中点四边形问题专题提优特训4 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

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中点四边形问题专题提优特训4
题型1 求解中点四边形
1.如图,点 D 是△ABC 内一点,点 E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD 的中点.
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
(2)已知AD=6,BD=4,CD=3,∠BDC=90°,求四边形EFGH 的周长.
2.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F 分别是 AD、BC 的中点,G、H 分别是对角线BD、AC 的中点.
(1)求证:四边形 EGFH 是菱形;
(2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形 EGFH 的面积.
3.如图,点O 是△ABC 内一点,连接OB、OC,并将AB、OB、OC、AC 的中点D、E、F、G 依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形 DEFG 是平行四边形；
(2)若点 M 为EF 的中点,OM=5,∠OBC 和∠OCB 互余,求 DG 的长度.
题型2 确定中点四边形的形状
4.如图(1)，四边形 ABCD 四条边上的中点分别为点E、F、G、H,顺次连接 EF、FG、GH、HE,得到四边形 EFGH.
(1)四边形 EFGH 的形状是 ,证明你的结论.
(2)如图(2),请连接四边形 ABCD 的对角线AC 与BD,当AC 与BD 满足 条件时，四边形 EFGH 是矩形，证明你的结论.
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形 说明理由.
1.(1)∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
(2)∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
由(1),得四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC.
又AD=6,∴四边形EFGH 的周长=6+5=11.
2.(1)∵在四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是AD、BC、BD、AC的中点,
∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.
∴四边形 EGFH 是菱形.
(2)∵在四边形ABCD中,G、F、H 分别是BD、BC、AC 的中点,
∴GF∥DC,HF∥AB.
∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.
∴∠GFH=90°.
∴菱形 EGFH 是正方形.
∵AB=1,
∴正方形 EGFH 的面积
3.(1)∵边AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G,
∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
(2)∵∠OBC 和∠OCB 互余,
∴∠OBC+∠OCB=90°.∴∠BOC=90°.
∵M为EF 的中点,
∵OM=5,DG=EF,∴DG=EF=2OM=10.
4.(1)平行四边形 理由如下：
如图(1),连接BD.
∵E、H 分别是AB、AD的中点,
同理FG∥BD,FG= BD.∴EH∥FG,EH=FG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
(2)AC⊥BD 理由如下:
如图(2),连接AC、BD.
∵点 E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点,∴EH∥BD,HG∥AC.
∵AC⊥BD,∴EH⊥HG.
又四边形 EFGH 是平行四边形，
∴平行四边形 EFGH 是矩形.
(3)菱形的中点四边形是矩形.理由如下：
如图(3),连接AC、BD.
∵点E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点,∴EH∥BD,HG∥AC,FG∥BD,EH= BD,FG= BD.∴EH∥FG,EH=FG.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD.
∵EH∥BD,HG∥AC,∴EH⊥HG.
∴平行四边形 EFGH 是矩形.