待定系数法求二次函数解析式典型题型 归纳练 2025年中考数学二轮复习备考

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待定系数法求二次函数解析式典型题型
归纳练 2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．已知二次函数．
(1)当函数图象过点时：
①求二次函数的表达式．
②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
(2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ．
2．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值．
(2)求当时，二次函数的最大值．
(3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式．
3．如图，抛物线经过轴上的两点和轴上的点，的圆心在轴上，且经过两点．若．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心，并说明理由．
4．已知二次函数，
(1)若抛物线的对称轴为直线，
①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式；
②当时，函数的最小值为，求的最大值．
(2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围．
5．已知二次函数．
(1)当二次函数图象过点时，求二次函数的表达式，并求它与轴的交点坐标；
(2)若二次函数图象在直线的右侧随着的增大而增大，求的取值范围；
(3)若二次函数图象上存在两点和，若，求的取值范围．
6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)当时，求的最小值；
(3)把抛物线的图象在轴下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原抛物线位于轴下方的部分组合的图象记作图象，若直线与图象的上下部分分别交于，两点，当线段时，求的值．
7．如图，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P为抛物线上任意一点，将点P向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点O的对称点恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．
(3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线L，若点均在抛物线L上，且，直接写出n的取值范围．
8．已知二次函数．
(1)若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
(2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线为常数，且）与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），与轴交于点，
(1)若，且．
（i）求抛物线的函数表达式；
（ii）平移抛物线，使平移后的抛物线的顶点在线段上，且经过点，求点的横坐标；
(2)若，求的最小值．
10．小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．
(1)写出的值是__________．
(2)如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象.
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围．
11．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
(1)若抛物线与轴只有一个公共点，且是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
(2)已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)当点为抛物线顶点时，求的值；
(3)当平行于轴时，求的值；
(4)将抛物线在点和点之间的部分记为图象（包括端点），当图象的最大值和最小值之差为时，直接写出的取值范围．
参考答案
1．(1)①；②
(2)或．
此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）①利用待定系数法求解即可；
②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可．
（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
2．(1)，
(2)
(3)
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．
（1）把点，代入，即可求得b、c的值；
（2）根据二次函数的性质即可求得；
（3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可．
（1）解：将点，代入，
得解得
，的值分别是，．
（2）解：二次函数的表达式为，
二次函数图象的对称轴为直线．
，
二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小．
，
当时，二次函数有最大值，最大值为．
（3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线．
分三种情况讨论：
①当，即时，在对称轴的右侧，
二次函数在取得最小值，
，解得或，不符合题意．
②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意．
③当，即时，在对称轴的左侧，
二次函数在时取得最小值，
，解得或（舍去），
此时二次函数的表达式为，即．
综上所述，平移后新的二次函数的表达式为．
3．(1)
(2)经过，理由见解析
（1）将代入解析式，令根据根与系数的关系以及，得出的值，进而得出解析式；
（2）已知点坐标，可求直线的解析式，连接，设的半径为，求出的值和坐标即可．
（1）解：∵，
∴，
又∵，令．
∴．
∵，
∴．
解得．
∴．
∴抛物线的解析式是．
（2）解：直线经过圆心．
理由如下：
由（1）得抛物线的对称轴为直线，而两点关于抛物线的对称轴对称，
∴．
令．
解得．
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
连接．
设的半径为．
在中，，即．解得：．
∴．
∵点的坐标满足直线的解析式，
∴直线经过圆心．
本题考查了二次函数综合，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．(1)①②
(2)或
（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据解析式得到当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，进行求解即可；
（2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可．
（1）解：①由题意，得：，
解得：，
∴；
②∵，
∴当时，有最小值为：；
∵时，，函数的最小值为，
∴，
解得：，
∴的最大值为；
（2）解：∵当时，取值范围是，
∴当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大，
∵二次函数图象经过，两点，且，
∴，
解得：或；
故或．
5．(1)，
(2)
(3)
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）把点代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得对称轴为直线，进而根据二次函数图象开口向上，且当时随着的增大而增大，即可求解．
（3）将，，代入解析式得出，，根据得出的取值范围．
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
令，则，
∴抛物线与轴的交点坐标为．
（2）∵二次函数，
∴对称轴为直线．
∵二次函数图象开口向上，且当时随着的增大而增大，
∴．
（3）∵函数过，，且，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
6．(1)
(2)当时，函数最小值为；当时，函数最小值为
(3)
本题为二次函数综合运用，涉及到图象的翻折、待定系数法求函数表达式，熟悉函数的图象和性质是解题的关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）根据题意分和两种情况分别求解即可；
（3）由函数的对称性知，，则，即可求解．
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，当时，函数取得最小值，即；
当时，抛物线在顶点处取得最小值，即，
综上，当时，函数最小值为；当时，函数最小值为；
（3）解：由函数的对称性知，，则，
即，
解得：．
7．(1)；
(2)或；
(3)．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平移的性质，平面内直角坐标系内点的坐标特点是解题的关键．
（1）求出C点坐标，代入求出a的值，即可求解；
（2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标；
（3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得．
（1）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
将C点代入中，，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
∵将点P向上平移2个单位长度得到点，
，
∵关于原点对称的点的坐标为
，
解得：，
∴或；
（3）解：平移后的抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
，
∴，
解得：，
∵，
∴．
8．(1)①；②
(2)见解析
本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
（1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答；
（2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可．
（1）解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
（2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
9．(1)（1）（i）；（ii）
(2)
本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求一次函数解析式及二次函数解析式、二次函数的最值问题．
（1）（i）根据抛物线与坐标轴交点坐标可以确定抛物线的函数表达式为，如何将代入求出即可，
（ii）设的坐标为（t，h），抛物线为，求出直线的函数表达式为，进而可得即，在由抛物线经过点，可得，进而求解．
（2）根据已知可知：点，代入解析式，化简可得，进而可得，从而求解．
（1）解：（i），抛物线与轴交于两点（其中点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上），，
，点的坐标为，点的坐标为，
，即抛物线的函数表达式为，
，
∴二次函数的函数表达式为；
（ii）设的坐标为（t，h），则抛物线为，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的函数表达式为，
∵顶点在线段上
∴
，即，
∵抛物线经过点，
，解得（不合题意，舍去），
即点的横坐标为；
（2）设，，
，即，
将代入，得．
由题意得，
，即，
，，
当时，的最小值为．
10．(1)1
(2)①或；②或
本题主要考查一次函数、二次函数图形的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形的性质是解题的关键．
（1）根据题意，把代入，即可求解；
（2）①根据题意，可得二次函数解析式，由一次函数，二次函数图象的性质即可求解；②根据题意可得，问题转化为抛物线与直线在时无交点，由二次函数解析式得到顶点坐标为，所以当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，当时，，则当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，由此得到当或时，抛物线与直线在时没有交点，由此即可求解．
（1）解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为，
∴，
解得，，
故答案为：；
（2）解：①，且，，
将，；，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，
当时，，对称轴为直线，开口向上，
时，随的增大而增大；
当时，，，
且当时，，
时，随的增大而增大，
综上，的取值范围为或；
②或，
在时无解，即在时无解，
问题转化为抛物线与直线在时无交点，
如图，对于，当时，，
顶点坐标为，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当时，，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当或时，抛物线与直线在时没有交点，
故答案为：或．
11．(1)见解析
(2)①见解析；②
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式；
（1）根据题意“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，得出，解方程组，即可求解；
（2）①将代入解析式，即可求解；
②根据题意才抛物线的对称轴为直线，进而分类讨论，即可求解．
（1）∵“定点抛物线”与轴只有一个公共点，且经过点，
∴解得
∴.
（2）①证明：将代入，得，
∴在抛物线上.
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②∵，
∴抛物线的开口向下.
由①知抛物线经过点
∴当抛物线的顶点在处时，抛物线的顶点在最低位置.
∵点在轴上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大.
∴抛物线上有两点，，且，
∴当点在对称轴右侧时，则，
当点在对称轴左侧时，
∵，
∴离对称轴更近，
∴
解得：，
当点在对称轴上时，则.
综上，当时，的取值范围为．
12．(1)
(2)
(3)或
(4)或
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）将点代入求解即可；
（2）根据二次函数顶点坐标的横坐标与对称轴相同求解即可；
（3）当当平行于轴时，，据此列方程求解即可；
（4）根据二次方程的性质，分类讨论即可．
（1）解：抛物线（为常数）经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：当点为抛物线顶点，且点的横坐标为，
；
（3）解：当平行于轴时，，
点是抛物线上一点，点的横坐标为，点的坐标为，
，
解得：或，
的值为或；
（4）解：当时，最高点为顶点，最低点为，则，
解得：或（舍去），
当时，最高点为顶点，最低点为，则；
当时，最高点为，最低点为，则，
解得：；
当时，最高点为点，最低点为，则，解得：或（舍去）．
综上所述，当或时，图象的最大值和最小值之差为．
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