第9章中心对称图形——平行四边形提优测评卷 （含答案）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

第9章中心对称图形——平行四边形提优测评卷
时间:90分钟 总分:100分
第Ⅰ卷(选择题 共16分)
一、选择题(每题2分，共16分)
1.传统文化 赵爽弦图 (2024·自贡中考)我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是( ).
A.是轴对称图形 B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
2.下列说法正确的是( ).
A.全等的两个图形成中心对称 B.成中心对称的两个图形一定能完全重合
C.旋转后能重合的两个图形不一定全等 D.成中心对称的两个图形不一定全等
3.下列命题中一定正确的是( ).
A.矩形的对角线互相垂直 B.菱形的对角线相等
C.平行四边形是轴对称图形 D.矩形的对角线相等
4.(2024·宿迁泗洪期末)如图,□ABCD的对角线AC与BD 相交于点O,AB⊥AC,若AB=4,AC=6,则BD 的长是( ).
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ).
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
6.(2024·通辽中考)如图, ABCD的对角线AC、BD 交于点O,以下条件不能证明 ABCD 是菱形的是( ).
A.∠BAC=∠BCA B. ∠ABD=∠CBD C. OA +OD =AD D. AD +OA =OD
7.(2023·河北中考)如图,直线l ∥l ,菱形ABCD 和等边三角形EFG在l 、l 之间,点A、F分别在l 、l 上,点B、D、E、G 在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β的度数为( ).
A. 42° B. 43° C. 44° D. 45°
8. 如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,点 E、F 是对角线BD上的动点,且BE=DF，点M、N分别是边AD、边BC 上的动点.下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(每题3分，共30分)
9.(2024·无锡中考)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,则△DEF 的周长为
10. 在 ABCD中,∠A:∠B=1:5,AB=6,BC=4,则 ABCD 的面积为 .
11. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB 的大小为
12.(2024·泰州姜堰区期中)如图，将 AOBC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，边AO与x轴重合,边BC与y轴正半轴相交于点D.若OA=6,OB=5,且OD:BD=3:4,则点C的坐标为 .
13. 如图,在菱形ABCD 中,对角线AC=8cm,BD=6cm,动点E、G分别从点A、C同时出发,均以1cm/s的速度沿AB、CD向终点B、D 匀速运动；同时，动点H、F 也分别从点A、C出发,均以2cm/s的速度沿AD、CB 向终点D、B匀速运动,顺次连接EF、FG、GH、HE.设运动的时间为 ts，若四边形EFGH 是矩形，则t的值为 .
14. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O作OG⊥AC,交AB 于点G,连接CG,若∠BOG=16°,则∠BCG 的度数是 .
15. 如图,菱形ABCD的边长为2, ，点E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 .
16.(2024·无锡锡山区期中)如图,在△ABC中,∠C=120°,AC=BC,AB=6 ,点 N 是BC边上一点,点M 为AB 边上一点,点 D、E 分别为CN、MN 的中点,则 DE 的最小值是 .
17.(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=40°,连接AC,以点A 为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD 于点E,连接CE,则∠AEC 的度数是 .
18.如图,在正方形ABCD中,点M、N为边BC和CD 上的动点(不含端点), 下列四个结论：①当MN= MC时,∠BAM=22.5°;②2∠AMN-∠MNC=90°;③△MNC的周长不变;④∠AMN-∠AMB=60°.其中正确结论的序号是 .
三、解答题(第19~22题每题6分,第23、24题每题7分,第25、26题每题8分,共54分)
19. 如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC 的顶点A、B、C 的坐标分别为(1,-4)、(0,-2)、(3,-2).
(1)画出△ABC 关于点O 对称的△A B C ;
(2)画出△A B C 绕点 B 顺时针旋转90°后的△A B C ;
(3)若△A B C 可由△ABC 绕点D 逆时针旋转90°得到,则点 D 的坐标是 .
20.(2024·盐城一模)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB上的中线,分别过点A、C作AE∥DC,CE∥AB,两线交于点 E.
(1)求证:四边形 AECD 是菱形;
(2)若∠B=60°,BC=2,求四边形AECD 的面积.
21. (2023·张家界中考)如图,已知点A、D、C、B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
(2)若DF=FC时,求证:四边形DECF 是菱形.
22. (2023·十堰中考)如图, 的对角线AC、BD交于点O，分别以点B、C 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 P，连接BP、CP.
(1)试判断四边形 BPCO 的形状，并说明理由.
(2)请说明当 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形
23. (1)如图(1),在正方形ABCD中,点E、F 分别在边BC、CD上,AE、BF 交于点O, 求证：
(2)如图(2),在正方形ABCD 中,点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA 上,EF、GH 交于点O， 求GH 的长.
24. (2024·河南南阳期末)如图,在 中，O是AD的中点，连接BO，BO，CD的延长线相交于点E,连接AE,BD.
(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；
(2)若 求证：四边形ABDE 是矩形.
25. 如图,在 中,点D 是AB 上一点, 于点E,点 F 是AD的中点, 于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分 连接GE、GD.
(1)求证:
(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若 判定四边形AEGF 是否为菱形，并说明理由.
26.中考新考法 满足条件的结论开放 如图(1)，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON在直线AB 的下方.
(1)将图(1)中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图(2)的位置，使得ON 落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 度；
(2)继续将图(2)中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图(3)的位置，使得ON在 的内部.试探究 与 之间满足什么等量关系，并说明理由；
(3)在上述直角三角板从图(1)逆时针旋转到图(3)的位置的过程中，若三角板绕点O按 每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON 所在直线恰好平分 时，求此时三角板绕点O的运动时间t 的值.
1. B [解析]“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形.故选 B.
2. B [解析]成中心对称的两个图形一定全等且能完全重合，但全等的两个图形不一定成中心对称，旋转后能重合的两个图形一定全等.故选 B.
3. D [解析]矩形的对角线不一定互相垂直，A错误；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，B错误；平行四边形是中心对称图形，C错误；矩形的对角线相等，D正确.故选 D.
4. C [解析]∵ ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,∴BO=DO,AO=CO.
∵AB⊥AC,AB=4,AC=6,
∴∠BAO=90°,OA=3,∴BO= +4 =5,
∴BD=2BO=10.故选 C.
5. C 6. D
7. C [解析]如图,延长 BG,分别交l 、l 于点 H、I,
∵∠ADE=146°,
∵∠α=∠ADB+∠AHD,
∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°-34°=16°.
∵l ∥l ,∴∠GIF=∠AHD=16°.
∵△EFG是等边三角形,∴∠EGF=60°.
∵∠EGF=∠β+∠GIF,
故选 C.
8. C [解析]如图,连接AC、MN,且令AC、MN、BD
相交于点O，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF.
只要OM=ON，那么四边形 MENF 就是平行四边形,∵点 E、F是BD 上的动点,
∴存在无数个平行四边形MENF.故①正确；
只要 MN=EF,OM=ON,则四边形 MENF 是矩形,∵点 E、F是BD 上的动点,
∴存在无数个矩形 MENF.故②正确；
只要MN⊥EF,OM=ON,则四边形 MENF 是菱形,
∵点E、F 是BD上的动点,
∴存在无数个菱形MENF.故③正确；
只要 MN=EF,MN⊥EF,OM=ON,则四边形MENF 是正方形,
而符合要求的正方形只有一个.故④错误.故选 C.
9.9 [解析]∵AB=4,BC=6,AC=8,D、E、F 分别是AB、BC、AC的中点,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=4+2+3=9.
10.12 [解析]如图,过点 D 作DE⊥AB 于点E,
在 ABCD中,∠A:∠B=1:5,BC=4,
∴S□ABCD=AB·DE=6×2=12.
11.60°
12.(-2,3) [解析]∵四边形 AOBC 是平行四边形,边AO与x轴重合,OA=6,
∴BC∥x轴,BC=OA=6,
∴∠ODB=∠AOD=90°.
∵OB=5,OD:BD=3:4,
∴设OD=3x,BD=4x.
解得x=1,∴OD=3,BD=4,
∴CD=BC-BD=6-4=2,∴C(-2,3).
13 [解析]∵四边形 ABCD 是菱形,∴AO=CO=4cm,DO=BO=3cm,AC⊥BD,∠DAB=∠BCD.
∵动点 E、G 分别从点A、C 同时出发,均以1cm/s的速度沿 AB、CD 向终点B、D匀速运动，同时，动点 H、F 也分别从点A、C出发,均以2cm/s的速度沿AD、CB 向终点D、B 匀速运动,
∴AE=CG= tcm,AH=CF=2t cm.
在△AEH 和△CGF 中
∴△AEH≌△CGF(SAS).∴HE=FG.
同理得HG=FE,∴四边形EFGH 是平行四边形.
如图,连接EG、HF,过点 O 作OM⊥DC 于点 M,ON⊥BC于点N,
当 EG=HF时,四边形EFGH 是矩形,即当OG=OF时,四边形EFGH 是矩形.
同理可求
在 Rt△ONF 和 Rt△OMG 中,
∴Rt△ONF≌Rt△OMG(HL).∴MG=FN.
解得
14.16° [解析]∵四边形ABCD 是矩形,
∴AC=BC,且AC、BD互相平分,AB∥DC,
∴DO=OA=OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.
∵OG⊥AC,
∴OG 是AC的垂直平分线,∠COG=90°,
∴AG=CG,∴∠OAG=∠OCG.
∵AB∥DC,∴∠OAG=∠OCD,
∵∠BOG=16°,∠COG=90°,∴∠COB=74°.
∵∠OCB=∠OBC,
∴ 在△OBC 中, =53°,
∵在矩形ABCD 中∠BCD=90°,
∴∠OCD=∠OAG=∠OCG=37°,
[解析]如图,连接B D,连接D E交 AC于点P′,∵BE的长度固定,∴要使△PBE 的周长最小，只需要 PB+PE 的长度最小即可.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC与BD互相垂直平分.
∴PB+PE 的最小长度为DE 的长.
∵菱形 ABCD 的边长为2,点 E 为 BC 的中点,∠DAB=60°,∴△BCD 是等边三角形.
又菱形ABCD 的边长为2，
∴BD=2,BE=1,DE=
∴△PBE 的最小周长为
16. [解析]如图，连接CM，
∵点 D、E 分别为CN、MN 的中点, 当CM⊥AB 时,CM 的值最小,此时DE 的值也最小.∵∠ACB=120°,AC=BC,
∴AC=2CM,
由勾股定理得.
17.10°或80° [解析]如图所示,以点 A 为圆心,AC长为半径作弧，交直线 AD 于点 E 和 E'，在菱形ABCD 中,∠DAC=∠BAC,
∵∠DAB=40°,∴∠DAC=20°.
综上所述,∠AEC 的度数是 10°或80°.
18.①②③ [解析]①∵正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=∠C=90°,∴MN =MC +NC .当 时，
∴BM=DN,∴△ABM≌△ADN(SAS),
∴∠BAM=∠DAN.
∵∠MAN=45°,∴∠BAM=22.5°,故①正确;
②如图(1),将△ABM 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ADE,
则∠EAN=∠EAM-∠MAN=90°-45°=45°.
在△EAN 和△MAN 中
∴△EAN≌△MAN(SAS).∴∠AMN=∠AED.
∵∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN=360°,
∴2∠AMN-∠MNC=90°.故②正确;
③∵△EAN≌△MAN,
∴MN=EN=DE+DN=BM+DN.
∴△MNC 的周长为MC+NC+MN=(MC+BM)+(NC+DN)=DC+BC.
∵DC 和BC 均为正方形ABCD 的边长,∴△MNC的周长不变.故③正确；
④如图(2),将△ADN 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ABF,
∴∠MAN=∠MAF.
在△MAN 和△MAF中
∴△MAN≌△MAF(SAS).
∴∠AMN=∠AMB.故④错误.
综上,①②③正确.
19.(1)如图,△A B C 即为所求.
(2)如图,△A B C 即为所求.
(3)(-2,0)
20.(1)∵AE∥DC,CE∥AB,
∴四边形 AECD 是平行四边形.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的中线,∴CD=AD,
∴四边形 AECD 是菱形.
(2)连接DE.
∵∠ACB=90°,∠B=60°,∴∠BAC=30°,
∴AB=4,AC=2
∵四边形AECD 是菱形,∴EC=AD=DB.又EC∥DB,∴四边形ECBD 是平行四边形,
21.(1)∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,∴AC=BD.
∵AE=BF,CE=DF,
∴△AEC≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,∴AE∥BF.
(2)∵△AEC≌△BFD,
∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF.
∵EC=DF,∴四边形DECF 是平行四边形.
∵DF=FC,∴四边形 DECF 是菱形.
22.(1)四边形 BPCO为平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∵以点B、C为圆心， ,AC、 BD长为半径画弧，两弧交于点 P,∴OB=CP,BP=OC,
∴四边形 BPCO 为平行四边形.
(2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形 BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°.
∵四边形 BPCO为平行四边形，
∴四边形 BPCO为正方形.
23.(1)∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠EAB+∠AEB=90°.
∵∠EOB=∠AOF=90°,
∴∠FBC+∠AEB=90°.∴∠EAB=∠FBC.
∴易证△ABE≌△BCF(ASA).∴BE=CF.
(2)过点 A 作AM∥GH 交BC 于点 M,过点 B 作BN∥EF 交CD 于点N,AM 与BN 交于点 O′.则四边形 AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形.
∴EF=BN,GH=AM.
∵∠FOH=90°,AM∥GH,EF∥BN,
由(1)知△ABM≌△BCN,
∴AM=BN,∴GH=EF=4.
24.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BAD=∠EDA.
∵O是AD的中点,∴AO=DO.
在△BOA 和△EOD 中,
∴△BOA≌△EOD(ASA),∴AB=DE.
∵AB∥DE,∴四边形ABDE 是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴∠OAB=∠C.
∵∠BOD=∠OAB+∠OBA,∠BOD=2∠C,
∴∠BOD=2∠OAB,
∴∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,
∵四边形ABDE 为平行四边形，
∴AD=2OA,BE=2OB,
∴BE=AD,∴平行四边形ABDE 是矩形.
25.(1)∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.
∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG.
∴∠CAG=∠FGA.∴AC∥FG.
∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC,∴DE∥BC.∴AC⊥BC.
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.
∵点F 是AD 的中点,FG∥AE,
∴点 H 是ED的中点.
∴FG 是线段ED 的垂直平分线.
∴GE=GD,∠GDE=∠GED.
∴∠CGE=∠HDG.
∴易证△ECG≌△GHD(AAS).
(2)如图,过点G作GP⊥AB 于点P,
∵AG平分∠CAB,∴GC=GP.
又AG=AG,
∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL),∴AC=AP.
由(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL).∴EC=DP.
∴AD=AP+DP=AC+EC.
(3)四边形 AEGF 是菱形.理由如下:
∵∠B=30°,∴∠ADE=30°.
由(1),得AE∥FG,则四边形 AEGF 是平行四边形.
∴四边形 AEGF 是菱形.
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26.(1)90
(2)∠AOM--∠NOC=30°.理由如下:设∠AOC=α,由∠AOC:∠BOC=1:2,得∠BOC=2α.
∵∠AOC+∠BOC=180°,∴α+2α=180°.解得α=60°,即∠AOC=60°.
∴∠AON+∠NOC=60°.①
∵∠MON=90°,∴∠AOM+∠AON=90°.②由②-①,得∠AOM-∠NOC=30°.
(3)(j)如图(1),当直角边ON 在∠AOC 外部时,由 OD 平分∠AOC,得∠BON=30°,因此三角板绕点O逆时针旋转60°.此时三角板的运动时间为 (秒).
(ii)如图(2),当直角边ON 在∠AOC 内部时,由 ON 平分∠AOC,可得∠CON=30°,因此三角板绕点O逆时针旋转240°.
此时三角板的运动时间为 (秒).