最大利润问题(一次函数的实际应用)?典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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最大利润问题(一次函数的实际应用) 典型题型
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．冬至是我国重要的传统节气之一，民间流传着谚语“冬至不端饺子碗，冻掉耳朵没人管”．某饭店准备了虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半．已知虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤．设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出）．
(1)求w与m之间的函数关系式．
(2)该饭店如何准备这两种饺子的数量，才能获利最大？
2．剪纸艺术，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，常用纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮革等制作，是中国汉族最古老的民间艺术之一．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共500套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸少8元，购进3套甲种剪纸和5套乙种剪纸共需96元．
(1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元/套？
(2)若甲种剪纸的售价为10元/套，乙种剪纸的售价为20元/套，设购进甲种剪纸装饰x套，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值．
3．某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元）
(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
(2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
4．南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表：
A款烙画 B款烙画
进货价（元/件） 80 140
销售价（元/件） 98 168
(1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？
(2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
5．某礼品店出售某品牌音乐盒，每盒进价为60元，在销售过程中发现，月销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且利润率不高于，其部分对应数据如下表所示：
销售单价x（元） … 70 75 80 …
月销量y（台） … 40 30 20 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当音乐盒销售单价定为多少元时，礼品店每月出售这种音乐盒所获的利润最大？最大月利润为多少元？
6．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
7．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
(1)该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
(2)因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
8．春节期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品1件共需元，购进甲商品件和乙商品件共需元．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲商品以每件元出售，乙商品以每件元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，请你求出获利最大的进货方案．
9．产于河南禹州的冬桃肉质细腻，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了320千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以10元/千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为2600元．
(1)求线下和线上销售的冬桃数量．
(2)小王又采摘了450千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
10．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
营养成分表 营养成分表
项目 每 项目 每
热量 热量
蛋白质 蛋白质
脂肪 脂肪
碳水化合物 碳水化合物
钠 钠
(1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
11．某水果店出售一批水果，已知该水果的销售量（千克）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示，其中该水果的销售单价不超过元．
(1)求与的函数解析式；
(2)当水果店将该批水果的销售单价定为多少元时，销售额最大，最大销售额是多少元？
12．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个．
参考答案
1．(1)
(2)准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元
本题主要考查一次函数的运用，掌握一次函数图象的性质，增减性，最值的计算方法是解题的关键．
（1）设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，羊肉有斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，由此列式即可求解；
（2）根据一次函数求最值的计算方法即可求解．
（1）解：虾仁、羊肉两种饺子共200斤，虾仁饺子的利润为9元／斤，羊肉饺子的利润为5元／斤，设准备了虾仁饺子m（m为正整数）斤，这200斤饺子的销售总利润为w元（假设这200斤饺子均可售出），
∴羊肉有斤，
∴销售总利润为：．
（2）解：已知虾仁、羊肉两种饺子共200斤进行销售，其中虾仁饺子的数量不高于羊肉饺子数量的一半，
∴，
解得，，
，
随m的增大而增大，
为正整数，
当时，w有最大值，
，
．
答：该饭店准备虾仁饺子66斤，羊肉饺子134斤时，才能使获利最大，最大利润是1264元．
2．(1)甲种剪纸的单价为7元/套，乙种剪纸的单价为15元/套；
(2)y与x之间的函数关系式为，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为2340元．
（1）分别设这两种剪纸购进时的单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据“销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润甲种剪纸的售价-甲种剪纸的进价购进甲种剪纸的套数乙种剪纸的售价-乙种剪纸的进价购进乙种剪纸的套数”写出y与x之间的函数关系式，并由一次函数的增减性和x的取值范围求出y的最小值即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
（1）解：设甲种剪纸购进时的单价为a元/套，乙种剪纸购进时的单价价为b元/套．
根据题意，得，
解得
答：甲种剪纸的单价为7元/套，乙种剪纸的单价为15元/套．
（2）解：由题意得，，
，
随x的增大而减小，
，
当时，y值最小，
答：y与x之间的函数关系式为，销售完甲、乙两种剪纸装饰所得利润的最小值为2340元．
3．(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元；
(2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式．
（）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可；
（）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解．
（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，
则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
4．(1)款烙画购进6件，款烙画购进14件
(2)款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元
本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设款烙画购进件，款烙画购进件，根据用2440元购进了A，B两款烙画共20件列出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
（2）设款烙画购进件，则款烙画数量为件，先根据题意得出m的取值范围，再根据利润的求解公式列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案．
（1）解：设款烙画购进件，款烙画购进件，根据题意得：
解方程组，得
款烙画购进6件，款烙画购进14件；
（2）解：设款烙画购进件，则款烙画数量为件，
购进款烙画数量不少于款烙画数量的，
，
解得，
设利润为元，根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值（元），
此时，
款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元．
5．(1)
(2)当音乐盒销售单价定为75元时，礼品店每月出售这种音乐盒所获的利润最大，最大月利润为450元
本题考查一次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）设月利润为W元，根据月利润等于单件利润乘月销量列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可求得最大利润．
（1）解：由题意设，
由表知，当时，；当时，；
以上值代入函数解析式中得：，
解得：，
所以y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设月利润为W元，
则，
整理得：，
由于销售单价不低于进价，且利润率不高于，
则，即，
∵，
∴当时，W有最大值，且最大值为450；
答：当音乐盒销售单价定为75元时，礼品店每月出售这种音乐盒所获的利润最大，最大月利润为450元．
6．(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
又A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为，则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
7．(1)该创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
(2)第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，根据题意列出二元一次方程组计算即可；
（2）根据题意得到，求出即可得到答案．
（1）解：设文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件，
根据题意得，，
解得，
答：该文创店第一次购进泥塑兔子王件，购进清照团扇件；
（2）解：由题知：，
解得，，
，
，
随的增大而增大，
当时，元，
此时，件，
答：第二次购进泥塑兔子王件，清照团扇件时获利最大，最大利润为元．
8．(1)甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元
(2)获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与甲种商品的关系，由甲种商品的数量不少于乙种商品数量的倍，可以得到甲种商品的取值范围，从而可以求得获利最大的进货方案，以及最大利润．
（1）解：设甲、乙两种商品每件的进价分别是元，
，
解得，
即甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元；
（2）解：设购买甲种商品件，获利为元，
，
，
解得，
∴当时，取得最大值，
即获利最大的进货方案是购买甲种商品件，乙种商品件．
9．(1)线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克
(2)线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确列出方程组和一次函数解析式是解答本题的关键．
（1）设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克，找出等量关系列出方程组求解即可；
（2）设线上销售冬桃的数量为千克，先求出，再销售额=线上销售额+线下销售额列出函数解析式求解即可．
（1）解：设线下和线上销售冬桃的数量分别为千克和千克．
由题意，得
解得
答：线下和线上销售冬桃的数量分别为120千克和200千克．
（2）解：设线上销售冬桃的数量为千克，则线下销售冬桃的数量为千克，销售额为元．
由题意，得，解得．
由题意，得
，
随着的增大而减小．
当取最小值300时，取最大值．
．
答：线上销售冬桃300千克，线下销售冬桃150千克时，可使售完这批冬桃后销售额最大．
10．(1)选用种食品包，种食品包
(2)选用种食品包，种食品包
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键．
（1）设选用种食品包，种食品包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可．
（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
故选用种食品包，种食品包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴随的增大而减小．
∴当时，最小．
∴．
故选用种食品包，种食品包．
11．(1)
(2)该批水果的销售单价定为元时，销售额最大是元
本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练根据题意正确确定取值范围并列出式子是解题的关键．
（1）根据题意分时和时两段分类讨论即可；
（2）设销售额为，利用对分段函数分别求最值即可．
（1）解：由题意得，当 时，；
当时，是关于的一次函数，
设，
将和代入，得：，
解得：，
∴，
综上所述，；
（2）解：设销售额为，
当时，，
是一次函数，且随的增大而增大，
∴当时取得最大值；
当 时，，
是二次函数，且开口向下，
∴当时取得最大值，
综上所述，该批水果的销售单价定为元时，销售额最大，最大销售额是元．
12．(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2)，有4种购买方案；
(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元；
（2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案；
（3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个．
（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
（元，
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
（2）解：根据题意得：，
商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
，
解得：，
，
而为整数，
可取347或348或349或350；
有4种购买方案；
（3）解：由（2）知，，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为，
设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，
根据题意得：，
，
、都为非负整数，
，，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
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