折叠、旋转问题专题提优特训3 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

中小学教育资源及组卷应用平台
折叠、旋转问题专题提优特训3
题型1 求线段的长
1.(2024·淮安盱眙期末改编)如图,在矩形ABCD 中,点E 在边CD 上,将△BCE 沿BE 折叠,点 C落在AD 边上的点 F 处,过点 F 作 FG∥CD交BE 于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG 是菱形;
(2)若AB=3,AD=5,求CE 的长.
题型2 求面积
2.如图，将矩形 ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C落在C',BC'交AD 于点E.
(1)试判断△BDE 的形状，并说明理由；
(2)若AB=3,BC=5,试求△BDE 的面积.
题型3 求线段的范围
3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E、F 分别是BC、DC 上的动点.沿 EF 折叠△CEF,使点 C 的对称点G 落在AD上,若AB=3,BC=5,求CF 的取值范围.
题型4 图形的旋转
4.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为 的正方形ABCD 与边长为 正方形 AEFG 按图(1)位置放置,AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与AG 在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
(2)如图(2),小明将正方形 ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长.
专题提优特训3 折叠、旋转问题
1.(1)∵△BCE 沿BE 折叠,点 C 落在AD 边上的点 F处,∴△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.
∵FG∥CE,∴∠FGE=∠BEC,
∴∠FGE=∠BEF,∴FG=FE,
∴FG=EC,∴四边形CEFG是平行四边形.
又CE=FE,∴四边形CEFG 是菱形.
(2)∵在矩形ABCD中,AD=5,∴BC=5.
∵△BCE 沿BE 折叠,点C 落在AD 边上的点F处,∴BF=BC=5.
在Rt△ABF 中,
∴DF=AD-AF=1,
设EF=x,则CE=x,DE=3-x.
在 Rt△DEF中,
解得
2.(1)△BDE 是等腰三角形,理由如下:
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EDB=∠CBD.
由折叠知,∠EBD=∠CBD,
∴∠EBD=∠EDB.∴EB=ED.
∴∠BDE 是等腰三角形.
(2)设ED=x,则AE=5-x,
由(1)知,BE=DE=x,
在Rt△ABE 中, 解得x=3.4.
3.∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠C=90°,BC=AD=5,CD=AB=3.
当点 D 与点 F 重合时，CF 的最大值为3，如图(1)所示；
当点 B 与点E 重合时,CF 最小,如图(2)所示.
在Rt△ABG中,∵BG=BC=5,AB=3,
设CF=FG=x.在Rt△DFG中,
4.(1)∵四边形 ABCD 与四边形AEFG 是正方形,∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE.
在△ADG 和△ABE中,
∴△ADG≌△ABE(SAS),∴∠AGD=∠AEB.
如图(1),延长EB 交DG 于点 H.
在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°.
在△DEH中,∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,∴∠DHE=90°,即DG⊥BE.
(2)∵四边形ABCD与四边形AEFG 是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,
∴∠DAG=∠BAE.
在△ADG和△ABE 中. ∴△ADG≌△ABE(SAS),∴DG=BE.
如图(2),过点 A 作 AM⊥DG 交 DG 于点 M,则∠AMD=∠AMG=90°.
∵BD 是正方形ABCD的对角线,
∴∠MDA=∠MAD=∠MAB=45°,
在 Rt△AMG 中,
∴BE=DG=3.