第4课时 菱 形 同步提优练习 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

第4课时 菱 形(2)
1.(2024·无锡金桥双语实验学校一模)如图，在□ABCD中,点 E、F 分别是AB、CD 的中点,AF 与DE 交于点G,BF 与CE 交于点H,下列说法:
①四边形 AECF 是平行四边形；
②四边形 EHFG 是平行四边形；
③当AB⊥BC时,四边形EHFG 是菱形;
④当AB=BC时,四边形EHFG是矩形.其中正确的有( ).
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
2.中考新考法 满足结论的条件开放 如图，在四边形AB-CD 中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD 为菱形，应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)
3.如图,在△ABC 中,AB=AC,M 是BC 的中点,MD⊥AB,ME⊥AC,DF⊥AC,EG⊥AB,垂足分别为 D、E、F、G,DF、EG 相交于点P，四边形 MDPE 是菱形吗 为什么
4.(2024·南通一模)如图,四边形 ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添加下列一个条件能判定四边形 ABCD 是菱形的是( ).
A. AC=BD B. ∠ADB=∠CDB
C. ∠ABC=∠DCB D. AD=BC
5.(2024·陕西渭南期中)如图,在菱形ABCD 中,AB=5,BD=8,点 P 为线段BD 上不与端点重合的一个动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥CD 于点F,连接 PA,在点 P 的运动过程中,PE+PA+PF 的最小值为 .
6. 如图,点 E、F 分别在□ABCD的边AB、CD 的延长线上,且BE=DF,连接AC、EF、AF、CE,AC与EF 交于点O.
(1)求证:AC、EF 互相平分;
(2)若 EF 平分∠AEC.求证:四边形 AECF是菱形.
中小学教育资源及组卷应用平台
7.如图,在 ABCD中,AE 是边BC 上的高,将△ABE 沿BC 方向平移,使点 E 与点C 重合,得△GFC.
(1)求证:BE=DG.
(2)若∠B=60°,当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形 证明你的结论.
8.(2024·扬州仪征三模)如图,在□ABCD中,E 为CD边上一点，F为AB 延长线上一点，且DE=BF.过F 作FG∥AE,交CB 的延长线于点 G.
(1)求证:△ADE≌△GBF;
(2)当 BE=BC 时,判断四边形 AGFE 的形状，并说明理由.
9.如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,点 E、F 分别是AB、AD 上两个动点,若AE=DF,连接BF 与DE 相交于点G,连接CG,交 BD于点H.
(1)求∠BGE 的大小;
(2)求证:GC平分∠BGD.
10.(2024·扬州中考)如图(1)，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图(2)位置时，四边形 ABCD 的面积为8cm ,求此时直线 AD、CD 所夹锐角∠1的度数.
第4课时 菱 形(2)
1. B
2. AB=CD(答案不唯一) [解析]添加的条件是
AB=CD. 理由如下:∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC⊥BD,∴平行四边形ABCD 是菱形.
3.是.理由如下：
∵MD⊥AB,EG⊥AB,∴DM∥GE.
∵ME⊥AC,DF⊥AC,∴ME∥DF.
∴四边形 MDPE 是平行四边形.
∵M是BC的中点,AB=AC,
∴∠B=∠C,BM=CM.
又∠BDM=∠CEM=90°,
∴△BDM≌△CEM(AAS).∴DM=ME.
∴平行四边形 MDPE 是菱形.
4. B [解析]∵AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
又OA=OC,∴△AOB≌△COD(AAS),
∴AB=CD,∴四边形ABCD 是平行四边形.
A.当AC=BD时,四边形ABCD 是矩形,故选项 A不符合题意；
B.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB.
∵∠ADB=∠CDB,∴∠ADB=∠ABD,
∴AD=AB.
∴四边形ABCD 为菱形，故选项 B符合题意；
C.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠ABC=∠DCB,∴∠ABC=∠DCB=90°,
∴四边形 ABCD 是矩形，故选项C不符合题意；
D.当AD=BC时,不能判定四边形ABCD 为菱形,故选项D不符合题意.故选 B.
5.7.8 [解析]如图,连接AC交BD 于点O,连接 PC,
∵四边形ABCD 是菱形,
… =CD=5,
在Rt△AOB 中,由勾股定理,得
∴OC=OA=3,
∵PE⊥BC,PF⊥CD,S△BCP+S△CDP=S△BCD,
∴5PE+5PF=8×3,解得PE+PF=4.8,即 PE+PF 的值为定值4.8,
当 PA 最小时,PE+PA+PF有最小值,
∵PA 的最小值为3,
∴PE+PA+PF 的最小值=4.8+3=7.8.
6.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥DC.
∵BE=DF,∴AB+BE=DC+DF,即AE=CF.
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四边形 AECF 是平行四边形.∴AC、EF 互相平分.
(2)∵AB∥DC,∴∠AEO=∠CFO.
∵EF 平分∠AEC,∴∠AEO=∠CEO,
∴∠CEO=∠CFO,∴CE=CF.
由(1)可知，四边形AECF 是平行四边形，∴平行四边形 AECF 是菱形.
7.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.
∵AE 是边BC上的高,且CG 是由AE 沿BC方向平移而成,∴CG⊥AD.∴∠AEB=∠CGD=90°.
∵AE=CG,又AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL).∴BE=DG.
(2)当 时，四边形ABFG 是菱形.
证明如下：
∵AB∥GF,AG∥BF,
∴四边形ABFG 是平行四边形.
在 Rt△ABE 中,∵∠B=60°,
∴平行四边形 ABFG 是菱形.
8.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,∠D=∠ABC,AD=BC,
∴∠AED=∠EAF.
∵FG∥AE,∴∠EAF=∠GFB,
∴∠AED=∠GFB.
∵∠ABC=∠GBF,∴∠D=∠GBF,
在△ADE 和△GBF 中
∴△ADE≌△GBF(ASA).
(2)四边形 AGFE 是菱形,理由如下:
如图,连接EG,交AF 于点O,
由(1)△ADE≌△GBF,得AD=GB,AE=GF.
∵FG∥AE,AE=GF,
∴四边形AGFE 是平行四边形,∴OE=OG.
∵AD=GB,AD=BC,∴GB=BC.
又BE=BC,∴BE=BG,
∴△BEG为等腰三角形.
∵OE=OG,∴BO⊥EG,即AF⊥EG,
∴平行四边形AGFE 是菱形.
9.(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB.
∵∠BAD=60°,∴△ADB 是等边三角形.
∴AD=AB=BD,∠DAB=∠ADB=∠ABD.
∵AE=DF,∠DAB=∠ADB=60°,AD=BD,
易证△ADE≌△DBF(SAS).∴∠ADE=∠DBF.
又∠BGE=∠BDE+∠DBF=∠BDE+∠ADE=∠ADB,∴∠BGE=∠ADB=60°.
(2)如图,过点C作CN⊥BF 于点N,过点C作CM⊥ED 于点M.
由(1),得∠ADE=∠DBF,
又∠DEB=∠MDC,∴∠CBF=∠CDM.
∵BC=CD,∠CBF=∠CDM,∠CNB=∠CMD=90°,∴Rt△CBN≌Rt△CDM(AAS).
∴CN=CM.又CN⊥BF,CM⊥ED.
∴点C 在∠BGD的平分线上,即GC平分∠BGD.
10.(1)四边形 ABCD 是菱形,理由如下:如图(1),过点C作CH⊥AB,垂足为 H,CG⊥AD,垂足为G,
∵两个纸条为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵S□ABCD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,
∴AB=AD,∴四边形ABCD 是菱形.
(2)如图(2),作AM⊥CD,垂足为M,∵S菱形ABCD=CD·AM=8cm ,且AM=2cm,∴CD=4cm,∴AD=CD=4cm,∴∠1=30°.