第2课时矩形(2) 同步提优练习 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

9.4 矩形、菱形、正方形
第2课时矩 形(2)
1.要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是( ).
A.测两组对边是否相等
B.测对角线是否相等
C.测对角线是否互相平分
D.测对角线交点到4个顶点的距离是否都相等
2.在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是( ).
A. AB∥CD B. AD=BC
C. ∠A=∠B D. ∠A=∠D
3.满足结论的条件开放 (2024·泰州高港区期中)如图,在 ABCD 中,AC、BD 相交于点 O,点E、F在BD上,BE=DF,顺次连接A、F、C、E,添加一个条件使得四边形AECF 是矩形，则该条件可以是 .(填一个即可)
4. 如图,已知四边形 ABCD是平行四边形，点C 是线段BE 的中点.
(1)求证：四边形 ACED 是平行四边形；
(2)若AB=AE,求证:四边形ACED 是矩形.
5.如图，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且AB=6,AC=8，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点 D分别作DM⊥AB 于点M,DN⊥AC 于点 N,连接MN，则线段MN 的最小值为( ).
A. 4.8 B. 5 C. 3.6 D. 5.4
6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，动点 E 以每秒1个单位长度的速度从点 A 出发沿AC 方向运动，点F 同时以每秒1个单位长度的速度从点 C 出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过 秒后,四边形 BEDF 是矩形.
7.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点O.
(1)若 DE⊥AC 于点 E,BF⊥AC于点F,求证:AE=CF;
(2)若 求证：四边形ABCD 为矩形.
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8.满足结论的条件开放 (2024·镇江一模)如图,已知 Rt△ABF 和 Rt△DCE 的边BF、CE在同一条直线上,∠BAF=∠CDE=90°,AB=DC,BE=CF.
(1)求证:△ABF≌△DCE;
(2)已知AB=3,AF=4,连接AE、DF、AD,当AE= 时,四边形 AEFD 是矩形.
9.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD的中点,连接CE 并延长，与BA 的延长线交于点 F.
(1)求证:EF=EC;
(2)连接AC、DF,若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF 为矩形.
10.如图,在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC绕点C顺时针旋转 180°得到△FEC.
(1)试猜想 AE 与BF 有何关系 说明理由.
(2)若△ABC的面积为3cm ,求四边形ABFE的面积.
(3)当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形 说明理由.
11.(2024·兰州中考改编)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形 ADCE 是矩形;
(2)若BC=4,CE=3,求AC的长.
第2课时 矩 形(2)
1. D [解析]A.测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项 A不符合题意；
B.测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C.测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；
D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意.故选 D.
2. C [解析]A.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形，由AB=CD，不能判定四边形 ABCD为矩形，故选项 A不符合题意；
B.∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形，由AB=CD，不能判定四边形ABCD 为矩形，故选项B不符合题意；
C.∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°.∵∠A=∠B,
∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,
∴AB 的长为AD与BC间的距离.∵AB=CD,
∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,
∴四边形 ABCD 是矩形，故选项C符合题意；
D.∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°.∵∠A=∠D,∴∠B=∠C.∵AB=CD,∴四边形 ABCD 可能是等腰梯形，故选项 D不符合题意.故选C.
3.∠EAF=90°(答案不唯一) [解析]添加∠EAF=90°,使得四边形AECF 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,∴BE--BO=DF--OD,即OE=OF,
∴四边形AECF 是平行四边形.
又∠EAF=90°,∴四边形AECF 是矩形.
4.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE.
∵AD∥CE,∴四边形ACED 是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=DC.∵AB=AE,∴DC=AE.
又四边形ACED 是平行四边形，
∴四边形 ACED 是矩形.
5. A [解析]∵∠BAC=90°,且AB=6,AC=8,
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°,
∴四边形 DMAN 是矩形,∴MN=AD,
∴当AD⊥BC时,AD的值最小.
此时，
∴MN 的最小值为4.8.故选 A.
6.2或10 [解析]设运动的时间为t 秒，
∵四边形ABCD 是平行四边形,AC=12,BD=8,
∵AE=CF=t,∴OE=OF=6-t或OE=OF=t-
6,∴四边形 BEDF 是平行四边形,
∴当EF=BD时,四边形 BEDF 是矩形,∴OE=OD,∴6-t=4或t-6=4,∴t=2或t=10,
∴经过2秒或10秒，四边形 BEDF 是矩形.故答案为2或10.
7.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEA=∠BFC=90°.
在△DEA 与△BFC中
∴△DEA≌△BFC(AAS),∴AE=CF.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∴AC=BD,∴平行四边形 ABCD 是矩形.
8.(1)∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△DCE 中,
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
(2) [解析]∵AB=3,AF=4,∠BAF=90°,
由(1)可知,Rt△ABF≌Rt△DCE,∴∠B=∠C.
在△ABE 和△DCF 中,
∴△ABE≌△DCF(SAS),∴AE=DF.
当AE⊥BC时,DF⊥BC,∴AE∥DF,
∴四边形 AEFD 是平行四边形.
∵∠AEF=90°,∴平行四边形AEFD 是矩形,此时，
9.(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠EAF=∠EDC.
∵E 是AD中点,∴AE=DE.
又∠FEA=∠DEC,∴△EAF≌△EDC(ASA),∴EF=EC.
(2)如图,
∵EF=EC,AE=DE,
∴四边形ACDF 是平行四边形.
∵CA平分∠FCB,∴∠ACB=∠ECA.
∵AD∥BC,∴∠EAC=∠BCA,
∴∠ACE=∠EAC,∴AE=CE,∴AD=FC,
∴平行四边形ACDF 为矩形.
10.(1)AE 与BF 平行且相等.理由如下:
由旋转可知AC=CF,BC=CE,∠ACE=∠BCF,∴△ACE≌△FCB(SAS).
∴AE=BF,∠1=∠2.∴AE∥BF.
即 AE 与BF 的关系为AE 与BF 平行且相等.
(2)∵△ACE≌△FCB,∴S△ACE=S△BCF.
又BC=CE,∴S△ABC=S△ACE.
同理S△CEF=S△BCF.
∴S四边形ABFE=3×4=12(cm ).
(3)当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形.理由如下:
∵BC=CE,AC=CF,
∴四边形ABFE 为平行四边形.∵AB=AC,
∴当∠ACB=60°时,△ABC 为等边三角形.
∴BC=AC.∴AF=BE.∴四边形ABFE 为矩形.即当∠ACB=60°时,四边形ABFE 为矩形.
11.(1)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形 ADCE 是矩形.
(2)∵在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,
由(1)可知,四边形ADCE 是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°.
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
由勾股定理得
归纳总结 矩形的判定方法：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形；
(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.