圆周角定理综合题典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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圆周角定理综合题典型题型 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：；
2．如图，是内一点，经过点、交、于点、，，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
3．如图1，点A、C、E、G在上，；
(1)求证：；
(2)如图2，点F在上，连接、，延长、交于点B，作延长线于点H，若，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若°，求的长．
4．如图1，为的直径，弦于点，且为弧的中点，交于点，若．
(1)求半径的长；
(2)如图2，连接，求证：．
5．如图，在中半径，连接，C为平面内一点，连接，，连接并延长交于点D．
(1)求证：为的半径；
(2)若，，求的长度．
6．如图，内接于，是的直径，为优弧的中点，连接，，，延长，交于点．
(1)求证：．
(2)求证：．
7．如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”，如图，
(1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”；
(2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长．
8．如图，为等腰直角三角形，为直角，，在的延长线上，且，于点，过，，三点的交于点，连结．
(1)求的半径．
(2)探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G，使，求的长度．
9．如图，在中，点C是直径上方半圆上的一个点，直径平分非直径弦于点G，点E是上一点（不与重合），过点E作，垂足分别为，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
10．如图，中，直径于，于，交于N，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径；
11．问题提出
（1）如图①，在四边形中，，若，则的度数为______；
问题探究
（2）如图②，在半径为2的扇形中，，P是上的一点，过点P作于点Q，求线段长的最大值；
问题解决
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境，如图③，四边形是该市绿化工程要打造的一片绿化区域，其中，，，，并计划在这片区域内种植绿植和花卉，要求此区域的面积尽可能大，求绿化区域面积的最大值．
12．如图，已知，，点D是中点，，，过A，D两点作，交于点E．
(1)求证：；
(2)如图1，当圆心O在上且点M是上一动点，连接交于点N，求当等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
(3)如图2，当圆心O不在上且动圆与相交于点Q时，过D作（垂足为H）并交于点P，问：当变动时，的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
1．(1)
(2)见详解
（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答．
本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．(1)证明见详解
(2)
本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的判定定理，圆周角和圆心角的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，并灵活应用解决问题．
（1）利用圆内接四边形的性质得出，利用平行线的性质和三角形内角和得出，进而利用等角对等边得出；
（2）利用线段垂直平分线的判定定理得出垂直平分，假设，表示出相关的边长，列方程求解，再利用圆周角和圆心角的关系得出等腰直角三角形，进而可以求解．
（1）证明：
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，，
又∵
∴
∴．
（2）解：连接并延长交于点，
∵，，
∴垂直平分，
∵，，
∴，，．
设，则，，
在中，，，
∴，即．
∴，即．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
的半径为．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）根据弧、弦、圆周角的关系证明即可；
（2）根据圆周角定理证明，即可得证；
（3）连接、、，证明是等边三角形，则，根据圆周角定理可得是的直径，则，根据勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出x即可．
（1）证明： ，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接、、，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是的直径，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
设，
在中， ，
，
，
，
，
．
本题考查了圆的综合，涉及弧、弦、圆周角的关系，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定．
4．(1)5
(2)见解析
本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）连接，，根据圆周角定理及等边对等角得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的三线合一即可得证．
（1）如图1，连接，
为的直径，弦于点，
，
为弧的中点，
，
，
即，
，
，
设半径，则，
，
，
，
故半径的长为．
（2）如图2，连接，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
5．(1)见解析
(2)
（1）根据等角对等边即可证明结论；
（2）过点作于点，则证明，求出，则，得到，求出，勾股定理即可求出即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴为的半径；
（2）解：过点作于点，则，
∵在中半径，，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
此题考查了圆周角定理、勾股定理、含角直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
6．(1)见解析；
(2)见解析．
本题主要考查了圆周角定理、圆的基本性质、等腰三角形的性质，解决本题的关系是根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，找到角之间的关系．
连接，则，，由，可得：，所以，可证结论成立；
由是的直径，可得，所以，，又因为，所以，根据等角对等边可证结论成立．
（1）证明：如下图所示，连接，则，
，，
为优弧的中点，
，
，
，
；
（2）证明：是的直径，
，
，，
，
，
，
，
．
7．(1)见解析
(2)的长为
（1）根据垂径定理得到是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得到，由对顶角相等，则，结合“幸运角”的定义即可求解；
（2）如图，连接，由弧的“幸运角”为得到，由圆周角定理，垂径定理得到，，由此得到，在中根据勾股定理即可求解．
（1）证明：∵是直径，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是弧的“幸运角”；
（2）解：如图，连接，
∵弧的“幸运角”为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即的长为．
本题主要新定义，垂径定理，直线平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用，理解新定义的含义，掌握垂径定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
8．(1)
(2)
（1）连接，由直角三角形的性质及勾股定理得进而证明点、、三点共线，利用勾股定理求得即可求得的半径；
（2）如图，连接，先证明，，再利用圆内接四边形的性质得从而利用勾股定理即可得解．
（1）解：连接，
∵为等腰直角三角形，为直角，，，
∴，，
∵，
∴的直径，
∴
∴
∴点、、三点共线，
∵
∴是以为直角的等腰直角三角形，
∴，
∴
∴的半径为；
（2）解：如图，连接，连接并延长交于，
∵，，
∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，
∴，，
∵
∴，，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴．
本题主要考查了圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
9．(1)见解析
(2)
本题考查圆综合题、垂径定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用圆的有关性质解决问题．
（1）由垂径定理可得，即，可得，再证明，可得，再证明，可证得；
（2）连接，先证得四点是在以为直径的圆上，再由，可得三点是在以为直径的圆上，再由，可得以为直径的圆和以为直径的圆是等圆，再得，可得结论．
（1）解：直径平分非直径弦，
，即．
，
即，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
即，
四点是在以为直径的圆上，
，
三点是在以为直径的圆上，
，
以为直径的圆和以为直径的圆是等圆，
，即，
．
10．(1)证明见详解
(2)
（1）先根据圆周角定理得出，再由直角三角形的性质得出，故可得出，由全等三角形的判定定理得出，故可得出结论．
（2）先根据的长，设，则，，连接，则，在中根据勾股定理可得出的值，进而得出结论．
（1）证明：∵与是同弧所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴设，则，
连接，则，
∵是直角三角形，，，，
∴，
解得：，
∴．
本题考查的是圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．（1）；（2）；（3）
（1）根据，得点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，得；
（2）当点P位于的中点时，根据，得过点O，证明，可得,根据，得，，为最大值；
（3）连接，过点C作于点E，可知点C是在以为圆周角的的一段弧上，在另一侧圆上取点G，连接，得，，是等边三角形，得，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，取中点F，连接，可得，由，得是等边三角形，可得，，，得，，得绿化区域面积的最大值，．
解：（1）∵在四边形中，，
∴点B、C、D在以点A为圆心，以长为半径的圆上，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）当点P位于的中点时，最大，
∵，
∴直线过点O，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，过点C作于点E，
∵，
∴点C是在以为圆周角的圆弧上，
设圆心为O，在另一侧圆上取点G，连接，
则，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）知，当点C在中点时，最大，面积最大，此时直线过点O，
取中点F，连接，
∵，
∴，
∵
,∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故绿化区域面积的最大值为．
本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理，垂径定理推论，圆内接四边形性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)1或
(3)不变，
（1）由直角三角形的性质可得，可证，可得，可得结论；
（2）连接、，易得当和为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得，易得到为等边三角形，得，则，，然后根据含的直角三角形三边的关系得，，当，为底边，作，由于，，得到，，，于是，，又，，得到，则，可得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）连接、，因为，得，则，再根据圆周角定理得，，则，，易证得，得到，则，而为等边三角形，，即可得到的值．
（1）证明：如图1，连接，
在中，， 点D是中点，
．
，
．
，，
．
．
（2）解：连接、，如图3，
，
当和为等腰三角形的两腰，
．
，
为等边三角形，
．
．
．
在中，．
在中，．
∴当等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；
当，为底边，如图4，作，
，，
，，．
为等边三角形，
，．
，，
．
．
．
为等腰直角三角形．
．
．
综上所述，当三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形时，等于1或；
（3）解：当变动时的值不变，，
理由如下：连接、，如图2，
，，
．
，
．
，
．
．
，，
，
．
．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形三边的关系，
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