大于1 的数，则a 的取值范围是 .
8.(南师附中特长生)方程 的正整数解(x，y)有 组.
9.若关于 y 的分式方程 的解为正数，则a 的取值范围是 .
10.用换元法解方程 若设 则原方程可化为关于 y 的整式方程为 .
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11.解方程:
12. (2024·陕西中考)解方程:
13.中考新考法 类比猜想 解方程：
的解x= ;
的解x= ;
的解x= ;
的解x= ;
…
(1)根据你发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数n 的式子表示上述规律，并求出它的解.
14.先阅读下列一段文字，然后解答问题.
已知：方程 的解是
方程 的解是
方程 的解是
方程 的解是
问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程 的解，并检验.
15.我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买 A、B两种绿植，已知A 种绿植单价是B 种绿植单价的3倍，用6750元购买的A 种绿植比用3000元购买的B 种绿植少 50 株.设B 种绿植单价是x 元，则可列方程是( ).
16. (2024·北京中考)方程 的解为
17.(2024·广州中考)解方程:
第2课时 分 式 方 程 (2)
1.(2024·德阳中考)分式方程 的解是( ).
A. x=3 B. x=2
2.(2024·泸州中考)分式方程 的解是( ).
B. x=-1
D. x=3
3.用换元法解分式方程 时，如果设 那么原方程可以变形为整式方程( ).
4.(2023·巴中中考)关于 x 的分式方程 有增根,则m= .
5.解方程：
6.(2023·金昌中考)方程 的解为( ).
A. x=--2 B. x=2
C. x=-4 D. x=4
7.关于x的分式方程 的解为正数，则a 的取值范围是 .
8.(2024·无锡宜兴一模)若关于x 的分式方程 有增根，则m的值为 .
9.中考新考法满足结论的条件开放(2024·南通崇川区月考)已知关于x的方程：
(1)当m为何值时，方程无解
(2)当m为何值时，方程的解为负数
10.关于x的分式方程 的根是正数，试确定 a 的取值范围.
关于本题，有同学解答如下：
解:两边同乘(x-3),得x-a=-2(x-3),化简,得3x=a+6,所以
因为原方程的根是正数，
所以 得a>-6.
所以当a>-6时，原方程的根是正数.
你认为上述解法正确吗 如果不正确，请说明出错原因，并写出正确解答.
11.已知关于x的分式方程
(1)若方程的增根为x=2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a 的值；
(3)若方程无解，求a 的值.
12.阅读理解题 先仔细阅读第(1)题,再解答第(2)题.
(1)当a 为何值时，方程 会产生增根
解方程:两边同时乘(x-3),得x=2(x-3)+a①，因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根,所以将x=3代入①,得3=2×(3-3)+a,所以a=3.
(2)当m为何值时，方程 会产生增根
13.(2024·齐齐哈尔中考)如果关于x 的分式方程 的解是负数，那么实数m 的取值范围是( ).
A. m<1且m≠0 B. m<1
C. m>1 D. m<1且m≠-1
14.(2024·重庆中考)若关于 x 的不等式组 至少有2个整数解，且关
于 y的分式方程 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 .
第3课时 分 式 方 程 (3)
1.(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的 1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程( ).
2.(2024·苏州高新区一模)题目如下：“甲、乙两位同学做中国结，已知★，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数.”★部分为被墨迹弄污的条件，根据下方的解题过程，被墨迹弄污的条件应 是 .
解：设甲每小时做x个，由题意，得
3.如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家的路程为 3 km，王老师家到学校的路程为0.5km.由于小明父母在外工作，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天骑自行车接小明上班比平时独自步行上班多用了 2 0 min，问：王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少
4.(2023·徐州中考)随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往.已知甲、乙两条路线的长度均为12km，甲路线的平均速度为乙路线的 倍，甲路线的行驶时间比乙路线少10 min，求甲路线的行驶时间.
5.(2024·大庆中考)为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段(简称峰时)：7:00—23:00,用电低谷时段(简称谷时):23：00—次日 7：00，峰时电价比谷时电价高0.2元/度.市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
6.(2024·云南中考)某旅行社组织游客从 A 地到B地的航天科技馆参观，已知 A 地到B 地的路程为300千米，乘坐C 型车比乘坐D 型车少用2小时，C型车的平均速度是D 型车的平均速度的3倍，求D 型车的平均速度.
7.新情境 践行环保理念(2023·乐山中考)为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵
8.某家电商场经销A 种型号电视机，五月份为刺激消费，购买 A 种型号电视机每台降价500元(享受政府补贴).如果卖出相同数量的A种型号电视机，五月份以前的销售额为5万元，如今的销售额减少1万元.
(1)求如今 A 种型号电视机每台售价多少元.
(2)为了增加收入，家电商场决定再经销售价为5000元的 B 种型号电视机，五月份A、B两种型号电视机共销售85台，如果销售额不低于26万元，则B 种型号电视机销售不低于多少台
9.(2024·宿迁中考)某商店购进A、B 两种纪念品，已知纪念品 A 的单价比纪念品 B 的单价高10元.用 600 元购进纪念品 A 的数量和用400 元购进纪念品 B 的数量相同.
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A 的数量不少于纪念品B 数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少
10.某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用为76元，从A 地到 B地用电行驶纯电费用为26 元，已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯电费用多0.5元.
(1)求每行驶1千米纯用电的费用.
(2)若要使从 A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米
11.某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，用90元购进甲种牛奶的数量与用 100元购进乙种牛奶的数量相同.
(1)求甲、乙两种牛奶的进价分别是多少元；
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶数量的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润(利润=售价—进价)超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案.
12.(2024·威海中考)某公司为节能环保，安装了一批A 型节能灯，一年用电16 000 千瓦时.后购进一批相同数量的 B 型节能灯，一年用电9600千瓦时.一盏A 型节能灯每年的用电量比一盏B 型节能灯每年用电量的2 倍少32千瓦时.求一盏A 型节能灯每年的用电量.
13.(2024·雅安中考)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15 天完成铺设任务.
(1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米
(2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工
第1课时 分 式 方 程 (1)
1. A [解析]原方程两边同乘2(1-3x),得2(1-3x)+2=-5,即2-6x+2=-5.故选 A.
2. B [解析]把x=3代入方程得 解得k=2.故选B.
思路引导 本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
3. C [解析]设小明每小时做小红花x朵，则小丽每小时做小红花(38-x)朵，根据题意，得 故选C.
4. x=-4 [解析]去分母,得3x=2x-4,解得x=-4,经检验，x=-4是原分式方程的解.
5.方程两边同时乘x(x-1),得2(x-1)=3x,解得x=-2.经检验，x=-2是原分式方程的解，故原分式方程的解为x=-2.
6. A [解析]设每个足球的价格为x 元，可列方程为 故选 A.
7. a<-3且a≠-4 [解析]去分母,得2x+a=x-2,解得x=-a-2.由分式方程的解是大于1的数，得—a—2>1且-a—2≠2,解得a<-3且a≠-4.
故a的取值范围是a<-3且a≠-4.
8.3 [解析]原方程可化为8y+ xy=8x,即 xy-8x+8y-64=-64,即(x+8)(y-8)=-64.结合x、y为正整数可得
或 或
解得(x,y)=(56,7)或(24,6)或(8,4),共3组.
9. a<5且a≠2 [解析] 去分母,得2-a=3y-3,解得 ∵方程的解为正数， 解得a<5且a≠2.
[解析]: 3x)，∴分式方程可变为 用y代替. 得 两边都乘y并移项，得
11.去分母,得( 整理，得 移项、合并同类项,得4x=-24,解得x=-6.检验:当x=-6时,(x+3)(x-3)≠0,∴分式方程的解为x=-6.
12.方程两边都乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,所以分式方程的解是x=-3.
13.①0 ②1 ③2 ④3
(1)第⑤个方程: 它的解为x=4；
第⑥个方程： 它的解为x=5.
(2)第n个方程: 的解为x=n-1.
14.猜想：方程 的解是
检验：将 代入原方程，
得左边 故左边=右边；
将 代入原方程，得
左边 故左边=右边.
是原方程的解.
15. C [解析]∵A 种绿植单价是 B 种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，∴A 种绿植单价是3x元.根据题意，得 故选 C.
16. x=-1
17.原方程去分母,得x=6x-15,解得x=3,检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,故原方程的解为x=3.
第2课时 分式方程(2)
1. D [解析]原方程去分母,得x+3=5x,解得x= ，经检验， 是原分式方程的解.故选 D.
2. D [解析]去分母,得1-3(x-2)=-2,整理,得-3x=-9,解得x=3.经检验,x=3是原方程的解，所以原方程的解为x=3.故选D.
3. D [解析]
∴原方程可以变形为
整理，得 故选 D.
思路引导本题考查了用换元法解分式方程，根据换元法，把 换成y，然后整理即可求解.
4.-1 [解析]去分母,得x+m-1=3(x-2),由题意,得x=2是该整式方程的解,∴2+m-1=0,解得m=-1.
■ 思路引导 本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
5.(1)x=-5 (2)x= (3)x=3
6. A [解析]去分母,得2x+2=x,解得x=-2,经检验x=-2是原分式方程的解.故选 A.
7. a<5且a≠3 [解析]去分母,得1-a+2=x-2,解得x=5-a,由5-a>0,解得a<5.
∵x≠2,∴a≠3,∴a的取值范围是a<5且a≠3.
8.-1 [解析]
∵关于x的分式方程 有增根， 解得m=-1.
9.(1)由原方程,得2x= mx-2x-6,整理,得(4-m)x=-6.
①当4-m=0,即m=4时,原方程无解;
②当分母x+3=0,即x=-3时,原方程无解,则(4-m)×(-3)=-6,解得m=2.
综上所述，当m=2或4时，原方程无解.
(2)由(1),得(4-m)x=-6,
当m≠4时, 解得m<4.
又由(1)得m≠2,所以当m<4且m≠2时,方程的解为负数.
10.不正确,应注明x≠3,所以a≠3.
所以a的取值范围是a>-6且a≠3.
11.(1)原方程去分母并整理,得(3-a)x=10.
因为原方程的增根为x=2，
所以(3-a)×2=10,解得a=-2.
(2)因为原分式方程有增根，
所以x(x-2)=0,解得x=0或x=2.
因为x=0不可能是整式方程(3-a)x=10的解,
所以原分式方程的增根为x=2，
所以(3-a)×2=10,解得a=-2.
(3)①当3-a=0,即a=3时,整式方程(3-a)x=10无解，则原分式方程也无解；
②当3—a≠0时，要使原方程无解，
则由(2)知,此时a=-2.
综上所述，a的值为3或-2.
12.方程两边同乘y(y-1),得. 即
∵方程有增根,∴y(y-1)=0,解得y=0或y=1.
(舍去)或 解得m=±1.
13. A [解析] mx=-1,(1-m)x=-1,x=--m . ∵关于x的分式方程 的解是负数,∴m--1<0且m--1≠-1,解得m<1且m≠0.故选 A.
14.16 [解析] 解不等式①，得x<4，解不等式②，得 ∴该不等式组的解集为 ∵该不等式组至少有2个整数解， 解得a≤8.
解分式方程 得 由题意，得当a=8时, 当a=6时, 2;当a=4 时, (不合题意，舍去)；当a=2时, °。所有满足条件的整数a的值为8、6和2,∴8+6+2=16,∴所有满足条件的整数a的值之和为16.
第3课时 分 式 方程(3)
1. D [解析]设甲车的速度为 xkm/h，则乙车的速度为1.2x km/h,由题意得 即 故选 D.
2.乙每小时比甲多做6个中国结
3.设王老师步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为3xkm/h.
依题意，得 解得x=5.
经检验，x=5是原分式方程的解，则3x=15.
故王老师步行的速度为5k m/h，骑自行车的速度为15km/h.
4.设甲路线的行驶时间为x min，则乙路线的行驶时间为(x+10) min,
由题意，得 解得x=20.
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，故甲路线的行驶时间为 20 min.
5.设该市谷时电价为x元/度，则该市峰时电价为(x+0.2)元/度，根据题意得 解得x=0.3,经检验，x=0.3是所列方程的解，且符合题意.
故该市谷时电价为0.3元/度.
6.设D 型车的平均速度是x千米/小时，则C 型车的平均速度是3x千米/小时，根据题意得 2,解得x=100,
经检验，x=100是所列方程的解，且符合题意.
故D 型车的平均速度是100千米/小时.
7.设原计划每天种植梨树x棵，则实际每天种植梨树(1+20%)x棵,
根据题意，得 解得x=500.
经检验，x=500是所列方程的解，且符合题意.
故原计划每天种植梨树500棵.
■归纳总结 列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审：审清题意，找出相等关系和数量关系；
2.设：根据所找的数量关系设出未知数；
3.列：根据所找的相等关系和数量关系列出方程；
4.解：解这个分式方程；
5.验：对所解的分式方程进行检验，包括两层，不仅要使实际问题有意义，还要使分式方程有意义；
6.答：写出分式方程的解.
8.(1)设如今A 种型号电视机每台售价x元，根据题意，得 解得x=2000.
经检验，x=2000是原分式方程的解.
故如今A 种型号电视机每台售价2000元.
(2)设B 种型号电视机销售m台，
根据题意,得5000m+2000(85-m)≥260000,解得 m≥30.故 B 种型号电视机销售不低于30台.
9.(1)设A 种纪念品的单价为x元，则B 种纪念品的单价为(x-10)元,
根据题意，得
解得x=30,
经检验x=30是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为x-10=20.
故纪念品A、B的单价分别是30元和20元.
(2)设A种纪念品购进a件，总费用为y元，
则y=30a+20(400-a)=10a+8000,
又
解得
∵10>0.
∴y随x的增大而增大，
∴当x=267时，购买这两种纪念品总费用最少，这时A 种纪念品购进267件，B种纪念品购进400—267=133(件)，两种纪念品总费用最少.
10.(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x元，
由题意，得 解得x=0.26.
经检验，x=0.26是原分式方程的解.
故每行驶1千米纯用电的费用为0.26元.
(2)A、B两地相距 (千米),
设用电行驶y千米，则用油行驶(100-y)千米.
由题意,得0.26y+(100-y)×(0.26+0.5)≤39.
解得y≥74.故至少用电行驶74千米.
11.(1)设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件(x-5)元，
由题意，得 解得x=50.
经检验，x=50是原分式方程的解.
故甲、乙两种牛奶的进价分别是45元、50元.
(2)设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶(3y-5)件，由题意，得 解得23∵y为整数,∴y=24或25.∴共有两种方案:
方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件.
12.设一盏 B 型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A 型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时，根据题意，得 解得x=96,经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意，∴2x-32=2×96-32=160(千瓦时).
故一盏A 型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
13.(1)设原计划每天铺设管道x 米，则实际每天铺设管道(1+25%)x=1.25x米,
根据题意，得 解得.x=40,经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，∴1.25x=50.
故原计划与实际每天铺设管道分别为40米、50米.
(2)设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75(天),根据题意,得 300×75y≤180000,解得 y≤8,
∴不等式的最大整数解为8.故该公司原计划最多应安排8名工人施工.