第3课时 菱 形(1) 同步提优练习 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

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第3课时 菱 形(1)
1.已知在菱形ABCD 中,AB=5,对角线 AC=8，则菱形一边上的高等于( ).
A. 9.6 B. 4.8 C. 5 D. 2.4
2.如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=120°.已知△ABC 的周长是 15,则菱形 ABCD 的周长是( ).
A. 25 B. 20 C. 15 D. 10
3. 如图,菱形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,∠ADC=60°,AC=10,点 E 为AD 中点,则OE 的长为 .
4.(2024·宿迁沭阳期末)若菱形的两条对角线的长是6cm和8cm,则这个菱形的周长是 cm.
5.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD交于点O，过点D 作DE∥AC交BC的延长线于点 E.
(1)求证:DE=2OC;
(2)若AB=5,BD=8,求四边形ACED的面积.
6.(2024·无锡惠山区期中)小明在研究某个菱形时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是( ).
A.菱形一条对角线长为6
B.菱形的面积为26
C.菱形的对角线均为整数
D.菱形的周长为20
7.(2024·南通二模)如图,在菱形ABCD 中,∠B=α，点P 是AB 上一点(不与端点重合)，点A关于直线DP 的对称点为E，连接AE、CE，则∠AEC 的度数为( ).
8.如图,四边形 ABCD 是菱形,AE⊥BC 于点 E,AF⊥CD 于点F.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.
9.如图,菱形ABCD 的边长为2,BD=2,点 E、F分别是边AD、CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF 的形状，并说明理由.
10.(2024·苏州工业园区期末改编)如图，将两块完全相同的含有 30°角的直角三角尺 ABC、DEF 在同一平面内按如图方式摆放，其中点 A、E、B、D 在同一直线上,连接AF、CD.
(1)求证：四边形ACDF 是平行四边形；
(2)若四边形ACDF 是菱形,求∠BCD的度数.
11. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD= 动点 P 在直线BC 上运动,作∠APM=60°,且直线PM 与直线CD 相交于点Q,点Q到直线 BC 的距离为QH.
(1)若点 P 在线段 BC 上运动,求证:CP=DQ;
(2)若点 P 在线段 BC 上运动,探求线段AC、CP、CH 的一个数量关系，并证明你的结论.
12.(2024·广安中考)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别是AB、BC 边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
1. B [解析]如图,在菱形ABCD中,对角线AC 和BD相交于点O,AC=8,AD=AB=5,DE 为边AB 上的高,∴AO=4,∠AOB=90°,OB=OD,
解得DE=4.8.
即菱形一边上的高等于4.8.故选 B.
知识拓展 菱形具有平行四边形的一切性质.此外，菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
2. B [解析]∵四边形 ABCD 是菱形,AC是对角线,
∴AB=BC=CD=AD,∠BAC=∠CAD= ∠BAD.
∴∠BAC=60°.∴△ABC 是等边三角形.
∵△ABC 的周长是15,∴AB=BC=5.
∴菱形 ABCD的周长是20.故选 B.
3.5 [解析]∵菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O,∴AD=CD,AC⊥BD.
∵∠ADC=60°,∴△ACD为等边三角形.
∴AD=AC=10.∵点E为AD中点,AC⊥BD,
思路引导 解答本题时需要利用菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来进行计算.
4.20 [解析]如图,∵菱形的两条对角线 BD 和AC的长是6cm和8cm,
又菱形的对角线AC⊥BD，
∴这个菱形的周长为5×4=20(cm).
5.(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2OC,AD∥BC.
∵DE∥AC,∴四边形ACED 是平行四边形,
∴DE=AC,∴DE=2OC.
(2)∵四边形ABCD 是菱形,
8=24.∵四边形 ACED 是平行四边形,
∴AD=CE,AD∥CE,∴S四边形ACED=S菱形ABCD=24.
6. B [解析]若菱形 ABCD 的周长为20,则边长= 两条对角线可以是6和8，面积为 24.故选 B.
7. D [解析]连接DE,
∵四边形ABCD 是菱形,∠B=α,
∴AD=CD,∠ADC=∠B=α.
∵点 A 关于直线DP 的对称点为E，
∴DP 垂直平分AE,
∴ED=AD,∴ED=CD,
∴∠DAE=∠DEA,∠DCE=∠DEC.
∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC=360°,
∴α+2(∠DEA+∠DEC)=360°,
∴α+2∠AEC=360°,
故选 D.
8.(1)∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD.
在△ABE 和△ADF中
∴△ABE ≌△ADF(AAS).
(2)设菱形的边长为x，
∵AB=CD=x,CF=2,∴DF=x-2.
∵△ABE ≌△ADF,∴BE=DF=x-2.
在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得 即 解得x=5.
∴菱形的边长是5.
9.(1)∵菱形ABCD 的边长为2,BD=2,
∴BC=BD=CD=AD=AB=2,
∴∠C=∠BDE=60°.
∵AE+DE=AD=2,AE+CF=2,∴DE=CF.
在△BDE 和△BCF 中
∴△BDE≌△BCF(SAS).
(2)△BEF 是等边三角形.理由如下：
∵△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∠CBF=∠DBE.
∵∠CBF+∠DBF=60°,∴∠EBF =∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°,
∴△BEF 是等边三角形.
10.(1)∵△ACB≌△DFE,
∴AC=DF,∠CAB=∠FDE,∴AC∥DF,
∴四边形AFDC 是平行四边形.
(2)∵四边形ACDF 是菱形,
∴∠CAF=2∠CAB=60°,
∴∠BCD=∠ACD-∠ACB=120°-90°=30°.
11.(1)如图,作 PE∥CD 交AC 于点E,连接AQ,则△CPE 是等边三角形,∠EPQ=∠CQP.
又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,∴∠APE=∠CPQ.
易证∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,
∴△APE≌△QPC(ASA).∴AE=QC,AP=PQ.
∴△APQ是等边三角形.∴∠2+∠3=60°,AP=AQ.
∵∠1+∠2=60°,∴△ACD 是等边三角形,∠1=∠3.又AC=AD,∴△AQD≌△APC(SAS).
∴CP=DQ.
(2)AC=CP+2CH.理由如下:
∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD.
∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC.
又∠CHQ=90°,∠QCH=60°,
∴∠CQH=30°.∴CQ=2CH.
∴AC=CP+2CH.
12.∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C.
∵BE=BF,∴AB-BE=BC-BF,
∴AE=CF.
在△DAE 和△DCF 中
∴△DAE≌△DCF(SAS),∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.